中考数学知识点过关培优训练∶圆与相似含详细答案

中考数学知识点过关培优训练∶圆与相似含详细答案
一、相似
1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．
【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x=﹣；
（2）解：存在，∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4﹣4t，
∴D（2t﹣4，0），
∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t），
∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：
①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，
∴，即，解得：t= ；
②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE= AF，即t=2t，
∴t=0，（舍去），
③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或；
（3）解：∵B（1，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，
当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）•OD= （t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；
当D在y轴的右侧时，如图2，
∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）•OD= （﹣8t+10+2）•（4t﹣4），即
（2＜t＜）．
综上所述：
【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。

（2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可；
②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。

（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。

2．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；
把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2
（2）解：∵M（m，0），MN⊥x轴，
∴N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2），
∴NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2，
而NP=PM，
∴﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得m1=3（舍去），m2= ，
∴N点坐标为（，）
（3）解：∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），
∴AB= = ，BP= = m，
而NP=﹣ m2+4m，
∵MN∥OB，
∴∠BPN=∠ABO，
当 = 时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即 m：2=（﹣ m2+4m）：，
整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，
此时M点的坐标为（，0）；
当 = 时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即 m： =（﹣ m2+4m）：2，
整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，
此时M点的坐标为（，0）；
综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）
【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线AB都过点A（3,0）、B（0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；
（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN；而MN OA交抛物线与点N，交直线AB于点P，所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表
示，即P（m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解；
（3）因为以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，而△APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值；
当∠PNB=时，则可得△PNB∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值。

3．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式为（）
∵，
∴解得
∴直线的解析式为
∵抛物线经过点，
∴解得
∴
（2）解：∵轴，则，
∴，
∵点是的中点
∴
∴
解得，（不合题意，舍去）
∴
（3）解：∵，，
∴，
∴
∵
∴当与相似时，存在以下两种情况：
∴解得
∴
∴ ,解得
∴
【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。

（2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m 表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。

（3）在△BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有和这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。

4．如图，BD是□ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD—DC运动到终点
C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连接PQ，以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN与□ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）.
（1）AP=________cm（同含t的代数式表示）.
（2）当点N落在边AB上时，求t的值.
（3）求S与t之间的函数关系式.
（4）连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值.
【答案】（1）（10-5t）
（2）解：如图①，
当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：
AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．
（3）解：分三种情况讨论：
a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t．
当时，．
b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t，设PN交AB于点F，则
．
当时，．
c)如图④，当时，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：
AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四边形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－ ×4t×（9t-6）－ ×（6t-6）（8t-8）= ．
综上所述：
（4）解：分三种情况讨论．
①当NQ∥AB时，如图5，
过P作PF⊥BD于F，则PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得：．②当AD∥NQ，且Q在BD上时，如图6．
∵PNQD和PNBQ都是平行四边形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得：．
③当AD∥NQ，且Q在DC上时，如图7，
可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8，
此时DQ=AB= =6，t= =2．
综上所述：或或．
【解析】【解答】解：（1）（10-5t）；
【分析】（1）由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;
（2）由欧勾股定理的逆定理可得∠ABD=，所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得
比例式：,则可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）由（2）知，当□PQMN全部在□ABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点Q 在BD边上的运动速度是8cm/s，在DC边上的运动速度是6cm/s，所以当点Q运动到C点时，点P也运动到了点A，所以分3种情况：
a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，当0 < t ≤时， S=BQ PE；
b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，设PN交AB于点F，当< t ≤ 1 时，S =（PF+BQ）PE；
c)如图④，当 1 < t ≤ 2 时， S =平行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；
（4）由题意NQ与△ABD的一边平行可知，有3种情况：
①当NQ∥AB；
②当AD∥NQ，且Q在BD上时；
③当AD∥NQ，且Q在DC上时。

分这三种情况根据已知条件即可求解。

5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形A BCD的边BC在x轴上，D点在y 轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三
点．
（1）请直接写出点B、D的坐标：B（________），D（________）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求证：ED是⊙P的切线；
（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】（1）-4，0；0，2
（2）解：将（2，0），B（-4,0），D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c得，
解得
∴所求抛物线的解析式y=- x2- x+
（3）证明：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴，∵∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE=∠DCB=60°，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线
（4）解：点N的坐标为（-5，）、（3，）、（-3，- ）【解析】【解析】解：（1）∵C点坐标为（2，0），
∴OC=2 ,
∵BC=6 ,
∴OB=BC-OC=4 ,
∴B（-4,0），
∵∠BCD=60°，tan∠BCD= ,
∴ ,
∴OD=,
∴D(0,);
（4存在,∵y=−x2−x+=−(x+1)2+
∴M(−1,)，
∵B(−4,0),D(0,)，
如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，
点D向左平移4个单位,再向下平移个单位得到B，
则点M(−1,)向左平移4个单位,再向下平移个单位得到N1(−5,)；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，
点B向右平移3个单位,再向上平移个单位得到D，
则点M(−1,)向右平移4个单位,再向上平移个单位得到N2(3,)；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，
点M向右平移1个单位,再向下平移个单位得到D，
则点B(−4,0)向右平移1个单位,再向下平移个单位得到N3(−3,−)；
综上所述,以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时,点N的坐标为(−5，,)或(3,)
或(−3,−）
【分析】（1）根据点C的坐标，求出OC的长度，进而求出OB的长度，得出B点的坐标。

根据正切函数的定义得出OD的长度，从而得出D点的坐标；
（2）用待定系数法，分别将：将（2，0），B（-4,0），D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c 得得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而得出解析式；
（3）根据平行四边形的性质得出AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，又根据AE=3BE，，从而得出AE=3，根据锐角三角函数的定义得出AE∶AD＝OC∶CD,然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出△AED∽△COD，根据相似三角形对应角相等得出∠ADE=∠CDO，根据等量代换得出∠CDO+∠ODE=90°，即CD⊥DE，根据90°的圆周角所对的弦是直径得出CD为⊙P的直径，从而得出结论；
（4）首先求出抛物线的顶点M的坐标，然后按当BM为平行四边形BDMN的对角线时；当DM为平行四边形BDMN的对角线时；当BD为平行四边形BDMN的对角线时；三种情况，找到其他点的平移规律即可得出N点的坐标。

6．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
【答案】（1）解：如图，
∵矩形ABCD ，
∴，
∴，
∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴，
∴，
∴，∵，
∴，∴，
∴；
（2）解：∵PF⊥BP ，∴，
∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽，∴，
∵AD//BC ，∴，
∴，即，
∵，∴，
∴，
∴
（3）解：∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x= ；
②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，
PH=2x，FH= ，CH=2- x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，
综上：PD的长为：或
【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。

根据同角
的余角相等可得∠BAF=∠ADB，所以tan∠PBF=tan∠ADB=,结合已知即可求得
BF的长，三角形ABF的面积=AB BF；
（2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ΔBAP∽ΔFPE，从而得出比例
式;,现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。

（3）由已知条件过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F可知，点F可能在线段CE上，也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。

7．
（1）【探索发现】如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O.用”S”表示三角形的面积，有S△ABD：S△ACD＝BD：CD，这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，可得
S△ABD：S△ACD＝，又可证△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD.由此可得S△BAO：S△BCO＝________；S△CAO：S△CBO＝________；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝________.
（2）【灵活运用】如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，连接AF，BE 和CE，AF分别交BE，CE于点G，M.
若AE＝DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）若点E，F分别是边AD，CD的中点，且AB＝4.则四边形EMFD的面积是多少？（4）【拓展应用】如图3，正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P，BG⊥AF于点G，连接OG，请直接写出S△OGP的值.
【答案】（1）AE：EC；AF：BF；1：6
（2）解：结论：AF＝BE，AF⊥BE.
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AF⊥BE.
（3）解：如图2﹣1中，连接DM.
根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，
∴S△DME＝S△DMF，
∵AE＝DE，
∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF，
∵S△ADF＝ ×4×2＝4，
∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF＝，
∴S四边形EMFD＝ .
故答案为 .
（4）拓展应用：如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4 ，OA＝OB＝OD＝OC＝2 ，∵DF＝FC，
∴DF＝FC＝2，
∵DF∥AB，
∴，
∴OP：OB＝OP：OA＝1：3，
∵BG⊥PA，AO⊥OB，
∴∠AGB＝∠AOB＝90°，
∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠PAO＝∠PBG，
∵∠APO＝∠BPG，
∴△AOP∽△BGP，
∴
∴，∵∠GPO＝∠BPA，
∴△GPO∽△BPA，
∴，
∴S△ABP＝ S△ABD＝，
∴S△GOP＝ .
【解析】【解答】（1）探索发现：由题意：S△BAO：S△BCO＝AE：EC；S△CAO：S△CBO＝AF：BF；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝1：6，
故答案为：AE：EC，AF：BF，1：6.
【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可.【灵活运用】（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE.证明△BAE≌△ADF（SAS）即可解决问题.（2）根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，推出S△DME＝S△DMF，由AE＝DE，推出S△AEM＝S△DME＝S△DMF，求出
△ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由△GPO∽△BPA，推出即可解决问题.
8．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO 的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【答案】（1）解：∵2BM=AO，2CO=AO，
∴BM=CO，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形
（2）解：连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）解：当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM，
∴MO=2PO=BD，
∴，
∵AO=2BM=2 ，
∴OE= ，DE= ，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM= ，
∴AE=AD+DE=
∴AB= ，
由勾股定理可知：BE= ，
易证：△PEO∽△PBM，
∴，
∴PB= ；
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴，
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，∴AD=BM= ，
∴，
解得：x= ，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3
，BM=3
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出▱OCBM 是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC ，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；
（2）连接AP 、OB ，根据∠ABP=∠AOP=90°，判断出A 、B 、O 、P 四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB ，根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠OBM ，根据等量代换得出∠APB=∠OBM ，从而判断出△APB ∽△OBM ，根据相似三角形对应边成比例得出
;
（3）当点P 在O 的左侧时，如图所示，过点B 作BD ⊥AO 于点D ，易证△PEO ∽△BED ，根据相似三角形对应边成比例得出
,易证：四边形DBMO 是矩形，根据矩形的性质
得出BD=MO ，OD=BM ，故MO=2PO=BD ，进而得出BM,OE,DE 的长，易证△ADB ∽△ABE ，根据相似三角形对应边成比例得出AB 2=AD•AE ，从而得出AE,AB 的长，由勾股定理可得BF 的长，易证：△PEO ∽△PBM ，根据相似三角形对应边成比例得出 BE ∶PB=OM ∶PM=2 ∶3 ，根据比例式得出PB 的长；当点P 在O 的右侧时，如图所示，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，设PM=x ，BD=2x ，由∠AOM=∠ABP=90°，得出四边形AOPB 是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出∠BPM=∠A ，从而判断出△ABD ∽△PBM ，根据相似三角形对应边成比例得出 AD ∶BD=PM ∶BM ，根据比例式得出x 的值，进而得出BD ，AB ，BP 的长。

二、圆的综合
9．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作
DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O e ．
()1求证：BC 是O e 的切线；
()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．
【答案】（1）见解析；（2）1tan 2
EDB ∠=． 【解析】 【分析】
()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线
的判定定理得到结论；
()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，
再证明BDO V ∽BCA V ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15
r 8
=，接着利用勾股定理计算5BD 2=
，则3CD 2=，利用正切定理得1
tan 12
∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．
【详解】
()1证明：连接OD ，如图，
AD Q 平分BAC ∠，
12∴∠=∠，
OA OD =Q ， 23∴∠=∠， 13∴∠=∠， //OD AC ∴， AC BC ⊥Q ， OD BC ∴⊥，
BC ∴是O e 的切线；
()2解：在Rt ACB V 中，22345AB =
+=，
设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，
//OD AC Q ， BDO V ∴∽BCA V ，
OD ∴：AC BO =：BA ，
即r ：()35r =-：5，解得158
r =
， 158OD ∴=
，258
OB =， 在Rt ODB V 中，2
2
5
2
BD OB OD =-=
，
32
CD BC BD ∴=-=
， 在Rt ACD V 中，
3
12tan 132
CD AC ∠===
， AE Q 为直径，
90ADE ∴∠=o ， 90EDB ADC ∴∠+∠=o ， 190ADC ∠+∠=o Q ，
1EDB ∴∠=∠，
1
tan 2
EDB ∴∠=．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．
10．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．
（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；
（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）π2
【解析】
试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；
（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1
32
OF AD =
=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．
在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC=CG
CD
=
1
2
，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．
连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴¶303
1802 AE
ππ
⋅⨯
==．
点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
11．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由
∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到
AD52
22
===△ACE为等腰直角三角形，得到
AE CE32
22
====，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=2，则
CD=2，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD PA AD52
PC PD CD72
===，所以PA=
5
7
PD，
PC=7
5
PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°．
∴∠DAB=∠ABD=45°．∴△DAB为等腰直角三角形．
∴DO⊥AB．
∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．
∴DP∥AB．
（2）在Rt△ACB中，，
∵△DAB为等腰直角三角形，∴．
∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴．在Rt△AED中，，
∴．
∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°．∴∠PAD=∠PCD．
又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴．
∴PA=7
5PD，PC=
5
7
PD．
又∵PC=PA+AC，∴7
5
PD+6=
5
7
PD，解得PD=．
12．阅读下列材料：
如图1，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2外公切线，A、B为切点，求证：AC⊥BC
证明：过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D，
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC．
∴∠DAC=∠DCA．
同理∠DCB=∠DBC．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°． 即AC ⊥BC ．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容； （2）以AB 所在直线为x 轴，过点C 且垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系（如图2），已知A 、B 两点的坐标为（﹣4，0），（1，0），求经过A 、B 、C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式；
（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O 1O 2上，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）213
222
y x x =+- ；（3）见解析 【解析】
试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°，可知用了三角形内角和定理；
（2）先根据勾股定理求出C 点坐标，再用待定系数法即可求出经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式；
（3）过C 作两圆的公切线，交AB 于点D ，由切线长定理可求出D 点坐标，根据,C D 两点的坐标可求出过,C D 两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．
试题解析：(1)DA 、DC 是1O e 的切线， ∴DA =DC .应用的是切线长定理；
180DAC DCA DCB DBC ∠+∠+∠+∠=o ，应用的是三角形内角和定理.
(2)设C 点坐标为(0,y ),则222AB AC BC =+， 即()()
22
22241
41y y --=-+++，
即2
25172y =+,解得y =2(舍去)或y =−2.
故C 点坐标为(0,−2)，
设经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式为2
y ax bx c ，
=++
则1640
2,
a b c
a b c
c
-
+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=-
⎩
解得
1
2
3
2
2
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=-
⎪
⎪⎩
，
故所求二次函数的解析式为2
13
2.
22
y x x
=+-
(3)过C作两圆的公切线CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A(−4,0),B(1,0)可知
3
(,0)
2
D-，
设过CD两点的直线为y=kx+b,则
3
2
2
k b
b
⎧
-+=
⎪
⎨
⎪=-
⎩，
解得
4
3
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩，
故此一次函数的解析式为
4
2
3
y x
=--，
∵过
12
,
O O的直线必过C点且与直线
4
2
3
y x
=--垂直，
故过
12
,
O O的直线的解析式为
3
2
4
y x
=-，
由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为
325
(,)
28
--，
代入直线解析式得
3325
2,
428
⎛⎫
⨯--=-
⎪
⎝⎭
故这条抛物线的顶点落在两圆的连心12
O O上.
13．问题发现．
(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．
(2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
(3)如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152
【解析】
试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过
C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则
ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆
心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由
AEM ACB V V ∽求得GM 的值，再由ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形 求解即可.
试题解析：
（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
22
ABC CD AB AC BC
S ⋅⋅==V ， ∴3412
55
AC BC CD AB ⋅⨯=
==， （2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，
则CM MN +的最小值为C N '的长， 设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥， ∴BMC BCD V V ∽，且12
5CH =， ∴C CB BDC ∠=∠'，245
CC '=
，
∴C NC
BCD 'V V ∽，
∴24
4
965525
CC BC C N BD ⨯⋅===''， 即CM MN +的最小值为96
25
．
（3）连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，
321GB EB AB AE ==-=-=，
∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧． 过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB V V ∽， ∴EM AE
BC AC
=， ∴248
55
AE BC EM AC ⋅⨯=
==， ∴83
155
GM EM EG =-=-=，
∴ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形，
113
345225=⨯⨯+⨯⨯， 152
=． 【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．
14．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°． ⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；
⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；
⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）
【答案】⑴ 222-；⑵ 见解析；⑶ y =2x 【解析】 【分析】
（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；
（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE 证PF=EF=1
2
PE ，故可证出PE =2AC ；
（3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得
GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论. 【详解】
（1）连接OD ，如图，
∵∠B=22.5°， ∴∠DOC=45°, ∵DC ⊥AB
∴△DOC 为等腰直角三角形， ∵OC=2， ∴2 ∴2，
∴AC=AO-OC=
2.
⑵ 连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F .
∵OP ⊥AB ,
∴∠POD=∠DOC=45°，
∴AD=PD ，
∵△DOC 为等腰直角三角形，
∴DC=CO,
易证DF=CO ，
∴DC=DF ，
∴Rt △DAC ≌Rt △DPF,
∴PF=AC,
∵DO=AO,∠DOA=45°
∴∠DAC=67.5°
∴∠DPE=67.5°,
∵OD=OB ，∠B=22.5°，
∴∠ODE=22.5°
∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°
∴∠DEP=∠DPE
∴PF=EF=12
PE ∴PE =2AC
（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得OD =
= ∴ AB =2OD=
∵AB 是直径，
∴∠ADB=∠EDG=90°，
由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC
∴△DGE ≌△DBA
∴ GE =AB =
∵ PE =2AC
∴ PE =2)x -
∴ GP =GE －PE =-)x -
即：y =2x
【点睛】
本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.
15．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．
（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.
①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；
②求PA+PB+PC 的值.
（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.
【答案】（1）①详见解析；②7；（231312PQ PQ ≤≤≠且；
【解析】
【分析】
（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；
②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图，
∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，
∴∠APM=∠APM=60°，
∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，
∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，
∴C、P、M、N四点在同一条直线上；
②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形
∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，
∴∠NBC=90°，
∵AC=2，
∴AB=BN=4，BC=23，
∵PA=PM，PB=MN，
∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，
在Rt△CBN中，CN=22
+=，
BC BN27
∴PA+PB+PC=27．
(2) 如图2中，
∵∠BPC=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），
设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，
可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．
PQ 31PQ 31PQ 2的取值范围是且∴-≤≤+≠
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ． （1）求证：AD ⊥CD ；
（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）32
【解析】
试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则
∠1=∠2=12
∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ； （2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则
2AD AC AC R =，从而求得R ． 试题解析：（1）证明：连接OC ，
∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径，
∴OC ⊥CD ．
又∵AC 平分∠DAB ，
∴∠1=∠2=12
∠DAB ． 又∠COB =2∠1=∠DAB ，
∴AD ∥OC ，
∴AD ⊥CD ．
（2）连接BC ，则∠ACB =90°， 在△ADC 和△ACB 中 ∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°， ∴△ADC ∽△ACB ． ∴2AD AC AC R
= ∴R =2322
AC AD =。