基于傅氏滤波的频率测量新方法

f = f0
M
6 - U
2 Ii
U2 I ( i- 1)
i= 1
M
6 - U 2 R (i- 1)
U
2 R
i
i= 1
(14)
第 18 卷第 4 期 李一泉等: 基于傅氏滤波的频率测量新方法
·47·
其中M ≥ 2, 可根据具体情况来选择。显然, 对于单
次计算,
- U 2 R (i- 1)
0
∫ U ( T0
T0
sin (2Π∃f t +
0
Υ) d t +
∫
T0
sin (4Πf
0t +
2Π∃f t +
Υ) d t =
0
2U (f 0 + ∃f ) sin (Π∃f T 0) ΠT 0∃f (2f 0 + ∃f )
sin (Π∃f T 0 + Υ)
(4)
令
K=
2U sin (Π∃f T 0) ΠT 0∃f (2f 0 + ∃f )
U
2 R
i
可能较小甚至为 0, 但对于
连续M 点而言, 式 (14) 分母必不为 0, 且此时分子
分母都比较大, 这就解决了分母过零点的问题。
值得一提的是, 上文推导虽然是建立在全波傅
氏的基础上, 但对于半波傅氏, 其结论也成立, 而且
这样算法所需时间窗可以减小半个周波, 从而更能
满足快速测频及频率跟踪的需要。但由于半波算法
2 测频算法的基本原理
假 设系统中仅含有基波分量, 其额定频率为 f 0, 由于系统真实频率 f 未知, 因此只能根据 f 0 进 行采样, 不妨设每周波采样点数为N 。若用 ∃f 表示 频差, 则真实频率 f 可表示为
f = f 0 + ∃f
(1)
于是有电压信号
u ( t) = U sin (2Πf t + Υ) =
Ng Frequency of Power System Ba sed on Four ier F ilter
L I Y i2quan1, H E B en2teng2 (1. Guangdong Pow er D isp a tch Cen ter, Guangzhou 510600, Ch ina; 2. Schoo l of E lect rica l Eng ineering, Zhejiang U n iversity, H angzhou 310027, Ch ina)
33动态频率的仿真上文算法的推导实际上假定了在某个固定的数据窗内电压信号的频率是不变的而真实电力系统的频率往往动态变化为了考验频率变化时算法的跟踪能力不妨设真实信号的频率如图1中横坐标代表时间t单位为ms纵坐标则代表频率厂单位为hz
第 18 卷第 2006 年 8
4月期
电 力 系 统 及 其 自 动 化 学 报 P roceed ing s of the CSU 2EPSA
T0
co s (2Π∃f t +
0
Υ+
2Πf
T N
0
)
d
t
-
∫
T0
co s (4Πf
0t +
2Π∃f t +
Υ+
0
2Πf
T N
0
)
d
t)
=
2U f 0 sin (Π∃f ΠT 0∃f (2f 0 +
T 0) ∃f )
co s (Π∃f
T
0
+
Υ+
2Πf
T 0) N
(7)
∫ U I1 =
1 前言
频率是反映电力系统运行特性的重要参数。 一般情况下, 系统频率随负荷波动将在小范围内缓 慢变化。但如果系统失去平衡, 当这种不平衡程度 相当大时, 就可能导致整个系统崩溃。通过及时、准 确测量系统的频率, 可以预测系统是否将失去稳 定, 从而通过切机, 切负荷控制等来保证系统的安 全运行。
近 年来, 随着计算机在电力系统中的广泛应 用, 出现了许多数字测频算法, 除了传统的电压过 零点法, 还出现了基于插值的CRO SS 法、最小二乘 法、卡尔曼滤波法、基于滤波的方法[1] 等。这些方 法大多计算量偏大, 在计算精度和计算速度之间不
能较好统一, 影响了实际应用。而傅氏算法具有内 在的不敏感于谐波分量的特性, 电力系统保护中又 常常采样该算法计算基波向量, 如能在傅氏算法的 基础进一步探求准确、快速的测频方法, 无疑是很 有意义的。Phadke[2, 3] 等人提出了一种利用电压相 量相角的变化来测量频率的方法, 但是如果频率真 实值未知, 用来计算相角的傅氏算法本身就不可能 得到相角真实值[4], 因此, 该方法存在原理误差。且 为了测量的精度, 通常在傅氏算法的一个周波时间 窗以外, 还需要较长时间 (比如一个周波) , 待相角 拉开到一定程度后才能得到较准确的值, 这就直接 影响了算法的快速性。
作者仔细研究了正弦信号经傅氏算法变换后 的结果, 发现随着数据窗的推移, 傅氏算法得到的
α 收稿日期: 2005207222; 修回日期: 2005208222
·46·
电 力 系 统 及 其 自 动 化 学 报 2006 年 8 月
相量的实部和虚部满足一个恒等式, 由此得到一种 新 的测频方法, 无需计算相量的相角, 只需 20 m s 左右的时间, 即可准确求出基波频率, 原理简单、计 算量小、易于软硬件实现。
展开, 计算量还能够进一步减少, 从而更易于工程
实现及实时应用。
需注意的是, 若相邻两次计算所得的实部绝对 值比较接近, 按照本方法计算出的频率值可能误差 较大, 因此必须进行另外处理。
按照等比定理
a b
=
c e
=
e f
>
0
(12)
有
a b
=
a+ c+ b+ d +
e f
(13)
因此式 (11) 可以进一步表示为
(5)
比较式 (3) 和式 (4) , 显然有
(U f
R0)
0
2
+
( f
U 0+
I0
∃f
)2
=
K2
(6)
当 时 间 窗 向 前 推 移 一 点 时, 即 对 于 时 间 窗
[
T N
0,
T
0
+
T N
0
],
类似的有
∫ U R 1 =
2 T0
T0
u (t +
0
T N
0)
sin
(2Πf
0t) dt
=
∫ U ( T0
- 0. 04
可见, 128 点采样的计算效果要好于 32 点采 样, 这是建立在硬件计算量增加基础上的, 其根本 原因在于更高的采样率使得包括式 (3) 在内的离 散化的积分值更接近于理论值, 从而直接提高了频 率测量的精度。实际使用时可根据测量精度的要求 对采样频率进行调整, 高精度测量时采用较高的采 样频率, 精度要求不是很高时则可用较低的采样频 率, 以减少硬件的计算量。
sin
( Π∃ f
T
0
+
Υ+
2Πf
T 0) N
(8)
比较式 (7) 和式 (8) , 亦有
(U R 1 ) 2 + f0
( f
U 0+
I1
∃f
)2
=
K2
由式 (6) 和 (9) , 得
(f
0
+ f
∃f
0
)2
=
U
2 I1
-
U
2 R0
-
U
2 I0
U
2 R
1
=
f2
f
2 0
即
(9) (10)
f = f0
U
2 I1
-
U
2 R0
-
U
2 I0
U
2 R
1
=
f 0
(U I1 - U I0) (U I1 + U I0) (U R 0 - U R 1) (U R 0 + U R 1)
(11)
这就意味着只要全波傅氏再加一个点即可准
确求出系统真实频率。同时可以看到, 这个求解过
程所需的计算量是很少的, 如果将式 (11) 进一步
2 T0
T0
u (t +
0
T N
0)
co
s
(2Πf
0 t)
dt
=
∫ U ( T0
T0
sin (2Π∃f t +
0
Υ+
2Πf
T N
0
)
d
t
+
∫
T0
sin (4Πf
0t +
2Π∃f t +
Υ+
0
2Πf
T N
0
)
d
t)
=
2U f 0 sin (Π∃f ΠT 0∃f (2f 0 +
T 0) ∃f )
表 1 信号中不含谐波时的仿真结果 Tab. 1 Sim ula ted results of frequency m ea surem en t
for a signa l w ithout harm on ics
真实 32 点采样时的 相对 128 点采样时的 相对 频率 H z 测量频率 H z 误差 % 测量频率 H z 误差 %
V o l. 18 N o. 4 A ug. 2006
基于傅氏滤波的频率测量新方法α
李一泉1, 何奔腾2
(1. 广东省电力调度中心, 广州 510600; 2. 浙江大学电气工程学院, 杭州 310027)
摘要: 仔细研究了正弦信号经傅氏算法变换后的结果, 发现随着数据窗的推移, 傅氏算法得到的相量的实部 和虚部满足一个恒等式, 由此得到一种新的测频方法, 只需 20 m s 左右的时间, 即可准确求出基波频率。 最后 分别对原始信号纯基波、存在谐波及频率变化的情况进行了仿真。 仿真结果表明, 该算法在各种情况下都具 有较高的计算精度。 关键词: 傅氏算法; 测频; 谐波 中图分类号: TM 935 文献标识码: A 文章编号: 100328930 (2006) 0420045204
Abstract: Focu sing on the info rm a tion of sine signa ls p rocessed by Fou rier a lgo rithm , it is detected tha t w ith the sh ifting of the da ta w indow the rea l p a rt and im ag ina ry p a rt of the p ha so r ga ined from Fou rier a lgo rithm sa tisfy an iden tica l equa tion. T hereby a new m ethod of frequency m ea su rem en t is p ropo sed, by w h ich w e can accu ra tely ob ta in fundam en ta l frequency in abou t 20m s. In the end, signa ls w ith chang ing frequency, w ith and w ithou t ha rm on ics a re tested resp ectively, and the resu lts p rove a h igher accu racy of the a lgo rithm in a ll situa tion s. Key words: Fou rier filter; frequency m ea su rem en t; ha rm on ics
固有的滤波性能差于全波, 从而在谐波严重的情况
下, 基于前者的测频算法精度上将略差于后者。
3 算法仿真及分析
为验证文中算法的有效性, 下面分别对原始信 号有无谐波及频率变化的情况进行了仿真。 3. 1 信号中不含谐波成分
当信号为完全正弦波时, 设电压信号 u ( t) = U sin (2Πf t + Υ) , 其频率在 30～ 70 H z 变化, 初相 角随机选择, 每周波采样点分别为N = 32 和N = 128 点, 为避免过零点的影响, 设M = 3, 其测量结 果如表 1 所示。
U sin (2Πf 0 t + 2Π∃f t + Υ)
(2)
其中, U 和 Υ分别表示基波电压的幅值和相角。
对 u ( t) 使用傅立叶算法, 由于真实频率未知,
只能假定频率为额定值 f 0, 则对于时间窗 [ 0, T 0 ]
有
∫ U R 0 =
2 T0
T0
u ( t) sin (2Πf 0 t) d t =
30
30. 123 8
0. 41 30. 007 7
0. 03
40
40. 092 3
0. 23 40. 005 8
0. 01
50
50. 000 0
0. 00 50. 000 0
0. 00
60
59. 830 1
- 0. 28 59. 989 4
- 0. 02
70
69. 567 9
- 0. 62 69. 973 0
0
∫ U ( T0
T0
co s (2Π∃f t +
0
Υ) d t -
∫
T0
co s (4Πf
0t +
2Π∃f t +
Υ) d t =
0
2U f 0 sin (Π∃f ΠT 0∃f (2f 0 +
T 0) ∃f )
co s (Π∃f
T
0
+
Υ)
(3)
∫ U I0 =
2 T0
T0
u ( t) co s (2Πf 0 t) d t =
对于 128 点采样, 计算精度为 0. 04% 左右。而 计算时间只需约 1 个基波周期 (傅氏算法的数据窗 长加消除过零点影响的M = 3) , 对于 50 H z 信号, 数据窗只需 20 m s 左右。 3. 2 信号中含有谐波成分时的频率测量