沪教版九年级上册数学第26章二次函数单元检测卷

沪教版九年级上册数学第26章二次函数单元检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）
A．y=x2B．y=ax2+bx+c C．y=8x D．y=x2（1+x）2．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）
A．3B．5C．﹣3和5D．3和﹣5
3．抛物线y＝a（x＋1）（x－3）（a≠0）的对称轴是直线（）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝－3 D．x＝3
4．已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（）
A．B．
C．
D．
5．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）
A．B．
C ．
D ．
6．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是（ ）
A ．x 1<-
B ．x ＞3
C ．－1＜x ＜3
D ．x 1<-或x ＞3 7．如图，函数y =-2x 2 的图象是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
8．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）．
A ．
B ．(2,2)
C ．2)
D ．
9．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=1
2
（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x
轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
10．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）
A． B．
C． D．
11．函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．方程2x﹣x2=2
x
的正实数根有________个
13．点A(-3,y1),B(2,y2)在抛物线y=x2-5x上,则y1______y2(填“>”,“<”或“=”)
14．若函数y=（m+2）2m m x +是关于x 的二次函数，则满足条件的m 的值为________．
15．当m ________ 时，y=（m ﹣2）22m x - 是二次函数．
16．若直线y=m （m 为常数）与函数y=()()2282x x x x
⎧≤⎪⎨>⎪⎩的图象有三个不同的交点，则常数
m 的取值范围________
17．若y 与x 的函数()2m 1y m 1x +=-+3x 是二次函数，则m =______．
18．若函数y=（m ﹣2）x |m|是二次函数，则m=________．
19．如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x+8，y=x 2﹣6x+8，y=x 2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x+8的图象的序号是________．
20．若函数()273m y m x -=-是二次函数，则m 的值为______．
21．二次函数y=3x ﹣5x 2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
三、解答题
22．用一根长为800cm 的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm ，写出它的面积y 与x 之间的函数关系式，并判断y 是x 的二次函数吗？
23．一个二次函数y=（k ﹣1）x 234k
k -++2x ﹣1．
（1）求k 值．
（2）求当x=0.5时y 的值？
24．如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，且抛物线经过A （-1，0），C （0，-5）两点，与x 轴交于点B ．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
（3）在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作⊙Q，使得⊙Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q.
若存在，请直接写出最大⊙Q的半径；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
【分析】
根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．
【详解】
解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；
B、a=0时不是二次函数，故B不符合题意，
C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．2．D
【分析】
根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可．
【详解】
解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，
即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选D．
【点睛】
本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解．
3．A
【分析】
已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.
【详解】
∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，
∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.
∵这两个点关于对称轴对称，
∴对称轴是13x 12-+=
=. 故选A ．
4．C
【解析】
【详解】
∵函数2(1)3y x b x =+-+的a =1>0,过点(0,3)，
∴该函数的图象开口向上,一定过点(0,3)，
故选项A. D 错误；
又∵二次函数23y x bx =++的图象已知，对称轴在y 轴右侧，故可知b <0，所以b −1<0， 抛物线2(1)3y x b x =+-+的对称轴为102
b x --=
>， 即对称轴也在y 轴的右侧， 故选项B 错误，选项C 正确，
故选C.
5．A
【详解】
∵正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m ＜0，
∴二次函数y=mx 2+m 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，
综上所述，符合题意的只有A 选项，
故选A.
6．C
【分析】
根据y ＜0，则函数图象在x 轴的下方，所以找出函数图象在x 轴下方的x 的取值范围即可.
【详解】
由图象可知，当－1＜x ＜3时，函数图象在x 轴的下方，y ＜0，
故选C.
7．C
【详解】
根据二次函数解析式可知a=-2＜0，函数的图象开口向下，且经过原点，
当x=1时，y=-2，
因此可知其图象为③.，
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了二次函数y=ax 2的图象与性质，解题关键是根据函数的系数a 判断其方向，然后根据个别特殊点的坐标确定其位置.
8．C
【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D （0，2），且DC ∥x 轴，从而求得P 的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P 的坐标．
【详解】
∵Rt △OAB 的顶点A (−2,4)在抛物线2y ax =上，
∴4=4a ，解得a =1，
∴抛物线为2y x =，
∵点A (−2,4)，
∴B (−2,0)，
∴OB =2，
∵将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△OCD ，
∴D 点在y 轴上，且OD =OB =2，
∴D (0,2)，
∵DC ⊥OD ，
∴DC ∥x 轴，
∴P 点的纵坐标为2，
代入2y x =,得22x =，
解得x =
∴P )
2
故答案为:)2.
【点睛】
考查二次函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关键. 9．D
【分析】 直接由221(3)1102
=-+>y x 判断①；把A 点坐标代入抛物线y 1=a （x+2）2-3求出a 值判断②；由x=0求得y 2，y 1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B ，C 的坐标，进一步验证2AB=3AC 判断④．
【详解】 解：对于①，221(3)1102
=
-+>y x ，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数正确； 对于②，∵抛物线y 1=a （x+2）2-3过点A （1，3），则3=a （1+2）2-3，解得23a =，②错误； 对于③，221221(2)3,(3)132=
+-=-+y x y x ，当x=0时，2111135236⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭y y ，③错误；
对于④，∵抛物线y 1=a （x+2）2-3与221(3)12
y x =-+交于点A （1，3），∴可求得B （-5，3），C （5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC ，④正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．
10．D
【分析】
分a ＞0和a ＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点情况分析判断即可得解．
【详解】
解：a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，对称轴02b x a =-
<，在y 轴左边，与y 轴正半轴相交，
a ＜0，
b ＜0时，抛物线开口向下，对称轴02b x a
=-
<，在y 轴左边，与y 轴正半轴坐标轴相交，
D 选项符合．
故选D ．
【点睛】 本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论． 11．C
【分析】
根据各选项中函数的图像可以得到a 、b 、c 的关系,从而可以判断各选项中那个函数图像可能是正确的.
【详解】
解： A:由图像可知,开口向下,则a<0,又因为顶点在y 轴左侧,则b<0,则a+b <0,而图像与y 轴交点为(0,a+b)在y 轴正半轴,与a+b <0矛盾故此选项错误;
B:由图像可知,开口向下,则a<0,又因为顶点在y 轴左侧,则b<0,则a+b <0,而图像与y 轴交点为(0,1)在y 轴正半轴,可知a+b =1与a+b <0矛盾,故此选项错误；
C ：由图像可知开口向上,则a>0,顶点在y 轴右侧,则b<0,a+b=1,故此选项正确；
D:由图像可知开口向上则a>0,顶点在y 轴右侧,则b<0,与y 轴交于正半轴则a+b >0,而图像与x 轴的交点为(1,0),则a+b+a+b =0,即a+b =0与a+b >0矛盾,故此选项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质,中等难度,逐项分析是解题关键.
12．0
【解析】
【详解】
在同一坐标系中，分别作出y 1=2x-x 2与y 2=2x
的图象如下：
由图象可以看出，正实数根有0个，
故答案为0.
【点睛】
由图象看两函数的交点也是求实根个数时很常用的一种方法．
13．＞．
【分析】
分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】
当x=﹣3时，y1=x2﹣5x=24；
当x=2时，y2=x2﹣5x=﹣6；
∵24＞﹣6，∴y1＞y2．
故答案为＞．
14．1
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m=2，求出m即可．
【详解】
解：∵函数y=（m+2）x m2+m是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m=2，
解得：m≠-2且m=-2，m=1，
∴m=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y=ax m+bx+c（a b c都是常数）是二
次函数，那么a≠0且m=2．
15．﹣2
【解析】
【详解】
根据题意可得：
22220,
m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得： 2.m =-
故答案为 2.-
16．0＜m ＜4
【解析】
【分析】
首先作出分段函数y=()()2282x x x x
⎧≤⎪⎨>⎪⎩的图象，根据函数的图象即可确定m 的取值范围．
【详解】
解：分段函数y=()()2282x x x x
⎧≤⎪⎨>⎪⎩的图象如图：
故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=()()2282x x x x
⎧≤⎪⎨>⎪⎩的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值范围为0＜m ＜4．
故答案为：0＜m ＜4．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
17．-1
【解析】
【分析】
由二次函数的定义可知m 2+1=2，m-1≠0，从而可求得m 的值．
【详解】
∵()2m 1y m 1x +=-+3x 是二次函数，
∴m 2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案为-1．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
18．-2
【分析】
根据二次函数的定义,a 0≠,且次数为2即可解题.
【详解】
∵y=（m ﹣2）x |m|是二次函数，
∴m-20≠且|m|=2,
解得m =-2.
【点睛】
本题考查了二次函数数的定义,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.
19．第三个
【分析】 根据二次函数的对称轴：2b x a
=-
，可得答案． 【详解】
解：y=x 2-1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x2+6x+8对称轴是x=-3，图象中第一个，
y=x2-6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x2-12x+35对称轴是x=6，图象中第四个，
故答案为第三个．
【点睛】
本题考查了二次函数图象，利用二次函数图象的对称轴确定函数图象是解题关键．20．-3
【详解】
由题意得
272
30 m
m
⎧-=
⎨
-≠
⎩
,
解得m=3
±且m≠3,
所以m=-3，
故答案为-3.
21．﹣5、3、1
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，判断出二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为多少即可．
【详解】
解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．
故答案为-5、3、1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
22．y是x的二次函数
【解析】
【分析】
根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出y与x之间的函数关系式．
【详解】
解：设宽为xcm ，
由题意得，矩形的周长为800cm ， ∴矩形的长为
80022
-x cm ， ∴y=x×80022-x =﹣x 2+400x （0＜x ＜400）． y 是x 的二次函数．
【点睛】
本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式及二次函数的定义，属于基础题，表示出矩形的长是解答本题的关键．
23．（1）k=2；（2）y=
14 【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k 2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k 的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y 的值．
【详解】
解：（1）由题意得：k 2﹣3k+4=2，且k ﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）把k=2代入y=（k ﹣1）234-+k
k x +2x ﹣1得：y=x 2+2x ﹣1， 当x=0.5时，y=
14． 【点睛】
此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
24．（1）y=x-3；y=x 2-2x-3；（2）P 1（-2，5），P 2（1，-4）（3）存在，
8
【解析】
试题分析：(1)、根据抛物线的对称轴和点A 的坐标得出点B 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入解析式得出一次函数解析式，将二次函数设成交点式，然后将点C 的坐标代入求出二次函数的解析式；(2)、根据题意得出AB=4，OB=OC=3，则∠OCB=∠OBC=45°，设抛
物线的对称轴与x轴交于点M，
MB=2，然后分B为直角顶点和C为直角顶点两种情况分别求出点P的坐标；
(3)、首先设出点Q的坐标，然后得出点Q到直线BC的距离，然后根据点Q到直线BC的距离等于半径得出答案.
点晴：本题主要考查的就是函数解析式的求法、直角三角形的性质、切线的性质以及分类讨论思想.求函数解析式我们一般采用待定系数法进行求解.
在函数里面出现几何问题时，一定要注意分类讨论，然后根据直角三角形直角顶点的不同位置，从而得出两种不同的情况，分别根据直角三角形的性质得出答案.
在解决这种类型的题目时我们一定要注意分类讨论以及根据特殊三角形的性质进行解答，即使有一种不符合题意的情况也需要进行说明，最后根据实际情况进行舍去即可.
在直线和圆的位置关系中，当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，对于这种问题分别利用公式得出圆与直线的距离和圆的半径，然后根据相等列出方程得出答案. 试题解析：（1）∵对称轴为x=2，且抛物线经过A（1，0），∴B（3，0）．
把B（3，0）、C（0，3）分别代入y=mx+n，
得
30
{
-3
m n
n
+=
=
，解得
1
{
-3
m
n
=
=
，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
∵对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0），
∴点B（3，0），
设y=a（x-3）（x+1），
把C（0，-3）代入解得：a=1，
故解析式为：y=x2-2x-3；
（2）由（1）得：AB=4，OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°.
设抛物线的对称轴与x轴交于点M，则MB=2.
①如图，若B为直角顶点，
设BP交抛物线的对称轴为点N1，则∠MBP=45°，∴N1M=MB=2，即N1（1，2），
则直线N1B的表达式为y=-x+3，
223 {
-x+3
y x x
y
=--
=
，
解得113
{0x y ==(舍去)，222{5x y =-=，所以P 1（-2，5）；
②如图，若C 为直角顶点，设BP 交抛物线的对称轴为点N 2，过点N 2作y 轴的垂线，垂足为点E ，
则∠PCE=45°，∴CE=EN 2=OM=1，∴ON 2=4，即N 2（1， -4）,
则直线N 2C 的表达式为y=-x-3，223{-x-3
y x x y =--=， 解得110{3
x y ==-(舍去)，221{4x y ==-， 所以P 2（1，-4）；综上所述，满足条件的点P 共有两个，分别为P 1（-2，5），P 2（1，-4）；
（3）存在，最大⊙Q
的半径为8
.。