医药高等数学_第二章

yf(x)f(x0) xxx0
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x 0 处可导, 并称此极限为
yf(x)在点 x 0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f(x0);
dy dx
x
x0
;
df (x) dx x x0
即
y
xx0
f(x0)
lim y x0 x
lim f(x0x)f(x0)lim f(x0h)f(x0)
2.右导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
•函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等. •函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一 点可导 •函数f(x)在闭区间[a b]上可导是指函数f(x)在开区间 (a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数
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6. 设 f (x) 存在, 且 lim f(1)f(1x)1,求 f (1).
x 0 2x
解: 因为
limf(1)f(1x) limf(1x)f(1)
x0
2x
x 0
2x
1limf(1(x))f(1)
2x 0
(x)
1 f (1) 1 2
所以 f(1)2.
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2. f(x0)a
f (x0)f (x0)a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
1
(C) 0 ;
(x ) x1 ;
(lnx) x
(sinx)cosx; (coxs)sinx; ( a x ) a x ln a
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
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四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. f(x)在点 x处可导 f(x)在点x处连续
证: 设 yf(x)在点 x 处可导, 即 limy f(x) x0x
存在 , 因此必有
y f(x), 其中 lim0
x
x0
故 y f(x ) x xx0 0
所以函数 yf(x)在点 x 连续 .
y
y x
lim 1,
x 0
x
x h 0
f(x)f(0) x
lim
lim 1
x 0
x
x h 0
y y x
o
x
即 f (0)f (0),
函y数 f(x)在 x0点不.可导
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单侧导数
1.左导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
所求切线方程为
y 2 4 ( x 1 2 ) 即4x+y-4=0 所求法线方程为
y 2 1 4 ( x 1 2 ) 即2x-8y+15=0
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例7. 问曲线 y 3 x 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线 y13x1平行 ? 写出其切线方程.
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
h0
h
h 0
h
lim 2cos(xh) sin h
h0
22
h
limcosx(h) sin
h 2
co x s
h0
2h
2
即
(sx i)n coxs
类似可证得 (cxo ) ssixn
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为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
( 1 )[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
(3) u v((x x)) u(x)v(x v)2 (x u )(x)v(x) (v(x)0)
f (x) 在
(,)都存在 , 并求出 f (x).
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
f(0)
lim
x0
sin x 0 x0
1
f(0)
lim x0
ax 0 x0
a
故 a 1 时 f(0)1, 此时 f (x) 在 (,)都存在,
coxs, x0 f (x)
1, x0
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例6.求等边双曲线 y 1 在点 ( 1 , 2 ) 处的切线的斜率
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程
解 解 y x 1 2 所求切线及法线的斜率分别为
k 1 ( x 1 2 ) x 1 2 4 k 2 k 1 1 1 4
f (t)
t
s
3
2. 曲线的切线斜率
y
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线
yf(x)
N
割线 M N 的极限位置 M T
(当时)
CM
T
切线 MT 的斜率
o x 0 x x
ktan limtan
割线 M N 的斜率
tan
f(x)f(x0) xx0
kxl im x0 f(xx)xf0(x0)
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解:
y(3x)1x32 3
1 3
3
1 x2
,
yx0,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 x0
令
11 33 x2
1, 3点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 y13x1
平行的切线方程分别为
y11 3(x1), y11 3(x1)
即
x3y20
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注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例: y x 在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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例8 讨论函数
f
(x)
xsin
1 x
,
x0 ,
0, x 0
在x=0处的连续性和可导性
解 因为sin1是有界函数,所以limxsin10
x
x0
x
f(0)limf(x)0所 以 f(x)在 x0 处 连 续 .
2. 设 f(x0) 存在 , 则
lim f(x0h)f(x0)__ f(_ x0)_.____
h 0
h
3. 已知
f( 0 ) 0 ,f( 0 ) k 0 ,则
limf
x0
(xx)_k_0 _._
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4.
设
f(x)asixnx, ,
x0 x0
,
问
a
取何值时,
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§2.2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 函u 数 u(x)及 vv(x)都x在 具有导 则 u(x)及v(x)的和、差、积、商 (除分母
x 0
x
h 0
h
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运动质点的位置函数 sf(t)
在 t 0 时刻的瞬时速度
v lim tt0
f(t)f(t0) t t0
f(t0)
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线斜率
k lim f(x)f(x0)
xx0
x x0
f(x0)
注: lim x x0
f (x) f (x0) lim y
x0
但x在 0处有f
(x)
f
(0)
xsin
1 x
0
sin 1
x
x
x
当 x 0 时 , f ( x ) f ( 0 ) 在 1 和 1 之 间 振 荡 而 极 限 不 存 在 . x
所以f (x)在x=0处不可导
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内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
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(1 )(uv)uv
证: 设 f(x)u(x)v(x), 则
看左右导数是否存在且相等.
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思考与练习
1. 函数 f ( x) 在某点 x 0 处的导数 f (x0) 与导函数 f (x)
有什么区别与联系 ?
区别: f (x) 是函数 , f (x0) 是数值;
？ 联系: f (x) xx0 f (x0) 注意: f(x0)[f(x0)]
x x0
x0 x
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x 0 不可导.
lim y ,也称 f (x) 在 x 0 的导数为无穷大 . x0 x
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•导函数的定义
如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作 y f ( x ) d d 或 d d ( x ) y x f x
10
例3 求函数 f(x)ax(a0,a1) 的导数.
解
(ax)limaxhax
ax
ah lim
1
axlna.
h0 h
h0 h
即 (ax)axlna. (ex)ex.
例4 求函数 f(x ) lo ax ( g a 0 ,a 1 )的导数
解 f(x)lhi m 0 f(xhh)f(x)lhi m 0loga(xhh)loga(x)
第二章 导数与微分
第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数
的导数 相关变化率 第五节 函数的微分
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第一节 导数概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
sf(t)
则 t 0 到 t的平均速度为
v f(t)f(t0) t t0
而在 t 0 时刻的瞬时速度为 vtl im t0 f(t)t tf0(t0)
f (t0 )
o t0
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lhi m0 1hloga
xh x
1xlhi m0loga(1hx)hx
1. x ln a
即
(loga
x)
1 xlna
(ln x) 1 x
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例5 讨论函 f(x)数 x在x0处的可导性.
解 因为f(x)f(0) x ,
x
x
f(x)f(0) x
lim
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瞬时速度 vlimf(t)f(t0) tt0 t t0
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
y
yf(x)
切线斜率 k limf(x)f(x0) xx0 xx0
CM
N T
两个问题的共性:
o x 0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
率 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 问 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 yf(x)在点 x 0 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0) lim y
x x 0 xx0
x0 x
x a xa
xa x a
lim ( xn1axn2a2xn3 an1) nan1
x a
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数) (x)x1
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
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例2. 求函数 f(x)sixn的导数. 解: 令hx,则
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三、导数的几何意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线 y f(x) 在点M( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tanα(α为倾角) o
yf(x)
T
M
x0
x
切线方程为 yy0f(x 0)x (x 0).
1
法线方程为 yy0f(x0)(xx0).
易见 1. f(x0)f(x)xx0.
• 求导数的步骤 (1)求增量 yf(x x )f(x );
(2)算比值 (3)求极限
yf(xx)f(x);
x
x
y limy . x0 x
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例1. 求函数 f(x)xn(n N )在xa处的导. 数
解: f (a) lim f (x) f (a) lim xn an
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5. 设 f (x) 存在, 且 lim f(1)f(1x)1,求 f (1).
x 0 2x
解: 因为
limf(1)f(1x) limf(1x)f(1)
x0
2x
x 0
2x
1limf(1(x))f(1)
2x 0
(x)
1 f (1) 1 2
所以 f(1)2.
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