【优化方案】2020高中数学 第1章§5.2知能优化训练 北师大版必修3

1．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70] 频数1213241516137
则样本数据落在(10,40]上的频率为( )
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
解析：选C.样本数据落在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，故其频率为52
100
＝0.52. 2．已知样本：12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10，那么频率为0.35的样本范围是( )
A．[5.5,7.5) B．[7.5,9.5)
C．[9.5,11.5) D．[11.5,13.5)
解析：选C.
分组频数累计频数频率
[5.5,7.5)20.1
[7.5,9.5)正一60.3
[9.5,11.5)正70.35
[11.5,13.5]正50.25
合计20 1
从表中可看出，频率为0.35的样本范围是[9.5,11.5)．
3．甲、乙两同学在5次考试中的语文成绩如下：甲：80,75,80,90,70；乙：70,70,65,75,80；则下列判断正确的是( )
A．甲的平均成绩好，且较为均衡
B．乙的平均成绩好，且较为均衡
C．甲的平均成绩好，但不如乙均衡
D．乙的平均成绩好，但不如甲均衡
解析：选C.甲的平均成绩为x甲＝79，乙的平均成绩为x乙＝72，计算方差得，s2甲＝44，s2乙＝26，即乙相对均衡．
4．(2020年高考重庆卷改编)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为________．
解析：落在[114.5,124.5)内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求频率为410＝25
＝0.4.
答案：0.4
一、选择题
1．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )
A ．32
B ．27
C ．24
D ．33
解析：选D.由于所有矩形的面积等于1，所以该班学生数学成绩在(80,100)之间的频率是
5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120，所以该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是1120
×60＝33. 2．关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )
A ．表示该组上的个体在样本中出现的频率
B ．表示取某数的频率
C ．表示该组上的个体数与组距的比值
D ．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
解析：选D.频率分布直方图中小长方形的高是频率组距
，面积才表示频率． 3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场的进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场的进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3. 给出下列说法：
①甲队的技术比乙队好；②乙队比甲队发挥稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．
其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D.四种说法都正确．甲队平均每场的进球数多于乙队，故①正确；乙队标准差较小，说明发挥稳定；甲队平均每场的进球数是3.2，但其标准差却是3，离散程度较大，由此可判断甲队表现不稳定，故②④正确；乙队平均每场进球数是1.8，标准差只有0.3，每场的进球数相差不多，可见乙队几乎每场都进球，故③正确．
4．(2020年高考山东卷)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )
A ．92,2
B ．92,2.8
C ．93,2
D ．93,2.8
解析：选B.去掉一个最高分95分与一个最低分89分后，所得的5个数分别为90、90、93、94、93，
所以x ＝90＋90＋93＋94＋935＝4605
＝92， s 2＝2×90－922＋2×93－922＋94－9225＝145＝2.8，故选B. 5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( )
A ．0.9,35
B ．0.9,45
C ．0.1,35
D ．0.1,45
解析：选A.x ＝(0.02＋0.18＋0.36＋0.34)×1＝0.9， y ＝(0.36＋0.34)×1×50＝35.
6．(2020年高考陕西卷)如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )
A.x A >x B ，s A >s B
B.x A <x B ，s A >s B
C.x A >x B ，s A <s B
D.x A <x B ，s A <s B
解析：选 B.由图可知A 组的6个数为 2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56
， x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706
.
显然x A <x B ，
又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.
二、填空题
7．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________． 解析：∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，
∴前三组频数为2＋3＋420
·n ＝27，故n ＝60. 答案：60
8．(2020年合肥质检)
分数 频数 频率
[150,250) 5
[250,350) 90 0.075
[350,450) 499
[450,550) 0.425
[550,650) ？
[650,750] 8
则分数在[550,650)解析：由于在分数段[250,350)的频数是90，频率是0.075，则该中学共有考生900.075
＝1200，则在分数段[450,550)的频数是1200×0.425＝510，则分数在[550,650)的频数即人数为1200－5－90－499－510－8＝88.
答案：88
9.
(2020年高考江苏卷)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm 的有0.3×100＝30(根)．
答案：30
三、解答题
寿命(h)
100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 个数 20 30 80 40 30
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计元件寿命在100 h ～400 h 内的百分比．
解：(1)频率分布表：
分组(Δx i )
频数(n i ) 频率(f i ) f i Δx i 100～200
20 0.10 0.001 200～300
30 0.15 0.0015 300～400
80 0.40 0.004 400～500
40 0.20 0.002 500～600
30 0.15 0.0015
(2)
(3)由上述图表可得元件寿命在100 h ～400 h 内的百分比约为65%.
11．为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．
(1)分组 频率
[1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30)
(2)将上面捕捞的100捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数． 解：(1))，故可得下表：
分组 频率
[1.00,1.05) 0.05
[1.05,1.10) 0.20
[1.10,1.15) 0.28
[1.15,1.20) 0.30
[1.20,1.25) 0.15
[1.25,1.30) 0.02
(2)120×1006
＝2000，所以水库中鱼的总条数约为2000. 12．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．
(1)A 类工人和B 类工人各抽查多少工人？
(2)从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
生产能
[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150) 力分组
人数48x 5 3
生产能
[110,120)[120,130)[130,140)[140,150) 力分组
人数6y 3618
间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
①A类工人生产能力的频率分布直方图
②B类工人生产能力的频率分布直方图
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
解：(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名．(2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5,6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
频率分布直方图如图1和图2所示：
图1
图2
从直方图可以判断：A类工人中个体间的差异程度更小．
②x A＝4
25×105＋
8
25
×115＋
5
25
×125＋
5
25
×135＋
3
25
×145＝123，
x B＝6
75×115＋
15
75
×125＋
36
75
×135＋
18
75
×145＝133.8，
x＝
25
100
×123＋
75
100
×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。