数学建模,快速评卷

最优快速评卷策略
摘要
在确定像数学建模竞赛这种比赛形式的优胜者时，评委常常需要评阅大量试卷。

本文主要讨论了如何制定快速评卷方案，使每个阅卷人批阅答卷份数最少，以提高评卷效率，同时使评阅准确率足够高，以保证评卷结果的公平公正。

本文在建立评卷模型前，先对试卷进行加(解)密处理，以保证评卷过程和结果的公平公正，然后对阅卷人员进行评阅测试，得到每个评阅人员的评分类型，其中评分类型分为偏激、中间和保守，这样纠正了由于阅卷人个人喜好而造成的系统误差。

针对评委评审论文的实际需要，在充分合理的假设条件下，本文提出了两种
评审方案，建立了以目标函数为1
m in J
j
i Z P ==
∑的圆桌评卷的优化模型，再利用
MATLAB 软件对两种方案进行了仿真模拟，同时检验其精确度。

在P=100，J=8，W=3的条件下，对方案一仿真模拟1000次得到的结果如下表所示
评阅人 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 评阅数目 21 21 21 21 20 20 21 21 总评阅数目 166 准确率 99.7%
在P=100，J=8，W=3的条件下，对方案二仿真模拟1000次得到的结果如下表所示
评阅人 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 评阅数目 26 26 26 26 26 26 26 26 总评阅数目 208 准确率 96.1%
若采用方案1，总工作量为288篇，每位评委的工作量为35篇或37篇，准确率R 在95%以上，保证了相当高的精确度；若采用方案2，总工作量为208篇，每位评委的工作量均为26篇，准确率R 在96.1%以上。

最后本文对于两种方案的结果，进行了分析评估，还讨论了P ，J ，W 变化时，对准确率的影响。

当P 、W 一定时，评委人数J 的数目越多，准确率越高；当P 、J 一定时，最终选出优胜试卷的份数W 越多，准确率越高；当J 、W 一定时，答卷数目P 越多，准确率越低。

关键词：最优评卷方案 计算机仿真 圆桌评卷模型 系统误差
1问题重述
1.1问题背景
在确定像数学建模竞赛这种形式比赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷。

基于竞赛资金，对于能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，所以制定一种快速评卷策略对于评审团十分重要。

1.2评卷方案相关信息
理想的情况是每个评阅人看所有的答案，并将它们一一排序，但这种方法工作量太大。

另一种方法是进行一系列筛选，在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的的答卷，并给出分数。

为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选方法：如果答卷是排序的，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被淘汰；如果答卷没有排序，而是打分（比如说从1分到100分），则某个截止分数线以下的答卷被淘汰。

这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程，人们关注的是，每个评阅人看的答卷总数要显著地小于P。

评阅过程直到剩下W份答卷时停止，这些就是优胜者。

当P=100通常取W=3。

注意在打分时存在系统偏差的可能，例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给70分，而另一位可能给80分。

在你给出的方法中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J和W）的变化？
1.3需要解决的问题
你的任务是利用排序、打分及其他方法的组合，确定一种筛选方法，按照这种方法，最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答卷（所谓“最好的”是指，我们假定存在着一种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序）。

例如，用你给出的方法得到的最后3份答卷将全部包括在“最好的”6份答卷中，在所有满足上述要求的方法中，希望你能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。

在你给出的方法中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J和W）的变化？
2.模型假设与符号说明
2.1问题假设
假设一：假设存在评委一致赞同的绝对分数，评委的评分能力处于较高水平；假设二：假设各评委独立工作，互不干扰，评卷过程绝对公平；
假设三：假设评委打的分都为整数,打分是按照百分制进行的；
假设四：假设计算机仿真出来的数据具有很好的代表性；
假设五：假设对于同一份答卷，每个评阅人员只能评阅一次，若再次分到已评阅的试卷，就上交，重新分配；
假设六：假设每个评阅人评阅单份试卷的时间、费用都相等, 时间、费用与阅卷份数成正比；
2.2符号说明
符号符号说明
评卷开始前总的答卷份数
P
评委的人数
J
优胜试卷的数目
W
x
ij第j位评委对第i号试卷评的实际分数
X第j位评委对第i号试卷评后修正的分数
ij
第i份试卷被数名老师评后的加权平均分
()
L i
第i份试卷的绝对分数
D i
()
第n轮第i份试卷被打分的次数
N
i
Z第j位评委打分时的系统误差
j
P n第n轮总共有n P份试卷
所有评卷人评阅试卷的总次数
Q
模型仿真1000次的准确率
3问题分析
在确定像数学建模这样的大型竞赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷，对于评阅人来讲是一个很大的工作量，如果分配试卷的方法不够合理，也许还会使工作量加重。

问题就是要求我们利用排序、打分及其他方法的组合，确定一种筛选方法，可以使批阅的答卷尽量的小。

而我们也知道考试的评阅答卷过程应该尽量的公平，而且评阅人在打分的时候存在系统的偏差。

接下来我们就讨论这两个方面分析，从而推导出评阅试卷的程序。

3.1批阅试卷数量的分析
如果有P份答案，由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务，由于受到竞赛资金、能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，我们在批阅答卷的时候不可能达到理想的情况，即每个评阅人员看所有的答案，并进行一一排序，这种方法的工作量太大。

为了减少所看答卷的数量，将答卷随机平分给评阅人员，然后采用淘汰制将每位评阅人给出的排序中的排在最下面的30%答卷淘汰。

而我们的排序是在打分的基础之上的，所以每个评阅人都对答卷打分之后，再对自己手中的试卷排序，从而淘汰30%的答卷，这样每次就可以减少每位评阅人员一定数量批阅份数。

之后重复这样工作淘汰30%可以使答卷越来越少。

而对于淘汰的答卷我们就不予理会，这样会减少工作量。

题目中也要求在从P份答卷中选取W份的优胜答卷，应当来自于最好的2W 份中，所以当每个阅卷人手中的试卷接近2W份时，应当对答卷详细的打分，就是说应当让每个评委都打分，最后共同在将近2W份答卷内选出最优的W份答卷。

3.2公平性的分析
由于像数学建模这样的开放性竞赛答卷，都是由每一个考生按照自己的思维所得到的答案，所以答卷并没有标准的答案，也就是老师的主观因素对答卷的分数起很重要的作用。

还有就是每个评阅人对于同一份答卷也会打出不同的分数，这也是我们不能忽视的因素。

这些系统误差和一些偶然误差都会导致不公平的发生，所以我们应该尽量减少这种不公平性的发生。

这就需要我们对每一个评阅人所打的分数有一个统一的评估，让每个评阅人对同一份答卷打分，我们可以用一
个方法，尽量使这些不统一的分数用调整后的分数来衡量。

而淘汰答卷时我们在资金、人员、时间的允许下也可对淘汰的试卷打分。

最后在从将近2W 份答卷内选出最优的W 份答卷时，我们也尽量的让优胜者是在尽量多的人都满意的情况下产生，这样我们既保证了优胜者是优秀的，被淘汰的答卷也是在公平的条件下被淘汰的。

对于系统误差我们可以引入加权平均值来调节每个评阅人员的评分偏差，但是对于评阅人员个人也存在偶然误差，在批阅答卷的时候由于时间和评阅人员体力的影响，在刚开始评卷时对答卷的生疏会产生误差，处于中间阶段状态最佳，误差也是最小，随着时间和体力的疲劳就会产生疲劳误差。

由于自己的偶然因素产生的误差也应该考虑到。

3.3评卷流程分析
综合以上两种情况的分析，我们在评阅答卷的时候在保证批阅答卷的总份数尽量少的基础之上，确立了两种评卷流程;最后可以得到模型的流程图：
否
是
图一：仿真流程图
对阅卷人员进行培训 开始 加密 修改评卷方案 第2轮到第1n -轮筛选
第一轮筛选
第n 轮筛选出前三名 算出总评阅次数和准确率 95%α≥ 方案合理 各方案对比分析，找出评阅
次数最少的方案
4.数据的获取与处理
4.1仿真出100份试卷的真实分数
据经验可知，对答卷所打的分数符合正态分布，本题中采用的是百分制所以
()70,100N 。

用计算机模拟答卷分数并将P=100份试卷进行1—100编号。

如下
表： 编号 数据 编号 数据 编号 数据 编号 数据 编号 数据 1 73 21 70 41 79 61 87 81 91 2 66 22 89 42 76 62 73 82 62 3 74 23 77 43 63 63 48 83 88 4 58 24 64 44 72 64 72 84 80 5 57 25 66 45 77 65 59 85 71 6 74 26 58 46 64 66 57 86 61 7 72 27 74 47 71 67 67 87 77 8 66 28 72 48 64 68 86 88 84 9 55 29 76 49 56 69 56 89 76 10 93 30 91 50 64 70 67 90 76 11 62 31 80 51 72 71 57 91 80 12 66 32 76 52 70 72 72 92 63 13 73 33 84 53 74 73 89 93 61 14 80 34 69 54 89 74 82 94 86 15 68 35 64 55 42 75 74 95 79 16 62 36 75 56 69 76 58 96 66 17 80 37 77 57 76 77 71 97 78 18 67 38 77 58 72 78 70 98 83 19
78
39
51
59
82
79
66
99
49
20 66 40 83 60 57 80 76 100 63
4.2对答卷进行加（解）密处理
为了显示评卷过程的公正性与合理性，我们先将要进行评阅的答卷进行随机的排序处理后并标号1-P ，表示成矩阵B ，A 为一个幻阵,C 也为矩阵
然后根据矩阵加（解）密算法：
1）A 为一个幻阵，则*A A B C *=的过程即为加密过程，其中B 为明文，C
为密文。

2）1111*()()A A C A A A A B B ----*=***= ，此过程即为解密过程。

加密的密钥A为幻阵：
92 99 1 8 15 67 74 51 58 40
98 80 7 14 16 73 55 57 64 41
4 81 88 20 22 54 56 63 70 47
85 87 19
A=
21 3 60 62 69 71 28
86 93 25 2 9 61 68 75 52 34
17 24 76 83 90 42 49 26 33 65
23 5 82 89 91 48 30 32 39 66
79 6 13 95 97 29 31 38 45 72
10 12 94 96 78 35 37 44 46 53
11 18 100 77 84 36 43 50 27 59
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
将这P份答卷进行加密处理。

4.3 加密后答卷编号对应的密文
在试卷进行评阅前，我们将明文即编号1—100用计算机编程求出它们的相
关密文，加密后1-100号试卷编号对应的密文如下表：
编号密文编号密文编号密文编号密文编号密文
1 11526775 21 12051775 41 10908025 61 11977025 81 11957775
2 11781800 22 12306800 42 11163050 62 12232050 82 12212800
3 12036825 23 12561825 43 11418075 63 12487075 83 12467825
4 12291850 24 12816850 44 11673100 64 12742100 84 12722850
5 12546875 25 13071875 45 11928125 65 12997125 85 12977875
6 12801900 26 13326900 46 12183150 66 13252150 86 13232900
7 13056925 27 13581925 47 12438175 67 13507175 87 13487925
8 13311950 28 13836950 48 12693200 68 13762200 88 13742950
9 13566975 29 14091975 49 12948225 69 14017225 89 13997975
10 13822000 30 14347000 50 13203250 70 14272250 90 14253000
11 12445775 31 11020275 51 11714275 71 12333025 91 11376775
12 12700800 32 11275300 52 11969300 72 12588050 92 11631800
13 12955825 33 11530325 53 12224325 73 12843075 93 11886825
14 13210850 34 11785350 54 12479350 74 13098100 94 12141850
15 13465875 35 12040375 55 12734375 75 13353125 95 12396875
16 13720900 36 12295400 56 12989400 76 13608150 96 12651900
17 13975925 37 12550425 57 13244425 77 13863175 97 12906925
18 14230950 38 12805450 58 13499450 78 14118200 98 13161950
19 14485975 39 13060475 59 13754475 79 14373225 99 13416975
20 14741000 40 13315500 60 14009500 80 14628250 100 13672000
5模型的建立
5.1模型的准备
5.1.1随机数据的模拟
参照分数的模拟：用计算机随机生成1到P 个服从正态分布，均值为m ，均方差为d 的正态分布，并对试卷从1到P 随机编号，然后进行加密。

评委评分的模拟：在绝对分数上下波动为5的范围内随机生成8个数据，这8个数据表示8位评委对这份试卷的评分；
5.1.2评卷人员能力的测评
考虑到每位评阅人员的偏好不同，因而评阅标准有所差异，结果可能导致错误判断，出现打分的分数与实际情况相差比较大，不能合理与公正的评出最好的答卷，因个人喜好不同，看待问题角度的差异，所造成的评分偏差称为系统误差。

公式为： 1
1()n
j ij
i i x x
x n
=∆=
-∑ 其中1
1J
i ij
i x x
J
==
∑
其中j x 为第j 位评委的系统误差，ij x 为第j 位评委对第i 份试卷打的分数，j x 为第j 位评委对第i 份试卷打的平均分数。

为了减小因系统偏差造成的评卷策略的失真，在评委进入评分系统评阅之
前，对J 为评委进行评分能力的测评。

随机选取已经评阅的10份试卷给各位评委试改，用计算机模拟出J 位评委对这10份试卷的评分，计算出每位评委的评分偏差j x ∆，评委试改的次数不计算到对竞赛试卷的批阅次数中。

同时每个评委在打分过程中，开始由于对评阅试卷的不熟，会出现偶然出错现象，随着批改试卷量的增加，偶然出错的现象会减少即偶然误差的方差在减小。

并且各评委出现偶然误差的方差可以看作相等，于是可用Matlab 产生一个服从正态分布2(0,)N d 的整数，作为各个评委打分的偶然误差，记为()i O j ，则可以得到评卷老师偶然误差与阅卷数量的关系。

图二：偶然误差的方差与阅卷数量的关系图
通过对评委的系统偏差j x ∆修正后，老师对试卷的评分主要受偶然误差的影响，从图二可以看出随着老师批阅试卷量的增加，老师评分的偶然误差减小，而偶然误差服从正态分布，则偶然误差的方差减小.于是评委评分误差随着偶然误差的方差σ减小而减小。

于是可以得到下图。

图三：评委打分偏差值与偶然误差的方差的关系
5.1.3 加权平均分数的表示
考虑到评委评卷的系统误差和偶然误差对模型的影响，于是对评委对试卷打的实际分数ij X 进行修正，最后用各位评委的加权平均分作为试卷的最终分数，修正过程如下：
（1）先对一百份试卷做编号，分别记为1，2，…100，然后进行加密处理。

（2）然后每轮中各个老师对分得的试卷进行打分，第j 位评卷人对第i 份答卷打的实际分数为ij x 。

（3）每个评委在打分过程中会出现系统误差和偶然误差，通过试改可以求出各个评委的系统误差j x ，而评委出现偶然误差的方差相等，于是可用Matlab 产生一个服从正态分布2(0,)N d 的整数，作为各个评委打分的偶然误差，记为()i O j ；
（4）由于各个老师的偏好不同，为了减小因系统误差和偶然误差造成的评卷方案的失真，对各位评委所打的实际分数ij x 进行修正，则第j 位评卷人对第i 份答卷打的客观分数()ij ij j i X x x O j =++ 。

（5）进行打分的答卷最终分数用()L i 表示，第j 位评卷人对第i 份答卷打的客观分数为ij X ，i N 表示第i 份答卷被打分的次数，则第i 份试卷的加权平均分数为：
8
143
()ij
j ni
n X L i N
===
∑
∑
5.1.4答卷分配的规则
进行n 轮评阅，第n 轮总共有n P 份答卷()1,2,3,4n =，J 位评阅人员，假设每位评阅人员的评阅速度相等。

要使评阅人员的工作量尽量相等，且很快的完成评阅任务，制定了如下分配答卷的规则：
1)如果P 刚好是J 的整数倍，且若以后每轮答卷的总份数都是J 的整数倍，
即%0n n n y P J y ==， 则每轮都进行平均分配答卷。

2)如果从某一轮开始出现答卷的总份数不是J 的整数倍，即%0n n n y P J y =≠，，则从这一轮开始先进行平均分配，多出来的答卷份数由编号为1的到n y 的评阅人员进行评阅。

若后面的轮数也存在0n y ≠，仍先进行平均分配，然后从编号为1n y +的评阅人员开始往后分配答卷，若出现1
n n y J ==∑的情况，
由于评阅人员的编号确定，就再从编号为1的评阅人员进行分配，直到评卷完毕。

3)若出现同一位评阅人员，再次分配到他已评阅过的答卷，则上交，给他分配新的答卷，保证他评阅答卷的份数。

5.2目标函数的确立
通过问题分析，评卷的主要时间用在阅卷上，若要快速阅卷则需要使在评阅试卷过程的工作量尽量的小，即所有人所评阅的答卷份数尽量的少。

同时评委阅卷的准确率要求足够高。

因此我们可以建立目标函数：
1
m in J
j
i Q Z ==
∑
95%α≥
其中，Q 为所有评阅人批阅试卷的总次数，J 是本次评阅答卷所聘请的评阅人员数量，j Z 是第j 个评阅人评阅答卷的总份数，α为模型的准确率。

5.3方案一
5.3.1方案一的评卷流程
每轮打分淘汰截至分数线以下的答卷，以精确为主分n 轮进行。

第一轮：根据给出的P 、J 、W ，将答卷按照分配规则分给J 位评阅人员，然后每个人独立的对自己手中的答卷进行打分，打分结束后，将所有的试卷进行排序，然后淘汰掉分数小于70的试卷。

将留下来的试卷全部上交，然后随机排序。

第二轮：将2P 份试卷按照分配规则分配给J 位评委，与第一轮一样的打分和排序，这次的淘汰准则是将该份答卷上两位评阅人的分数进行加权平均后作为该卷新的分数，然后进行排序，淘汰截至分数分以下的所有试卷。

将留下来的试卷全部上交，然后随机排序。

第三轮到第1n -轮：将上一轮剩余试卷按照分配规则分配给J 位评委，接下来的第三轮筛选到第1n -轮筛选都按这样的流程进行，筛选的原则还是每个评阅过答卷分数的加权平均值作为新的分数进行排序，然后淘汰截至分数以下的试卷。

直到当淘汰剩余试卷接近2W 时停止淘汰，将留下来的试卷全部上交，然后
随机排序。

第n轮：将
P份试卷按照分配规则分配给J位评委，此时剩余试卷接近2W，
n
然后评委进行打分，筛选的原则还是每个评阅过答卷分数的加权平均值作为新的分数进行排序，然后从答卷中选取最好的前W名。

5.3.2方案一仿真的评卷流程
我们取P=100，J=8，W=3，用计算机进行模拟求解。

第一轮：将100份答卷按照分配规则分给8位评阅人员，1—4号评阅人员每位分得13份答卷，后4位评阅人员分得12份答卷。

每位评阅人员对分得的试卷进行打分，然后对所有试卷进行排序，淘汰70分以下的试卷。

最后将剩余答卷随机排序，以免影响下一次的评阅工作，保留的49份答卷的密文编号如下表：12291850 12816850 11673100 12742100 12722850 12546875 13071875 11928125 12997125 12977875 12801900 13326900 12183150 13252150 13232900 13056925 13581925 12438175 13507175 13487925 13311950 13836950 12693200 13762200 13742950 13566975 14091975 12948225 14017225 13997975 13822000 14347000 13203250 14272250 14253000 12445775 11020275 11714275 12333025 11376775 第二轮：将49份答卷按分配规则分给8位评阅人员，每位评阅人员分得8份，然后每位老师进行打分，打分完成后，将该份答卷上两位评阅人的分数进行加权平均后作为该卷新的分数，然后进行排序，淘汰80分以下的试卷。

最后将剩余答卷随机排序，以免影响下一次的评阅工作，保留的17份试卷密文编号如下表：
13056925 13581925 12438175 13507175 13487925 13566975 14091975 12948225 14017225 13997975 12546875 13071875 11928125 12997125 12977875 11977025 13507175 13416975
第三轮：将17份答卷按分配规则分给8位评卷人员，第5号评委分得3份试卷其他每人分的2份试卷，然后每位老师进行打分，打分完成后，将该份答卷上3位评阅人的分数进行加权平均后作为该卷新的分数，然后进行排序，淘汰85分以下的试卷，最后将剩余答卷随机排序，以免影响下一次的评阅工作，保留的9份试卷密文编号如下表：
13566975 14091975 12948225
12546875 13071875 11928125
11977025 13507175 13416975 第四轮：将9份答卷按分配规则分给8位评卷人员，然后每位老师进行打分，打分完成后，将该份答卷上4位评阅人的分数进行加权平均后作为该卷新的分数，然后进行排序选出前三名，得到的答卷对应的密文编号如下：
11977025 13507175 13416975
5.3.3方案一解密并公布结果
最终得到三份试卷的密文编码
11977025 13507175 13416975
根据解密算法，得到答卷的明文编号为：61，67，99
每位评阅人员评阅答卷的总数目如下表：
评阅人1号2号3号4号5号6号7号8号第一轮13 13 13 13 12 12 12 12 第二轮 5 5 5 5 5 5 5 5 第三轮 2 2 2 2 2 2 3 2 第四轮 1 1 1 1 1 1 1 2 总评阅数目21 21 21 21 20 20 21 21
评阅总数目166
5.4方案二
5.4.1方案二的评卷流程
先分档淘汰，后打分淘汰，以择优为主分四轮进行。

第一轮：将答卷按照分配规则分给J位评阅人员，每位评阅人员按照一定比例分成优、差两档，记录分档结果。

接着将分在差档内的答卷剔除，保留每组的优档中的答卷。

将留下来的答卷全部上交，然后随机排序。

第二轮：对
P份答卷进行精细的第二次分档并操作两次。

将答卷按照分配规
2
则分给J位评阅人员，每位评阅人员按照一定比例将答卷分成第一、二、三档，进行记录。

第一档直接进入下一轮的评阅，第三档直接被剔除掉，第二档的答卷进行随机排序再按照分配规则分给J位评阅人员，进行的第二轮的第二次分档再按照一定的比例分为第一、二、三档，进行记录。

这次将第一、二档直接进入下一轮的评阅，第三档直接被剔除掉。

对第二轮筛选出来的
P份答卷进行随机排序。

3
第三轮：对剩下的答卷进行第一次打分处理，打分采用百分制。

将答卷按照分配规则分给J位评阅人员，评阅人员按照一定比例评出答卷中的前2W名，如果这前2W名刚好也是第二轮的第一次分档中的第一档或第二次分档中的第一档，则直接保留，剔除其它的答卷；若2W份答卷中存在不是第二轮的第一次分档中的第一档或第二次分档中的第一档；则交给未评阅此份答卷的人员进行评阅打分，最后取平均分，以平均分最高答卷入围，并记录结果。

对第三轮筛选出来的
P份答卷再进行随机排序。

4
第四轮：对剩下的答卷进行第二次打分处理，打分采用百分制。

将答卷按照分配规则分给J位评阅人员，评阅人员进行打分，最后求出2W份答卷的平均分，取按分数排名的前W名。

5.4.2方案二仿真的评卷流程
我们取P=100，J=8，W=3，用计算机进行模拟求解。

第一轮：将100份答卷按照分配规则分给8位评阅人员，1—4号评阅人员每位分得13份答卷，后4位评阅人员分得12份答卷。

每位评阅人员按64:36的比例将答卷进行粗略的优劣分档，淘汰劣档中的36份，将答卷随机的排序，以免影响下一次的评阅工作。

最后保留的64份答卷的密文编号如下表：
12036825 12816850 11275300 10908025 14009500 14017225 14628250 12651900 12445775 14230950 14091975 13315500 12232050 12333025 14373225 12906925 13566975 12561825 11020275 11163050 13754475 13507175 12722850 12141850 12700800 12051775 13581925 11928125 12734375 14272250 14118200 12396875 12291850 13326900 12550425 12948225 11977025 13353125 12977875 13161950 12546875 13975925 13060475 11714275 11969300 13098100 13487925 13742950 12955825 14485975 11530325 12183150 13499450 12742100 13232900 14253000 13822000 12306800 14347000 12438175 12224325 12588050 12212800 11376775 第二轮：对64份答卷进行精细的第二次分档并操作两次。

1）第二轮的第一次答卷从编号为1的评阅人员开始分发，每位评阅人员分得8份，按1:1:2的比例将答卷分成第1、2、3档，将第3档的答卷直接淘汰，
保留第1档的答卷，将答卷随机的排序，以免影响下一次的评阅工作。

2）第二轮的第二次分档对第一次中的第2档进行复查，将答卷从编号为1的评
阅人员开始分发，每位评阅人员分得2份，然后对每份试卷进行打分。

打分完成
后全部上交，然后对16试卷分数进行排序，保留前4份试卷，最后将20份答卷
随机排序，以免影响下一次的评阅工作。

则共保留的20份答卷对应的密文编号
如下：
12955825 11530325 12224325 13232900 13326900
13822000 14347000 13754475 13487925 13975925
14485975 11714275 12333025 13742950 12183150
12306800 12438175 13353125 11376775 13060475 第三轮：将剩下的20份答卷从编号为5的评阅人员开始分发，第5-8号评阅人员分得3份，其他的分得2份，进行第一次打分处理。

按分数高低取前八
名，然后将8份答卷随机排序，以免影响下一次的评阅工作，得到的答卷
对应的密文编号如下：
12183150 11530325 13060475 12438175
14485975 12306800 14347000 13822000
第四轮：将这8份答卷从编号为1的评阅人员开始分发，每位评阅人员分得1份，进行第二次打分处理。

结合第三轮的评阅分数，答卷按加权平均分
数高低取前三名，得到的答卷对应的密文编号如下：
12306800 14347000 13822000
5.4.3方案二解密并公布结果
最终得到三份试卷的密文编码
12306800 14347000 13822000
根据解密算法，得到答卷的明文编号为：22，30，10
每位评阅人员评阅答卷的总数目如下表：
评阅人1号2号3号4号5号6号7号8号
第一轮13 13 13 13 12 12 12 12
第二轮10 10 10 10 10 10 10 10
第三轮 2 2 2 2 3 3 3 3
第四轮 1 1 1 1 1 1 1 1
总评阅数目26 26 26 26 26 26 26 26
评阅总数目208
最后对此方案仿真模拟1000次，得到方案二的准确率为96.1%
5.5 方案一，二的对比分析
方案一每轮都进行细致的打分，这样对每个学生都公平；方案二平分采取先松后紧，还加入了老师的主观平分，也就是开始粗略的分档，后来进行细致的打分。

当需要得到所有试卷的排序时，只能采用方案一；当需要找到最好的试卷，方案二比较好。

另一方面，当P较小时，适宜采用方案一；当P较大时，适宜采用方案二；当W较小时，方案一能提供足够高的精度；当W较大时，方案二效率显得更高；当J较小时，可采用方案二；当J较大时，可采用方案一，这样精度更高。

5.6对于对于P、J、W均变化时的讨论
在方案一的基础上，我们讨论了不同情况下的准确率，平均阅卷次数以及阅卷总次数，得到P、J、W中任一元素变化时的不同情况如下表所示：
P J W 准确率平均阅卷次数阅卷总次数
100 12 3 99.9% 15 173
100 10 3 99.9% 18 173
100 8 3 99.7% 21 166
100 6 3 99.9% 29 173
100 4 3 99.3% 44 173
100 8 1 98.7% 22 173
100 8 2 99.6% 22 173
100 8 3 99.7% 21 166
100 8 4 99.8% 22 173
100 8 5 99.9% 22 173
100 8 3 99.7% 21 166
200 8 3 99.8% 35 273
300 8 3 99.5% 47 373
400 8 3 99.7% 60 473
500 8 3 99.5% 72 573
根据上表我们利用Excel分别画出了评委数J、优胜者数目W、答卷数P对准确率的影响：
当试卷数量和选取优胜试卷份数不变，评委的人数对该卷准确率的影响如图：
图5：评委人数对准确率的影响
当试卷数量和评委人数不变，选取优胜试卷份数对该卷准确率的影响如下图：
图6：选取优胜试卷份数对准确率的影响
当选取优胜试卷份数和评委人数不变，试卷数量对该卷准确率的影响如下图：
图7：试卷数量对该卷准确率的影响。