2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案四川

2005年高考文科数学全国卷Ⅰ试题及答案
（河北
河南安徽山西海南）
布谷鸟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页3到10页答题卡一并交回
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式
)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
33
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一、选择题
（1）设直线l 过点)0,2(-，且与圆12
2
=+y x 相切，则l 的斜率是
（A ）1±
（B ）2
1
±
（C ）3
3±
（D ）3±
（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是
（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I
（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I
（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）
（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为
（A ）π28
（B ）π8
（C ）π24
（D ）π4
（4）函数93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为
（A ）
32 （B ）3
3 （C ）3
4
（D ）2
3
（6）已知双曲线)0( 12
22>=-a y a
x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为
（A ）
2
3 （B ）
2
3 （C ）
2
6 （D ）
3
3
2 （7）当20π
<<x 时，函数x
x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为
（A ）2
（B ）32
（C ）4
（D ）34
（8）)21( 22≤≤-=
x x x y 反函数是
（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y
（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y
（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是
（A ）)0,(-∞
（B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞
（D ）),3(log +∞a
（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨
⎧+-≤-≥1
31x y x y 所表示的平面区域的面积为
（A ）2
（B ）
2
3
（C ）
2
2
3 （D ）2
（11）在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan
=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A
②2sin sin 0≤
+<B A
③1cos sin 2
2=+B A
④C B A 2
22sin cos cos =+
其中正确的是 （A ）①③
（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③
（12）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的 （A ）三个内角的角平分线的交点
（B ）三条边的垂直平分线的交点
（C ）三条中线的交点
（D ）三条高的交点
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分 二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
（13）若正整数m 满足m m 10210
5121
<<-，则m = )3010.02≈
（14）8
)1(x
x -的展开式中，常数项为 （用数字作答）
（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种
（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'
AA 于E ，交'
CC 于F ，
① 四边形E BFD '
一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '
有可能是正方形
③ 四边形E BFD '
在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '
以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）
设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8
=x
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=2
1
AB=1，M 是PB 的中点
（Ⅰ）证明：面
PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小
（19）（本大题满分12分）
已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围
（20）（本大题满分12分）
9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率 （精确到01.0）
（21）（本大题满分12分）
设正项等比数列{}n a 的首项2
1
1=a ，前n 项和为n S ，且)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T
（22）（本大题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明2
2μλ+为定值
2005年高考文科数学全国卷Ⅰ试题及答案
（河北
河南安徽山西海南）
参考答案
一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）
1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分 13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题
17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分
解：（Ⅰ）)(8
x f y x ==
是函数π
的图像的对称轴，,1)8
2sin(±=+⨯∴ϕπ
.,2
4
Z k k ∈+
=+∴
π
πππ
.4
3,0π
ϕϕπ-
=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).4
32sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得
.,2
243222Z k k x k ∈+≤-
≤-
π
πππ
π
所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=π
ππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)
32sin(π-=x y 故函数上图像是在区间
],0[)(πx f y =
18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴由三垂线定理得：CD
⊥PD.
因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.
又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，
则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.
连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .5
10
cos ==
∠∴PB BE PBE .5
10
arccos
所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,
∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅-2
2
)2
(
， 5
6
2
52
23
=
⨯=∴AN . ∴AB=2，32
2cos 222-=⨯⨯-+=
∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).3
2arccos(-
方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标
为
A （0，0，0）
B （0，2，0），
C （1，1，0），
D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2
1. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故
又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD
（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故
由此得AC 与PB 所成的角为.5
10
arccos
（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,λ=
..2
1,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC
要使.5
4
,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),5
2
,1,51(,54=⋅-===⋅=N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角
.
4|||.555
AN BN AN BN ==⋅=-
2
cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅
2
arccos().3
-故所求的二面角为
19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f
.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①
由方程.09)42(06)(2
=++-=+a x a ax a x f 得 ②
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2
=⋅-+-=∆a a a ，
即 .5
1
1.
01452
-===--a a a a 或解得
由于5
1
.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式
.5
3
5651)(2---=x x x f
（Ⅱ）由a
a a a a x a a x a ax x f 1
4)21(3)21(2)(222
++-+-=++-= 及.14)(,02a
a a x f a ++-
<的最大值为可得 由⎪⎩
⎪⎨⎧<>++-
,0,01
42a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率
知识解决实际问题的能力. 满分12分（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3
=
-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.08
7
811==- （Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)8
1(872
1
3=⨯⨯
C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3
)8
7(，
所以有坑需要补种的概率为 .330.0)8
7(13
=-
解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)8
7(812
1
3=⨯⨯
C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.08
7
)81(2
23=⨯
⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)8
7()81(0
333=⨯⨯C
所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++
21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分
解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++⋅
因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=
q ，因而 .,2,1,2
11
1 ===-n q
a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比2
1
=q 的等比数列，故
.2,2112
11)
211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2
2221()21(2n n n
n T +++-+++=
).2
212221()21(212132++-+++-+++=n n n n
n n T 前两式相减，得
122
)212121()21(212+++++-+++=n n n n
n T 122
11)
211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n
n n n T 22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学
知识解决问题及推理的能力. 满分14分
（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+
则直线AB 的方程为c x y -=，代入122
22=+b
y a x ，化简得
02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .
令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22
22
2222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得
,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，
.2
3
,
0)()2(3212121c x x x x c x x =
+∴=++-+∴ 即2322
22c
b
a c a =+，所以3
6.32222a b a c b a =
-=∴=， 故离心率.3
6==
a c e （II ）证明：（1）知2
2
3b a =，所以椭圆12222=+b
y a x 可化为.332
22b y x =+
设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=
⎩⎨
⎧+=+=∴.
,
2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212
222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①
由（1）知.2
1,23,232
22221c b c a c x x ===
+ 22222
122238
a c a
b x x
c a b -==+
1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--
2121243()3x x x x c c =-++
22239
322
c c c =-+=0 又2
22222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1。