云南省昆明市云南民族中学 2019年高三数学文下学期期末试卷含解析

云南省昆明市云南民族中学 2019年高三数学文下学期
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
参考答案：
C
2. 设函数，若实数满足，则( )
参考答案：
A
略
3. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于
A． B．C．
D．
参考答案：
A
，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A.
4. 设是两个非零向量，则“”是“夹角为锐角”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
5. 下列函数中在区间上单调递增的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
根据函数的单调性可知对数函数在上单调递增，选C.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
参考答案：
B
7. 执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（）
A．7 B．20 C.22 D．54
参考答案：
B
8. 等比数列｛a n｝的首项a1＝－1，前n项和为S n，若，则等于( )
A． B．1 C．- D．不存在
参考答案：
C
9. 已知偶函数满足条件f(x+1)=f(x-1),且当时，f(x)=
则
A B. C.
D. 1
参考答案：
D
10. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）
B．可以预测，当时，
C．m=4
D．由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)
参考答案：
C
由题意得，由，得变量，之间呈负相关，故A正确；当时，则
，故B正确；由数据表格可知，
，则，解得，故C错；由数据表易知，数据中心为，故D正确.故选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则曲线上到直线距离为
的点的个数为： .
参考答案：
3
12. 设，其中，表示k与n的最大公约数，则的值为=__ .
参考答案：
520；
13. 已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为．
参考答案：
9
略
14. 已知数列的首项，其前n项和为．若，则
．
参考答案：
15. 设，，，则，，的大小关系是__________.
参考答案：
16. 从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】计算从2男3女5名学生中任选2名学生和选出的2名都是男同学或都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．
【解答】解：从2男3女5名学生中任选2名学生有=10种选法；
其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，
其中选出的2名都是男同学的有=1种选法，
∴这2名都是男生或都是女生的概率是=，
故答案为：．
17. 设函数f（x）=4x2﹣lnx，且f′（m）=0，则m= ．
参考答案：
【考点】导数的运算．
【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数，解导数方程即可．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=8x﹣，
则由f′（m）=0得8m﹣=0，得8m2=1，得m=±，
∵函数的定义域为（0，+∞），
∴m＞0，则m=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （10分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
参考答案：
(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
19. 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

参考答案：
略
20. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，右焦点为F．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（3，t）且与椭圆C有且仅有一个公共点P，过点P作直线PF交椭圆于另一个点Q．
①证明：当直线OM与直线PQ的斜率k OM，k PQ均存在时，k OM k PQ为定值；
②求△PQM面积的最小值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由b=，椭圆的离心率公式，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，分别求得k OM，k PQ，即可求得k OM?为定值；
②设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式，求得S△PQM=?，根据函数的单调性即可求得△PQM面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：2b=2，b=，
由题意的离心率e===，解得：a2=6，则c2=a2﹣b2=4，
故椭圆方程为：；
（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程：y=kx+m，
由点M（3，t）在直线上，则t=3k+m，联立直线与椭圆方程：，
可得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，
又直线与椭圆只有一个公共点，故△=0，即m2=6k2+2；
由韦达定理，可得P点坐标（﹣，），
由直线PQ过椭圆右焦点为F（2，0），则直线PQ的斜率k PQ=k PF=；
而直线OM的斜率，则k OM==：
k OM?k PQ=?=?=?=﹣．
②由=（1，t），=（，），则?==0，
即FM⊥PF，
∴三角形的面积S△PQM=丨PQ丨丨MF丨，
丨MF丨=，由直线FM的斜率为t，可得直线PQ的方程：x=﹣ty+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
与椭圆方程联立可得：，整理得：（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0，
则y1+y2=，y1y2=﹣，则丨PQ丨
=?=，
则S△PQM=?，令t2+3=m，（m＞0），则S△PQM=?，
由函数的单调性可知：y=，单调递增，
故S△PQM=?≥，当t=0时，△PQM面积的最小值．
∴△PQM面积的最小值．
21. （本题满分12分）2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):
(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;
(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X 的分布列及数学期望.（注明：本图的纵坐标标注的依次是
，
，
，
）
参考答案：
（Ⅰ）这60人的月平均收入为：
（百
元）……………（4分）
（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：
………………（6分）
……（10分）
(每算对一个一分，正确给出x 的取值1分，共5分)
………………（12分）
（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）
22. 已知两个数列的前项和分别为, ,其中是等比数列,且，
，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
参考答案：
(1)∵，，,所以.
所以，，
，
经验证，时也满足，所以，
（2）设，的前项和为
设数列的前项和为，则①
②
②-①得所所以。