九年级上册期末试卷测试卷(含答案解析)

九年级上册期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A ．2：3 B ．2：3
C ．4：9
D ．16：81
2．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，
则m+n 的值为（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．
3．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3
4．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则
:CD BD =（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:4
D ．1:3 5．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1
B ．a ＝1
C ．a ＝﹣1
D ．无法确定
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4
D ．y ＝2（x ﹣3）2+4
7．下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．二次函数2
2y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x <
B ．2x >
C ．0x <
D ．0x >
9．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．3π+
B ．3π-
C ．23π-
D ．223π- 10．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠
E =40°，则∠
F 的度数为（ ）
A ．40
B ．60
C ．80
D ．100
11．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析
式为( ) A ．y =32x −2
B ．y =32x +2
C ．y =3()2
2x -
D ．y =3()2
2x +
12．设A (﹣2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝﹣(x +1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）
A ．y 3＞y 2＞y 1
B ．y 1＞y 2＞y 3
C ．y 1＞y 3＞y 2
D ．y 2＞y 1＞y 3
二、填空题
13．若记[]
x 表示任意实数的整数部分，例如：[]4.24=，21⎡⎤=⎣⎦，…，则
123420192020⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（其中“+”“－”依次相间）的值
为______.
14．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .
15．设x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1•x 2＝________． 16．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝____°．
18．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2
(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则
1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）
19．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半
径是______.
20．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．
21．已知正方形ABCD 边长为4，点P 为其所在平面内一点，PD ＝5，∠BPD ＝90°，则点A 到BP 的距离等于_____．
22．数据1、2、3、2、4的众数是______．
23．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．
24．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)
三、解答题
25．对于代数式ax 2+bx +c ，若存在实数n ，当x ＝n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x 2，当x ＝0时，代数式等于0；当x ＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A ＝0． （1）代数式x 2﹣2的不变值是 ，A ＝ ．
（2）说明代数式3x 2+1没有不变值；
（3）已知代数式x 2﹣bx +1，若A ＝0，求b 的值．
26．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE
AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延
长分别交DE ，AC 于点F 、G .
（1）求CD 的长.
（2）若点M 是线段AD 的中点，求
EF
DF
的值. （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得
60CPG ∠=︒?
27．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线2
5y ax bx =++与x 轴交于()10
A -，，()
B 5，0两点，与y 轴交于点
C ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 是位于直线BC 上方抛物线上的一个动点，求△BPC 面积的最大值； （3）若点D 是y 轴上的一点，且以B,C,D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标；
（4）若点E 为抛物线的顶点，点F （3，a )是该抛物线上的一点，在x 轴、y 轴上分别找点M 、N ，使四边形EFMN 的周长最小，求出点M 、N 的坐标． 28．解方程： （1）x 2+4x ﹣21＝0
（2）x 2﹣7x ﹣2＝0 29．（1）x 2+2x ﹣3＝0 （2）（x ﹣1）2＝3（x ﹣1）
30．如图，已知抛物线2
y x bx c =++经过(1
0)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值;
（3）点Q 为抛物线上一点，若8QAB
S
=，求出此时点Q 的坐标.
31．解下列方程： （1）()2
239x += （2）2430x x --=
32．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 甲 9 8 8 7 乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
【分析】
根据面积比为相似比的平方即可求得结果.【详解】
解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：4
9=
2 3
.
故选B.
【点睛】
本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．将最大值为2n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】
解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=5
2
，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
2m=-（n-1）2+5，n=5
2
，
∴m=11 8
，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣2+5
2
=
1
2
．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题干可以明确得到p,q是方程230
x-=的两根,再利用韦达定理即可求解.
【详解】
解：由题可知p,q是方程230
x-=的两根,
∴
,
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据两角对应相等证明△CAD∽△CBA，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.【详解】
解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴
1
2 CD CA
CA CB
,
∴CA=2CD,CB=2CA,∴CB=4CD,
∴BD=3CD,
∴
1
3 CD
BD
.
故选：D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键. 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【详解】
解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．
【详解】
解：原抛物线y＝2（x﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
所以，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2+4，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键. 7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形，需要注意的是轴对称图形是关于对
称轴成轴对称；中心对称图形是关于某个点成中心对称．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
【详解】
22
2(1)1
y x x x
=-+=--+，
∵图像的对称轴为x=1，a=-10
<，
∴当x1
<时，y随着x的增大而增大，
故选：C.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，当a0a0
<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 9．D
解析：D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，33
∴△ABC的面积为1
2
BC•AD=
1
23
2
⨯3
S扇形BAC=
2
602
360
π⨯
=
2
3
π，
∴莱洛三角形的面积S=3×2
3
π﹣3﹣3，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C，然后利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，进而可得答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°-40°=80°，
∴∠F=80°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
先确定抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】
解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），
∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．B
解析：B
【解析】
【分析】
本题要比较y1，y2，y3的大小，由于y1，y2，y3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出y1，y2，y3的大小关系．
【详解】
∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，
∴对称轴为x ＝﹣1，
∵A （﹣2，y 1），
∴A 点关于x ＝﹣1的对称点A '（0，y 1），
∵a ＝﹣1＜0，
∴在x ＝﹣1的右边y 随x 的增大而减小，
∵A '（0，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），0＜1＜2，
∴y 1＞y 2＞y 3，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．
二、填空题
13．-22
【解析】
【分析】
先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算.
【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数 解析：-22
【解析】
【分析】 1,2,32020的整数部分的规律，根据题意确定算式
123420192020⎡⎡⎡⎤⎡-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎣⎣⎦⎣的运算规律，再进行实数运算. 【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算
数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在1⎡⎤⎣⎦、
2⎡⎤⎣⎦2020⎡⎤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦
中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以
123420192020⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=1-2+3-4+…+43-44= -22 【点睛】
本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.
14．【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BEN K 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如
解析：133
【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，
∵四边形MEGH 为正方形，
∴NE GH
∴△AEN ~△AHG
∴NE:GH=AE:AG
∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4
∴NE:4=5:9
∴NE=209
同理可求BK=
89
梯形BENK的面积：120814
3 2993⎛⎫
⨯+⨯=
⎪
⎝⎭
∴阴影部分的面积：
1413 33
33⨯-=
故答案为：13 3
.
【点睛】
本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.
15．2
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．
【详解】
解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，
根据根与系数的关系，得，x1+x2=
解析：2
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．
【详解】
解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，
根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，
则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x1+x2=-3，x1x2=-5是解题的关键．16．－5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵，是关于的一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方
解析：－5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，
∴12121
4x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，
故答案为：5-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程2
0x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =． 17．46°
【解析】
【分析】
连接OB ，OC ，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得
∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆
解析：46°
【解析】
【分析】
连接OB ，OC ，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD ∥BC ，可得∠DBC=∠ADB ＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC 的度数，从而使问题得解.
【详解】
解：连接OB ，OC ，
∵直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点
∴∠OBF=90°
∵AD ∥BC
∴∠DBC=∠ADB ＝54°
又∵∠D CB ＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=1(18092)442
-=
∴∠CBF ＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
18．【解析】
抛物线的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .
故答案为>
解析：12y y >
【解析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .
故答案为> 19．3
【解析】
【分析】
由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA ，
∵PA 切⊙O 于点A ，
∴OA
解析：3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
20．60π
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．
∴BC＝＝10（cm），
∴圆锥的侧面积是：（
解析：60π
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．
∴BC2222
68
OB OC
+=+＝10（cm），
∴圆锥的侧面积是：1
261060
2
r l rl
ππππ
⋅⋅==⋅⨯=（cm2）．
故答案为：60π．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关
键．
21．或
【解析】
【分析】
由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【详解】
解析：335
+
或
335
-
【解析】
【分析】
由题意可得点P在以D为圆心，5为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP 的距离．
【详解】
∵点P满足PD＝5，
∴点P在以D为圆心，5为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝2
∵∠BPD＝90°，
∴BP22
BD PD
-3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（AH）2，
∴AH AH，
若点P在CD的右侧，
，
同理可得AH＝
2
综上所述：AH．
【点睛】
本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．
22．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
23．【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求
解析：25
【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．
【详解】
过点C作CF⊥AE，垂足为F，
在Rt△ACD中，CD＝22
1310
+=，
由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC•sin45°＝2
，
由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，
∴
1
3 CE AC
DE BD
==，
∴CE＝1
4
CD＝
10
4
，
在Rt△ECF中，sin∠AEC＝
225
25
10
CF
CE
=⨯=，
故答案为：25
．
【点睛】
考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．
24．>
【解析】
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1 和y2的大小关系．
【详解】
解：∵二次
解析：>
【解析】
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1和y2的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵该函数经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
25．（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1
【解析】
【分析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；
（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，
即x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A＝2﹣（﹣1）＝3．
故答案为﹣1和2；3．
（2）依题意，得：3x2 +1＝x，
∴3x2﹣x+1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，
∴该方程无解，即代数式3x 2+1没有不变值．
（3）依题意，得：方程x 2﹣bx +1= x 即x 2﹣（b +1）x +1＝0有两个相等的实数根， ∴△＝[﹣（b +1）]2﹣4×1×1＝0，
∴b 1＝﹣3，b 2＝1．
答：b 的值为﹣3或1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
26．（1）DC =；（2）
23EF DF =；（3）当DM =DM <<时，满足条件的点P 只有一个.
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.
（2）由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得
~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC
==，将DF AG =代入即可求得答案.
（3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：
①当Q 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交
于点P ，连结QC ，QG ，设Q 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；
②当Q 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可得DM 长.
【详解】
（1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302
DAC BAC ∠=∠=︒．
在Rt ADC ∆中，tan 30DC AC =⋅︒=
（2）解：易得，BC =，BD =
由DE AC ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．
∵AM DM =，
∴DFM AGM ∆≅∆，
∴AG DF =． 由DE AC ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC
== ∴4323
63EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，
∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.
①当Q 与DE 相切时，如图1，
过Q 点作QH AC ⊥，
并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG
设Q 的半径QP r =则12QH r =，1232
r r +=， 解得433r =
． ∴43343
CG =⨯=，2AG =． 易知DFM
AGM ∆∆，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD = ∴1637DM =
． ②当Q 经过点E 时，如图2，
过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．
设Q 的半径QC QE r ==，则33-QK r =．
在Rt EQK ∆中，()221332r r +-=，解得1439r =
， ∴14143393
CG =⨯= 易知DFM
AGM ∆∆，可得1435DM = ③当Q 经过点D 时，如图3，
此时点M 与点G 重合，
且恰好在点A 处，可得43DM =
综上所述，当1637DM =143435DM <P 只有一个. 【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
27．（1）245y x x =-++；（2）△BPC 面积的最大值为
1258 ；（3）D 的坐标为（0，-1）或（0，-
103）；（4）M （1117，0），N （0，115） 【解析】
【分析】
（1）抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-5）=a （x 2-4x-5），即-5a=5，解得：a=-1，即可求解；
（2）利用S △BPC =12×PH×OB=52（-x 2+4x+5+x-5）=12（x-52）2+1258
，即可求解； （3）B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况，分别求解即可；
（4）作点E 关于y 轴的对称点E′（-2，9），作点F （2，9）关于x 轴的对称点F′（3，-8），连接E′、F′分别交x 、y 轴于点M 、N ，此时，四边形EFMN 的周长最小，即可求解．
【详解】
解：（1）把()1,0A -，()5,0B 分别代入25y ax bx =++得：
0=502555
a b a b -+⎧⎨=++⎩ ∴14a b =-⎧⎨=⎩
∴抛物线的表达式为：245y x x =-++．
（2）如图，过点P 作PH ⊥OB 交BC 于点H
令x =0，得y =5
∴C （0，5），而B （5，0）
∴设直线BC 的表达式为：y kx b =+
∴505b k b =⎧⎨=+⎩
∴15k b =-⎧⎨=⎩
∴5y x =-+
设245P m,m m -++（），则5H m,m -+（）
∴224555PH m m m m m =-+++-=-+
∴21552PBC S
m m =⨯⨯-+（） ∴255125228
PBC S m =--+（） ∴△BPC 面积的最大值为1258
． （3）如图，∵ C （0，5），B （5，0）
∴OC =OB ，
∴∠OBC =∠OCB =45°
∴AB =6，BC =52要使△BCD 与△ABC 相似 则有AB BC BC CD =或AB CD BC BC
= ①当
AB BC BC CD =时 5252= ∴253
CD = 则103OD =
∴D （0，103-
） ② 当AB CD BC BC
=时， CD =AB =6，
∴D （0，-1）
即：D 的坐标为（0，-1）或（0，-
103
） （4）∵245y x x =-++
229y x +=--（） ∵E 为抛物线的顶点，
∴E （2，9）
如图，作点E 关于y 轴的对称点E'（﹣2，9），
∵F （3，a ）在抛物线上，
∴F （3，8），
∴作点F 关于x 轴的对称点F'（3，-8），
则直线E' F'与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N
设直线E' F'的解析式为：y mx n =+
则9283m n m n =-+⎧⎨-=+⎩ ∴175115m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线E' F'的解析式为：171155
y x =-+ ∴1117M （，0），N （0，115
）． 【点睛】
本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、对称点性质等知识点，其中（4），利用对称点性质求解是此类题目的一般解法，需要掌握．
28．（1）x 1＝3，x 2＝﹣7；（2）x 1＝
7572+x 2＝7572
- 【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）根据公式法解方程即可．
【详解】
解：（1）x 2+4x ﹣21＝0
（x ﹣3）（x+7）＝0
解得x 1＝3，x 2＝﹣7；
（2）x 2﹣7x ﹣2＝0
∵△＝49+8＝57
∴x
解得x 1x 2 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，其方法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据一元二次方程特点选择合适的方法是解题的关键.
29．（1）x ＝﹣3或x ＝1;（2）x ＝1或x ＝4.
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可.
【详解】
解：（1）∵x 2+2x ﹣3＝0，
∴(x+3)(x ﹣1)＝0，
∴x ＝﹣3或x ＝1；
（2）∵(x ﹣1)2＝3(x ﹣1)，
∴(x ﹣1)[(x ﹣1)﹣3]＝0，
∴(x ﹣1)(x ﹣4)＝0，
∴x ＝1或x ＝4；
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
30．（1）223y x x =--；（2）(1,2)P -；（3）1(1Q - ，
2(1Q + ，3(1,4)Q -
【解析】
【分析】
(1)把(1
0)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++即可求出b,c 即可求解; (2)根据A,B 关于对称轴对称,连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,再求出坐标及PAC 的周长;
(3)根据△QAB 的底边为4,故三角形的高为4,令y =4，求出对应的x 即可求解.
【详解】
(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2
y x bx c =++得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩
解得23b c =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线的解析式为：223y x x =--;
(2)如图，连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,
∵2
23y x x =--
∴C(0,-3),对称轴x=1 设直线BC 为y=kx+b, 把(30)B ，
, C(0,-3)代入y=kx+b 求得k=1,b=-3, ∴直线BC 为y=x-3
令x=1，得y=-2， ∴P （1，-2），
∴PAC 的周长
=AC+AP+CP=AC+BC=[]22(10)0(3)--+--+[]2
2(30)0(3)-+--=1032+;
(3)∵△QAB 的底边为AB=4, 182
QAB S
AB H =⨯= ∴三角形的高为4, 令y =4，即2234x x --=±
解得x 1=122-2=122+3=1
故点Q 的坐标为1(122,4)Q - ， 2(122,4)Q + ，3(1,4)Q -.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.
31．（1）13x =-，20x =；（2）127x =，227x =
【解析】
【分析】
（1）直接用开平方求解即可．
（2）用配方法解方程即可．
【详解】
（1）解：由()2
239x +=
得233x +=±
即233x +=-或233+=x
∴26x =-，或20x =
解得13x =-，20x =
（2）解：243x x -=
∴24434x x -+=+
∴2
(2)7x -=
∴2x -=
∴12x =，22x =．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
32．（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【详解】
（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是： ()()()()22229-8+8-8+8-8+7-148⎡⎤⨯⎣
⎦＝12， 乙的方差是：
()()()()2222-8+6-8+7-8+9-814⎡⎤⨯⎣
⎦10＝52． 所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
【点睛】
本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．。