福建省厦门市第十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

福建省厦门市第十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数
学试题
一、单选题
1．圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标是（）A ．()2,4-B ．()2,4-C ．()
1,2-D ．()
1,2-
2．已知直线l 经过点(()2,,3,0，则直线l 的倾斜角为（）
A ．
π4
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
3π4
3．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()3,6,3c =-r 且a c ⊥ ，b c ⊥
，则a b += （）
A ．
B ．
C ．3
D ．4
4．如图，三棱柱ABC DEF -中，G 为棱AD 的中点，若BA a = ，BC b =，BD c = ，则CG =
（
）
A ．1122a b c
-+ B ．1122a b c
++
C ．311222a b c
-+ D ．311222
a b c
++ 5．若圆221:2440C x y x y +---=，圆22
2:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条
数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22
:143
x y
C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，
则12PF PF ⋅=
（）
A ．
94
B ．
74
C ．2
D ．
72
7．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（
）
A ．3250x y +-=
B ．2310x y -+=
C ．250
x y ++=D ．2320
x y -+=8．已知圆M ：22222x y x y +--=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当四边形PAMB 面积最小时，PM 的值为（）
A ．
B ．
C D
二、多选题
9．设{}
,,a b c
是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）
A ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c
不可能共面
B ．若a b ⊥ ，b c ⊥ ，则a c
⊥
C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc
=++
D ．a b + ，b c + ，c a +
不一定能构成空间的一个基底
10．下列命题中，正确的是（）
A ．如果0A
B >且0B
C <，那么直线0Ax By C ++=不经过第三象限
B ．若直线1l ：210x y -+=与2l ：220x ay +-=平行，则1l 与2l
C ．圆C ：22(1)(1)4x y ++-=关于直线10x y --=对称的圆方程为22(2)(2)4-++=x y
D ．点(,)A x y 为圆22(2)1x y -+=上任意一点，则22x y +的最大值为3
11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G M N 、、、、均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（
）
A ．P 在BC 中点时，平面PEF ⊥平面GMN
B ．异面直线EF GN 、所成角的余弦值为14
C ．E F G M N 、、、、在同一个球面上
D ．111112A P t A A A M t A B =+- ，则P 点轨迹长度为
2
三、填空题
12．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为1的正方形，12,AA =11π
3
A A
B A AD ∠=∠=
，则1
AC =.
13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总
宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙EA 、FD 高为2m ，弧顶高MN 为5m ．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是
．
14．若直线l ：0x y m +-=与曲线C ：y =m 的取值范围
是.
四、解答题
15．已知三角形ABC 的顶点坐标为()1,2A -，()2,1B --，()3,1C .(1)求过点C 且与边AB 平行的直线；(2)求AB 边上的高所在的直线方程.
16．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形、SA ⊥平面ABCD M N ，，分别为棱SB SC ，的中点
(1)证明：//MN 平面SAD ;
(2)若SA AD =，求直线SD 与平面ADNM 所成角的正弦值
17．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的中心为原点O ，左顶点为A ，上顶点为B ，右
焦点为F .
(1)若9AF =，3OB =，求椭圆的标准方程；(2)若90ABF ∠=︒，求椭圆的离心率.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .
(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；
(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；
(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点）
，求锐二面角F BD E --的余弦值的取值范围.19．已知圆C 过点()2,6A ，圆心在直线1y x =+上，截y 轴弦长为
．(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 半径小于10，点D 在该圆上运动，点()3,2B ，记M 为过B 、D 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线BD 与直线:2l y x =-交于点N ，证明：BM BN ⋅恒为定值．。