MM定理证明过程MM定理证明过程

1 无税收条件下的MM 定理
1.1
假设条件 假设1：无摩擦市场假设 ✓
不考虑税收； ✓
公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ✓
无关联交易存在； ✓
不管举债多少，公司和个人均无破产风险； ✓
产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等； ✓
资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ✓
投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设
✓ 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理
性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM 定理第一命题及其推论
MM 定理第一命题：
有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：
即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。

这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。

MM 定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。

基础假定：我们假定有两家公司—公司A 和公司B ，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。

A 公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B 公司的负债额度是D ，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。

细节假设：
✓
B 公司当前债务利率为r （固定值）； ✓
A 、
B 两公司当前的股本分别是A S 和B S （固定值）； ✓ A 、B 两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是A
r 和B r （固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；
✓ A 、B 两公司任何年份的息税前利润（EBIT ）相同，数额都为EBIT （随机变量，每年的数值都是它
的一个数据点）；
✓
A 、
B 两公司当前的市场价值分别记为A PV 和B PV （固定值）； ✓
A 、
B 两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为A MP 和B MP （固定值）； ✓ A 、B 两公司当前的股东权益分别记作A SE 和B SE （固定值）。

注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。

考虑一个套利策略：卖出A 公司1%的股票；同时买入B 公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。

这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。

表1 上述套利策略的现金流
头寸 即时现金流 未来每年现金流
卖出1%A 股票 0.01* A PV -0.01*EBIT 买入1%B 股票 -0.01*B S *B MP 0.01*（EBIT-D*r ）
买入1%B 债券 -0.01*D -0.01* D*r
净现金流 NC 0
首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A 公司无负债，因此有
其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值：
/;()/A A A B B B MP PV S MP PV D S ==-①
再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是
()/B A B MP PV D S ⇒=-②
由①②推得：A B PV PV =③，命题证毕。

MM 定理第一命题推论一：
债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。

证明：假设B 公司的债务权益比为k ，则：
1()////B B B B A B A B k SE D SE PV SE PV SE S S +=+===④
将③④代入①得：
//((1))()/((1))(1)/((1))A A A B B B B B B B MP PV S PV S k D SE S k SE k S k MP ==+=++=++= 证毕。

MM 定理第一命题推论二：
股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下B 公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A 公司的股票预期收益率小于B 公司的股票的预期收益率。

证明：B 公司的资产负债率（RDA ）和股东权益比率（REA ）分别为：
由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。

则由股票收益现值模型可得A 、B 两公司的股票预期收益率A r 和B r 分别满足：
同时EBIT>*B r PV ，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。

故可推导出：
***B A B B B A A A
EBIT r D EBIT r D EBIT EBIT EBIT r r SE PV D PV PV S MP --==>===-，证毕。

MM 定理第一命题推论三：
股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。

证明：A 、B 两公司每股盈利分别为：
(*);A B A B
EBIT EBIT R D E E S S -==⑤ 将④代入⑤的第二式得：
(*)(1)(*)*(1)**B A B A A
EBIT R D k EBIT R D k EBIT k R D E E S S S -+--+===+⑥ 由于EBIT>*B r PV ，再将前面B RDA 定义式代入，可以推得：
*(1)**(1)(
*)(1)*()01B
k EBIT k EBIT k R D k EBIT R D k D r k PV -+=+-=+->+⑦ 由⑥⑦得：B A E E >，证毕。

注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。

1.3 MM 定理第二命题及其推论
MM 定理第二命题：
公司加权平均资本成本（WACC ）与公司的资本结构无关。

证明：由于公司A 仅有股权融资，故A A WACC r =
B B B A B B B A
SE D EBIT EBIT WACC r r r PV PV PV PV =+===①，证毕。

MM 定理第二命题推论：
有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k 。

（是不是和CAPM 、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵）
证明：由①（重新编号）得：
*()()B B A A A A A B B B PV r D D r r r r r r k r r SE SE SE =
-=+-=+-，证毕。

2 有税收条件下的MM 定理
2.1
假设条件 考虑税收，其他假设与前面相同。

有税收条件下的MM 定理仅一个定理，有四个推论。

2.2 MM 定理第一命题及其推论
MM 定理第一命题：
在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。

证明：假定A 、B 两公司的所得税税率都是T （固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT ）分别为： (1)*(*)*(1)***B A EAT T EBIT r D r D T EBIT T r D EAT =--+=-+>，证毕。

其中**T r D 即税盾效应，与A 公司税后盈利相比，这是B 公司多出来的部分，这是由于B 公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A 公司每年产生的现金流EBIT 都要交所得税，而B 公司中EBIT 仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。

或者也可以理解
为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里*T r 是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1)*T r -，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。

显然A 、B 两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。

我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A 、B 两公司的市场价值分别为：
///(1)**(1)(1)(1)B B B A A T r PV r D PV PV T D PV D PV EBIT EBIT
-=--
+=+->① 其中(1)*(1)B T r PV D EBIT --叫做税盾的市场价值。

MM 定理第一命题推论一：
在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。

即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM 定理的命题一的推论二仍然成立。

证明：考虑税收，A 公司股票预期收益率为：
///(1)(1)(1)*(1)A A A A A A
EBIT T EBIT T EBIT T r r S MP PV T PV ---====-② 由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和①（重新编号）得B 公司股票的预期收益率为：
////()(1)()(1)()(1)1(1)***(1)B B B B B A A rD
EBIT rD EBIT rD T rD EBIT rD T rD EBIT rD T rD T r T rD PV rD S MP PV D PV PV EBIT EBIT -+
--+--+--+-====----再由②得：//(1)(1)B A A rD
r r rD PV T EBIT =+--③，由于EBIT>rD （盈利足够付利息，保证不破产），故//
B A r r >，证毕。

MM 定理第一命题推论二：
考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM 定理命题一推论三仍然成立。

证明：A 、B 两公司每股盈利分别为：
//(1)(1)();A B A B
T EBIT T EBIT rD rD E E S S ---+==④ 将第一部分第一命题推论一下面的④代入④得：
[][]/
//(1)(1)()(1)()B A A
A A k T EBIT rD rD TrD k T EBIT rD rD E E E S S +--++--+==+> 因EBIT>rD ，故上不等式成立，证毕。

MM 定理第一命题推论三：
在考虑税收情况下，WACC 与公司资本结构有关。

（证略）
根据CAPM 模型，有税收后的贝塔系数/β和无税收情况下的贝塔系数β的关系为/(1(1))D T SE
ββ=+-（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出WACC ，显然WACC 是受资本结构影响的。

MM 定理第一命题推论四：
在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如③）。

注：一个延伸，/(1)(1)(1)1c s d
T T PV PV D T --=+--，c T 表示企业所得税率，s T 表示股票收入的税率，d T 表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。

3
MM 定理的缺陷 主要是假设不合理导致的缺陷 ✓ 假设没有破产风险不符合实际。

考虑税收的话，按照MM 定理所有都是债权融资则公司价值最大化，但
考虑到实际的破产风险，杠杆增加降低了融资成本WACC ，但增加了公司的破产风险，故存在最优的资本结构使得公司达到价值最大化。

✓
MM 定理忽略了交易成本和信息不对称性等，显然不符合事实。

✓ 以上仅是两个例子，其他的大家可以想想。

撰写人：小秋。