动点问题总结与预测(数形结合)

动点问题总结（数形结合）
一、知识点应用的背景：平面直角坐标系
二、动点问题考查内容：
1.“数”内容有：数、整式、分式、根式、方程（组）、不等式（组）、坐标、一次函数、反比例
函数、二次函数
2.“形”内容有：点、直线、射线、线段、角平分线、平行线、垂线、垂直平分线、角（互余、
互补、相等）、三角形（高线、中线、角平分线；内角、内角和、外角）、四边
形（对角线、内角、外角、内角和）、圆
3.图形变换：平移（直线平移即平行）、旋转（直线旋转90度即垂直）、翻折（轴对称）、三
角形相似（全等）
4.联系数与形的工具（求线段的工具）：函数、勾股定理、相似、三角函数、三角形的面积
三、动点问题的思考方法：
1.看动点是谁，有几个
2.看起点、终点在哪
3.看所走路径怎样，是射线、线段、折线
4.看清速度是多少
四、典型试题训练
例：如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A －B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（秒）
①当t＝5时，求出点P的坐标；
②若⊿OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范
围）．
第一部分 动点与相似
1.如图，在平面直角坐标系中，点C(-3，0)，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且满足
0|1|32=-+-OA OB .
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连结AP ，设△ABP 的面积
为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A 、B 、P 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存存，请直
接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
2.如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB过点A(0，4)，B(3，O)点Q从点O开始沿O —B—A向A运动，速度为每秒2个单位长度，点P从点O开始沿OA向A以1个单位长度每秒的速度行进，当点P、Q中任一点运动到A时，P、Q 同时停止运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△POQ的面积与运动时间t的函数关系式，并求S△POQ最大时t的值；
（3）当P运动的速度不变，Q每秒以3个单位长度的速度运动时，是否存在某一时刻t使Q、P、A 围成的三角形与A、O、B围成的三角形相似？若存在，求出此时刻t的值，若不存在，说明理由.
备用图
备用图
3.已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直角梯形OABC，OA在y轴上．OC在x轴上，AB∥OC．且OC=6．∠BCO=45o．
（1）求直线BC解析式；
（2）若AB=2，动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CB运动，同时动点Q从
点O出发．以每秒2个单位长度的速度沿射线OA运动，设运动时间为t秒，△PQB的面积为S，求S与t函数关系式；(直接写出自变量t的取值范围)
（3）在（2）的条件下，直线CB交y轴于点M，点N的坐标为（-4，-4），t为何值时，△NCP与△OBM相似.
备用图
备用图
4.等腰梯形ABCD 在平面直角坐标系中如图所示，其中A(0，4)，B(-4，0)，C(8，O).
（1）求直线BD 的解析式；
（2）点P 从B 出发沿线段BA 以每秒2个单位长度的速度向终点A 运动，同时点Q 从C 出发沿线段
CB 以每秒3个单位长度的速度向终点B 运动，过Q 做x 轴的垂线l ,l 与折线C —D —A —B 交于 点R ，求△PQR 的面积S 关于P 、Q 两点运动时间t 的函数关系式；
（3）在(2)条件下，△ABD 沿BD 翻折，得△A ′BD ，设AA ′交BD 于M ，连接PQ 交BD 于N ．在P 、Q 运
动过程中，是否存在t ，使以B 、P 、N 为顶点的三角形与△BAM 相似?若存在，求出t 的值；若 不存在请说明理由.
x
y
B C x
y
备用图
x y
备用图
5.如图，平面直角坐标系中，AC 垂直于x 轴于点A ，点B 的坐标为(0，4)，BC=5，AC=l ，点D 为x 轴上一点，且满足∠DCB=∠ACD+∠DBO ．
（1）设直线CD 交y 轴于点E ，求直线DE 的解析式；
（2）若动点P 以1个单位长度／秒的速度从点E 出发沿射线EC 方向运动，设运动时间为t(秒)，
△PAB 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式(并求出自变量的取值范围）；
（3）在(2)的条件下，存不存在某时刻t 使△PBC 与△BDE 相似？若存存，求出t 的值，若不存在请
说明理
备用图
6.如图，等腰三角形ABC的三个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上，AB=BC=5，AC=6.
（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位速度沿射线BC方向运动，D为AC的中点，连接PD，PD 的延长线交过点A与x轴平行的直线l于点Q，设动点P运动的时间为t(单位为秒)，以A、D、Q为顶点的三角形面积为S，求S与t的函数关系式，并要求写出自变量t的取值范围；（3）在(2)的条件下，过点Q作直线BC的垂线，垂足为点R，则t 为何值时，以点P、Q、R为顶点三角形与B、C、D为顶点的三角形相似?
备用图
备用图
7.如图，在平面直角坐标系中，点C(-3，O)，D(-1，0)，B 在y 轴正半轴上，且tan ∠BCO=
3
3． （1）求直线CB 的解析式； （2）若点E 从C 出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结ED ，设△BDE 的面积为S ，点E
的运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）将△BOD 沿y 轴翻折，D 的对应点为A ，在(2)的条件下，是否存在点E ，使得点A 、B 、E 为顶
点的三角形与△ABO 相似？若存在，请直接写出E 的坐标；若不存在，请说明理由.
备用图
备用图
8.已知：如图，在直角梯形OABC 中，BC ∥AO ，CO ⊥OA ．若BC=1，OA=4，AB=5，如图建立平面直角坐标系，点D 为y 轴上一点，且满足∠DBA ＝∠CBD+∠DAO
（1）设直线DB 交x 轴于点E ，求直线DE 的函数解析式；
（2）若动点P 以2个单位长度／秒的速度从点E 出发沿射线EB 方向运动，没运动时间为t(秒)，
△PAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式(并求出自变量的取值范围)；
（3）若在(2)条件下，当t 为何值时．△PAB 与△ADE 相似?
备用图
备用图
9.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，BC ∥0A ，直角梯形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴正半轴上，点B 坐标为(2，6)，tan ∠OAB=4
3，点D 在AB 上，且以OD 为直径的⊙E 与AB 相切于点D ．动点P 从点D 出发，以每秒3个单位的速度沿线段D0向终点O 运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒5个单位的速度沿线段OC 向终点C 运动，其中一个到达终点时另一个也停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．
（1）求线段OD 的长；
（2）在点P 、Q 运动过程中，设△PEQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的
取值范围；
（3）设⊙E 与y 轴的另一个交点为F ，在点P 、Q 运动过程中，PQ 与OB 交于点M ，连接BF ，t 为何
值时，△0PM 与△0BF 相似?
10.(2010道外二模)已知□ABCD中，AC⊥BC，且AC=BC，以BC、AC所在直线为坐标轴建立平面直角
坐标系．B(-6，0)，直线y=3x+b过点D且与x轴交于点M．
（1）求点M的坐标；
（2）点G为y轴正半轴上一点，当∠BGM=45o时，求GD所在直线解析式；
（3）在(2)的条件下，设直线GD与x轴交于点N，GM与AD交于点K，点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿ON—NG运动，设运动时间为t，在运动过程中直线PA交BG于点H，当△GHA 与△GKD相似时，求t的值.
备用图
11.如图所示，已知抛物线12-+=bx ax y 与x 轴交于A （-1，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线解析式；
（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，若点M 、N 分别从点A 、D 同时出发，点M 以每秒2个单位
长度的速度，沿射线AD 运动，点N 以每秒10个单位长度的速度，沿线段DB 运动，当点N 到达点B 时停止运动，点M 继续运动．设点M 运动时间为t 秒，求△BMN 的面积S(S ≠0)关于t （秒）的函数关系式（请直接写出自变量t 的取值范围）；
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，过P 作PG ⊥x 轴于点G ，使以A 、P 、G 三点为顶点的
三角形与∆DCA 相似．若存在，请求出P 点的坐标；否则，请说明理由．
第二部分动点与角（相等、互余、直角、正切）
12.如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，OC∥AB，∠OAB=90°，OA=9，AB=20，梯形OABC
的面积为126．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度，沿线段CO运动．点Q 以每秒5个单位长度的速度，沿着射线BC运动，当点P到点O时停止运动，点Q也随之停止运动．设点P运动时间为t秒，求△PQC的面积为S(S≠0)关于t(秒)的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围)；
（3）在（2）的条件下，作∠ABC的平分线BD，交y轴于点D．是否存在这样的t值，使∠QPC=∠CBD，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
13.已知：如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，B（l2，9)，
点D在AB上，⊙D与x轴和OB相切，切点分别为A、E．连接OD、DE，点P从O点出发，以每秒10个单位的速度沿射线OD移动，设点P移动的时间为t（秒).
（1）求点D的坐标；
（2）连接PB，设△PBD的面积为S，求S与t之间的函数关系式．并写出自变量t的取值范围；（3）在(2)的条件下，当t为何值时，∠PBD=∠DOA.
备用图1
2
备用图
14.如图，△ABC 中，A(-3，0)，B(3
16，0)，点C 在y 轴正半轴上，且∠ACB=90o . （1）求直线BC 的解析式；
（2）在x 轴负半轴上取点D ，使AD=AC ，连接CD ，点M 、N 分别从点D 、B 都以每秒1个单位的速
度同时出发，分别沿射线DB 和线段BC 运动，当点N 到达点C 时M 继续运动．求△BMN 的面积S 关于运动时间t 的函数关系式；
（3）在(2)的条件下，是否存在这样的t 值，使直线CM 与直线CD 所夹的角与∠CBO 相等？若存在，
求出t 的值；若不存在，请说明理由.
图 1
图 2
图3
15.如图：矩形ABCD 的AB ，AD 与平面直角坐标系x ，y 轴重合.B(12，0)，D(O ，6)，边AC ，P 沿AB
边从点A 开始向B 点以2cm/s 的速度沿A —B —C 移动，点Q 沿D 边从点D 开始出发沿D —A —B 以lcm/s 的速度移动，如果P ，Q 同时出发，用t 表示移动的时间(0≤t ≤9)．
（1）当△QAP 为等腰直角三角形时，求直线P ，Q 解析式；
（2）在P ，Q 两点运动过程中，设△CQP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(请直接写出自变量
t 的取值范围)
（3）是否存在t 的值：使∠QCA=∠ACP ，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．
x
y
A B C
Q x
y
A
B C
备用图
1
x
y
A
B C
备用图2
16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，
且OA=6，OB=8，将△OAB沿着过点A的直线折叠，使点B落在x轴上的点B′处，连接BB′，折痕所在的直线与y轴交于点C，与BB′交于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接OD、PD，设△OPD的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，以点P
为半径作⊙P，当t为何值时，∠PDO与∠BCD互
余？并判断此时直线AD与⊙P的位置关系，请说明理由.
（备用图）
（备用图）
17.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
18．（2010南岗一模）如图．在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，△A BC
为等腰三角形，且OA=OB ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，直线AB 的解析式为y=-3x+30，点C 在线段BD 上，点D 关于直线OC 的对称点在腰0B 上．
(1)求点B 坐标；
(2)点P 沿折线BC —C0以每秒1个单位的速度运动，同时点Q 以每秒1个单位的速度从点0出发，
沿对角线OB 向终点B 运动．当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC 的面积为S ，运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接PQ ，设PQ 与OB 所成的锐角为α，当α=90
-∠AOB 时，求t 值．(参考数据：在(3)中，5取511
．)
19.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，过点C 与AC 垂直的
直线交x 轴于点B ，在x 轴负半轴上取一点D ，使AD=OC ，连接CD.
（l ）求直线BC 的解析式；
（2）若点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，点M 以每秒2个单位长度的速度，沿线段DB 运动，到点
B 停止运动．点N 以每秒5个单位长度的速度，沿线段B
C 运动，当点N 到达点C 时停止运动，点M 继续运动．设点M 运动时间为t 秒，求△BMN 的面积S(S ≠0）关于t （秒）的函数关系式（请直接写出自变量 t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过 M 点作BD 的垂线，交射线DC 于点P ,Q 为线段BC 的中点．是否存在
这样的t 值，使△PAQ 是以AQ 为直角边的直角三角形，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．
图
1 图
2 图3
20.如图，在平面直角坐标系中，直线434+=
x y ，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，点B 在x 轴正半轴上，连接CD 、BC ，则tan ∠CBO=2
1. （1）求直线BC 的解析式；
（2）若点P 、Q 从点B 同时出发，点P 以每秒2个单位长度的速度，沿线段BD 向终点D 运动，点
Q 以每秒5个单位长度的速度，沿线段BC 运动，当点Q 到达点C 时停止运动，点P 继续运动，设P 点运动时间为t 秒，求△OPQ 的面积S(S ≠0）关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过Q 做AB 的平行线，交AC 于点M ，N 为OB 中点，是否存在这样的t 值，
使△MNQ 为直角三角形，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.
图
1 图
2 图3
21.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=-2x+10与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，
将△AOB 沿直线AB 翻折，得到△ADB，使点.落在点D 处.动点P 从点出B 发,以每秒1个单位的速度沿折线B —D —A 运动，当点P 到达点A 时运动停止,设点P 的运动时间为t 秒．
(1)求AD 所在直线的解析式；
(2)连接0P 、OD ，设△POD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，t 为何值时，OP 与AB 相交所夹的锐角的正切值等于38.
21.（2008哈中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝5x 2
1 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△ABO 绕原点O 顺时针旋转得到△A ´B ´O ，并使OA ´⊥AB ，垂足为D ，直线AB 与线段A ´B ´相交于点G ．动点E 从原点O 出发，以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，设动点E 运动的时间为t 秒．
（1）求点D 的坐标；
（2）连接DE ，当DE 与线段OB ´相交，交点为F ，且四边形DFB ´G 是平行四边形时，（如图2）求
此时线段DE 所在的直线的解析式；
（3）若以动点为E 圆心，以52为半径作⊙E ，连接A ´E ，t 为何值时。

Tan ∠EA ´B ´＝8
1？并判断
此时直线A ´O 与⊙E 的位置关系，请说明理由。

22.梯形ABCD, AD∥BC，AB=CD，建立如图所示的坐标系，AB所在直线的解析式是y=2x+ 4．将△ADC
沿直线AC翻折，点D恰好落在y轴上的点E(0，2)处.
（1）求直线CD的解析式：
（2）动点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动.同时，动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，点P到达终点 C时，点 Q 也停止运动，求△PQE 的面积 s 与运动的时间 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
（3）在(2)的运动过程中，直线PQ与直线AB交于点R，当∠ARP的正切值与∠ACD的正切值相等时，求点R的坐标。

23.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，等腰△OAB的底边OA在x轴正半轴上，点A的坐标为(6，O)，∠OAB=∠AOB=30o，点E从O出发，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动，连接BE，设点E运动的时问为t秒.
(1)求点B的坐标
(2)设△ABE的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)当点E在线段上时，以点E为顶点在BE的右侧作∠BEF=30．射线EF与AB边交于点F，足否存在t的值．使△BEF为等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。