第04讲 任一点的应力状态

S S x S y S z Si Si ( Si )
将全应力分量Sx,Sy,Sz投影到法线N上，得σ
2
2
2
2
2
S x l S y m S z n S i li
xl y m z n
2 2 2
2 ( xy lm yz mn zx nl ) ij l i l j
金属塑性成型原理
机电工程学院
王忠雷
第三章 金属塑性变形的力学基础
第一节 应力分析
第一讲 任一点的应力状态
塑性力学基本假设 应力的概念 一点的应力状态 斜微分面上应力
塑性力学基本假设
连续性假设 匀质性假设 各向同性假设 初应力为零 体积力为零 体积不变假设
S x xl
yx
m zx n
S x x l yx m zx n S y xy l y m zy n S z xz l yz m z n
S
j
ij l i
斜微分面上应力
3、求解
ABC面上全应力：
2
（1）受力物体内部不同的点，应力不同； （2）受力物体内部同一的点，不同方向应力不同；
（3）单向拉伸时，各个方向面上的应力不同，但是 可以由垂直面上的应力来表示。
结论：要描述受力物体的应力状态必须清楚其内部任意点的 应力状态；要描述一点的应力状态必须知道其任意截面上的 应力; 对于单向拉伸，其应力状态可由垂直面上的应力来表 示。
2 2 2 2
S y xy l y m zy n
S 3
3
2
S xl S y m S z n 4
S z xz l
yz
m zn 2 3
S 2
2 2 2
讨论
1 0 2 0 3 0 2 0 4
三维空间一点的应力状态
4、分量的方向 正应力的符号与材料力学规定相同，即拉应力 为正、压应力为负。切应力不同。 正面：外法线指向坐标轴的正向的面 负面：外法线指向坐标轴的反向的面 正面上：沿轴正向的切应力分量为正， 沿轴反向的切应力分量为负； 负面上：沿轴反向的切应力分量为正，
沿轴正向的切应力分量为负。
斜微分面上应力
5、例题
已知一点的应力
1 3 , 1 3 , 1 3

ij
1 0 2
0 3 0
2 0 4
，求法方向余弦为（
）的微分面上的应力。
1 3 2 3 3
S x x l yx m zx n三维空间一点的应力状态
7、问题
斜微分面上应力
1、已知条件
x yx zx
xy
y
ij
zy
xz yz z
任意截面法线N的方向余弦为：
l cos( N , x ) m cos( N , y ) n cos( N , z )
三维空间一点的应力状态
1、思想方法
表示任意截面的应力；（无限） 特殊截面应力分量。（有限）
三维空间一点的应力状态
2、应力分量 特殊截面：过变体内 任意点Q切取矩形单 元体，且置于x,y,z坐 标中,棱边分别平等 于x,y,z轴，取矩形单 元体中三个相互垂直 的面为特殊截面。
三维空间一点的应力状态
yx
* z * x; M
xy
yx
yx
M
;
τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz
三维空间一点的应力状态
6、分量的简化
τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz
ij
x yx zx
xy
y
zy
xz yz z
x xy xz ij y yz z
三维空间一点的应力状态
5、切应力互等
原理：单元体处于平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩为零。
设棱边长为，x、y、z，则沿z轴的 合力矩为：
F xy xy * z * y ; M F yx M
yx xy
F xy * F yx *
x 2 y 2

1 2 1 2
xyz xy xyz
应力的概念
1、外力和内力 作 用 力 面力 反作用力 摩 擦 力 重 体力 力
外力
力
内力
惯 性 力
应力的概念
2、应力的概念 应力——单位面积上的内力
S dP F dF P
lim
F 0
应力的概念
3、应力的特点 1）应力点特性 2）应力面特性
应力的概念
4、单向应力求解
已知一点的应力

ij
某微分面上的正应力为
4，切应力为
2
求该微分面的法线方向。
小结
1. 2. 3. 4. 正确理解应力的概念 一点应力状态的描述 斜截面应力状态的求解 应力张量的理解
斜微分面上应力
2、预备知识
设斜面的面积为dF，截面在 三个坐标轴上的投影分别为： x面、y面、z面。
x面——ldF
y面——mdF z面——ndF
D
m
斜微分面上应力
3、求解 斜面全应力S及沿三轴分量Sx,Sy,Sz，由ΣFx=0
s x dF x ldF yx mdF zx ndF 0
s0 dP dA P A0 0
0 0
0 cos
S
P A1

P A 0 cos
S cos 0 cos
S sin
1 2
2
0 sin 2
应力的概念
5、应力分析
0 cos
2
1 0 sin 2
2、应力分量
应力分量：三个面上 的应力表示，分解为 （σ、τ），τ分解为 两个沿坐标轴的分量。
则Q点的应力状态可 用三个面上的应力表 示（一正应力、二切 应力），共9个应力 分量。
三维空间一点的应力状态
3、分量的表示
坐标面的法线与x,y,z轴一致的面分别叫做x面、y 面、z面。 第一下角标——应力分量作用面 第二下角标——应力分量作用方向 角标相同的——正应力
S
2 2
2
斜微分面上应力
4、延伸
若斜面ABC就是物体的表面，则斜面应 力就是外力Tj(j=x,y,z)
T j ij l i
T x x l yx m zx n T y xy l y m zy n T z xz l yz m z n