2015届高三数学湘教版一轮复习配套课件：第2章 第9节 函数模型及其应用

园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范
围是
()
A．[15,20]
B．[12,25]
C．[10,30]
D．[20,30]
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第八页，编辑于星期五：八点 四十八分。
第九节 函数模型及其应用 结束
解析：设矩形的另一边长为y m， 则由三角形相似知，4x0＝404－0 y， ∴y＝40－x. ∵xy≥300， ∴x(40－x)≥300， ∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 答案：C
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第九节 函数模型及其应用 结束
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式． (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上 某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大， 并求出最大值(精确到 1 辆/小时)．
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200 (0≤x≤4 000).
答案：D
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1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种
方式是月租20元，B种方式是月租0
元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与
电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话
150分钟时，这两种方式电话费相差
A．10元
B．20元
思考1：在车流速度改变的分界点的车流密度是多少？如
何求车流密度20≤x≤200时的车流速度v ？车流速度函 数是什么类型的函数？
思考2：车流量函数是什么类型的函数？此种函数如何求其 最大值？
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第九节 函数模型及其应用 结束
[解] (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
第九节 函数模型及其应用 结束
2．三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
_增__函__数___
_增__函__数__
增__函__数___
增长速度
_越__来__越__快__
_越__来__越__慢__
相对平稳
图像的变化
随x值增大，图像 随x值增大，图 与 y轴接近平 像与 x轴 接近
A．115元
B．105元
C．95元
D．85元
解析：设售价定为(90＋x)元，卖出商品后获得利润为：y＝
(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x2＋10x＋
200)＝－20(x2－10x－200)＝－20[(x－5)2－225]，∴当x＝5
时，y取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)，选C .
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故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为
3t－230t2＋8t，0≤t≤20， F(t)＝60－230t2＋8t，20<t≤30，
60－230t2＋240，30<t≤40.
当0≤t≤20时，F(t)＝3t－230t2＋8t＝－290t3＋24t2，
第九节 函数模型及其应用 结束
解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．
＝－12(x－300)2－35 000，因为400≤x≤600， 所以当x＝400时，S有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
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[类题通法] 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点
车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
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[类题通法] 应用分段函数模型的关注点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而 是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应 构建分段函数模型求解．
理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝
1 2
x2－
200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工
产品价值为100元．
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该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获 利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：设该单位每月获利为S，则S＝100x－y ＝100x－12x2－200x＋80 000＝－12x2＋300x－80 000
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重 不漏．
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．
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第二十一页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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[针对训练] 某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和 国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果 40 天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果 如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件 样品的销售利润与上市时间的关系．
C．30元
D.430元
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()
第十页，编辑于星期五：八点 四十八分。
第九节 函数模型及其应用 结束
解析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt， 又sA(100)＝sB(100)， ∴100k＋20＝100m， 得k－m＝－0.2， 于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2) ＝－10，
f(x)＝ x 200－x ，20<x≤200. 3
当 0≤x≤20 时，f(x)为增函数，故当 x＝20 时，其最大值 为 60×20＝1 200；
x＋200－x
当
20<x≤200
时
，
f(x)
＝
1 3
x
(200
－
x)≤
1 3
2
2＝
10 000. 3
当且仅当 x＝200－x，即 x＝100 时，等号成立．
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以上过程用框图表示如下：
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[练一练]
(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地
中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花
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第十二页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门
的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳
转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理
量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处
函数
函数解析式
模型
指数函 数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数 模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模 型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
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第二页，编辑于星期五：八点 四十八分。
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用 待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
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第十五页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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第二十二页，编辑于星期五：八点 四十八分。
第九节 函数模型及其应用 结束
(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国 内市场的日销售量 g(t)与上市时间 t 的关系； (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理 由．
第九节 函数模型及其应用 结束
第九节
函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数 模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数 模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
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第一页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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由已知得22000aa＋＋bb＝＝600， ， 解得ab＝ ＝2－03013， ， 故函数 v(x)的表达式为
60，0≤x≤20， v(x)＝ 200－x，20<x≤200.
3
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第十八页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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(2)依题意并由(1)可得
60x，0≤x≤20，
第九节 函数模型及其应用 结束
[试一试]
据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000
辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆一
次 0.2 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关
于 x 的函数关系是
()
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
∴F′(t)＝－2270t2＋48t＝t48－2270t≥0， ∴F(t)在[0,20]上是增函数，
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第二十五页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6 000<6 300. 当20<t≤30时，F(t)＝60－230t2＋8t. 由F(t)＝6 300，得3t2－160t＋2 100＝0， 解得t＝730(舍去)或t＝30. 当30<t≤40时，F(t)＝60－230t2＋240. 由F(t)在 (30,40]上是减函数，得F(t)<F(30)＝6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元， 为上市后的第30天．
所以当 x＝100 时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值．
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综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值
f(x)max＝
10
000 3
≈3
333，即当车流密度为100辆/千米时，
行
平行
随n值变化而不
同
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第三页，编辑于星期五：八点 四十八分。
第九节 函数模型及其应用 结束
1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函 数的定义域．
2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性．
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第四页，编辑于星期五：八点 四十八分。
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第二十三页，编辑于星期五：八点 四十八分。
第九节 函数模型及其应用 结束
解：(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法， 得f(t)＝2－t，6t0＋≤2t4≤0，303，0<t≤40. 图②是一个二次函数的部分图像， 故g(t)＝－230t2＋6t(0≤t≤40)． (2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝ 3t，0≤t≤20， 60，20<t≤40.
即两种方式电话费相差10元，选A .
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第十一页，编辑于星期五：八点 四十八分。
第九节 函数模型及其应用 结束
2．(2013·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出
售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就
减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个 ( )
[典例] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千 米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/ 小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/ 小时．研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．