高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十六空间几何体的三视图直观图表面

课时达标检测（三十六） 空间几何体的三视图、直观图、表面积与
体积
[练基础小题一一弓II 化运算能力 ]
1 .下列结论正确的是（
）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的 几何体叫圆
锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D A 错误，如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，
它的各
个面都是三角形，但它不是三棱锥； B 错误，如图②，若△ ABC 不是直角三角形，或△ ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边， 所得的几何体都不是圆锥； C 错误，若该棱锥是六棱锥, 由题设知，它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾.
2 .如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为 及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于
4的圆，该几何体的体积是（
）
解析：选D 由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积 104兀 3 .
3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
4和6的矩形以
41兀 B 622t
83兀 104兀
D.—
4
V=%兀 X23+ 兀
X22X6
A. 2
B. 4+2^2
C. 4+4也
D. 6+ 4P
解析：选C 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长 为2,腰长为 木,棱柱白^高为2.所以其侧面积 S= 2X2+2^2X2= 4+ 4/，故选C.
5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为
9^,则正方体的棱长为
A. 12+ 4yf2 C. 28
他网身
B. 18+ 8f2 D. 20+8x^2
解析：选D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形 的直三棱柱，如图.
1 -
则该几何体的表面积为 S= 2X2X 2X2 + 4X2X2+2^2X4=20 + 8 ：2,故选 D.
4.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ，已知某“堑堵”的 三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为
（ ）
R= 2, 1- 3a= 3, a= 3.
正题图 蒯祝图
衲视图
D. 2 3a 3兀
解析：选C设圆锥的底面半径为r,母线长为1,由题意知2方=d, l=2r,则圆锥
1 a 的表面积S表=7+三艰「)2= a,产=丁,
2 3
兀2r=上
213兀.
兀
2.在梯形ABCD 中，/ ABC：,, AD // BC, BC= 2AD = 2AB = 2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
5兀
C.7
D. 2兀
解析：选C 过点C作CE垂直AD所在直线于点E ,梯形ABCD绕AD
所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段至3f BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图
1
所不',该几何体的体积为V = V圆柱一V圆锥=兀, AB2 , BC—— , % , CE2 , DE =
3
兀X12X2—3•兀X12X1=5^,故选C.
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
16
15
C.?
20
13
D.一2
解析：选 D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所 示，所以其体积为 23--X -X 2X 2X 2--X-X 1X 1X 1 = 丫.故选 D.
3 2 3 2 2
4.已知正四面体的棱长为
：2,则其外接球的表面积为 （
）
3
c
C
1 . 8 Tt B. 12兀
C —2一 兀
D . 3 %
解析：选D 如图所示，过顶点A 作AO,底面BCD,垂足为O, 则O 为正三角形 BCD 的中心，连接 DO 并延长交BC 于E,又正四
,：6 八 2 ,：6
DE = 22-, OD = 3DE=23,
以外接球的表面积 S>= 4 7R 2= 3兀 5 . （2017 •郑州质检）如图所示是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为
解析：选C 还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高 分别为2、/2, 2、/2, 4的长方体，则该长方体外接球的半径 2 2,则所求外接球的表面积为 41= 32 7t.
6 .已知四棱锥 P -ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P -ABCD 的四个侧面中面积的最 大值是（）
角形 AOD 中，AO=/AD 2-OD 2
= -3
.设正四面体外接球的球心为
P,半径为R,连接PD,
则在直角三角形 POD 中, PD 2=PO 2 + OD 2
,
即R2=手—R
2+g 2
,解得
面体的棱长为；：2,所以 A. 8兀 B. 16兀
C. 32 兀
D. 64兀
所以在直角三
止现图
曾现图
A. 6
B. 8
C. 2P
D. 3
解析：选A 四棱锥如图所示，作PN，平面ABCD,交DC于点N, PC= PD=3, DN=2,贝U PN = ^32 - 22 =邓,AB=4, BC= 2, BC LCD,故BC，平面PDC,即BCXPC,同理AD，PD.设M为AB的中
1 ——点，连接PM, MN,则PM=3, S>A PDC=2x4X\5=2V55
1
S A PBC= Sk PAD =~ X 2X3=3, S A
1
PAB=2>< 4X3=6,所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积的最大值是 6.
、填空题
BP 1
7.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在线段BD1±, = -, M为线段
PD1 2
B1C1上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为.
BP 1 1 解析：篇=小，点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的力,
PD1 2 3
D1C1
即三棱锥P-MBC的高h===1.M为线段B1C1上的点,
3
- & MBC= 2 X 3 X 3= 2,
1 9 V M-PBC= V P-MBC =o x 9 X
3 2 1=3.
2
3
答案：2
8. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为m3.
解析：由三视图可得该几何体是组合体， 上面是底面圆的半径为 2 m 、高为2 m 的圆锥, 卜面是底面圆的半径为 1 m 、高为4 m 的圆柱，所以该几何体的体积是 (m 3
).
9.如图，正方形 O' A' B' C'的边长为 a,它是一个水平放置的
平面图形的直观图，则原图形 OABC 的周长是.
解析：由斜二测画法的规则可知， 原图形OABC 是一个平行四边形. 在原图形 OABC 中 OB=2、/2a, OA= a, 且 OA^OB, • . AB=3a,
・•・原图形 OABC 的周长为2(a+ 3a )=8a . 答案：8a
10 .我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形 的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸， 盆深一尺八寸.若盆
中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸
）
1
解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V = z/i （脩+柞+ r 中
3
r 下) = -x 9X (102
+ 62
+ 10X6)= 588M 立方寸)，降雨量为 3
答案：3 三、解答题
11 .已知球的半径为 R,在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时, 它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？
此视图 侧鞠图
僻视用
答案:
20兀
V 588 K 而6；= 3(寸)・
解：如图为其轴截面，令圆柱的高为 h,底面半径为r,侧面积为
S,
h
则 2 2+ r2= R2, 即 h=2郃2
二?.
因为 S= 2 vrh = 4 < ,卜 R 2
— r 2
=
r ------------------ !~r 2
+ R 2
— r 2~2
4 N r - R — r 2 w 4 /
4
= 2 T R 2 ,
当且仅当r 2
=R 2
— r 2,
：’2
即r= 32-R 时，取等号，
2T R 2
12 . 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1的平行四边形，侧视图是
一个长为 水、宽为i 的矩形，俯视图为两个边长为 i 的正方形拼成的矩形.
⑴求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体 (如图)，其底
面是边长为1的正方形，高为木.
所以 V =1X 1x43=43.
(2)由三视图可知，该平行六面体中， A 〔DL 平面ABCD, CD,平 面 BCC 1B 1,
所以AA 1=2,侧面ABB 1A 1, CDD 1C 1均为矩形. S= 2X(1X1 + 1X 小+ 1X2)= 6+ 2^3.
4
9兀 解析：设正方体棱长为 a,球半径为R,则鼻T R * * 3= —
3 2
答案：3
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即当内接圆柱底面半径为 ,其侧面积的值最大，最大值为
[练常考题点一一中^验高考能力 ]
一、选择题
1.已知圆锥的表面积为a,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是。