江苏省无锡市华庄职业高级中学高二数学理模拟试题含解析

江苏省无锡市华庄职业高级中学高二数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线y2= 2x的准线方程是( )
A．y= B．y=C．x=D．x=
参考答案：
D
略
2. 已知集合M=x是等腰三角形，N=x是直角三角形，则M N=（）
A、x是等腰直角三角形
B、x是等腰三角形或直角三角形
C、 D、M
参考答案：
A
略
3. 设椭圆上一点P到其上焦点的距离为3，到下焦点的距离为1，则椭圆准线方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 已知集合,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）
A．2 B．3 C．4 D ．8
参考答案：
A
6. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）
A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ D．y＝
参考答案：
D
略
7. 现有高一年级的学生名，高二年级的学生名，高三年级的学生名，从中任选人参加某项活动，则不同选法种数为（）
A. 12
B. 60
C. 5
D. 5
参考答案：
A
8. 已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=4交于不同的两点A, B, O是坐标原点，,则实数
的取值范围是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
9. 若，则等于（）
A. －2
B. －4
C. 2
D. 0
参考答案：
B
10. 若函数的最小值为，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：D
【分析】
由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得恒成立，可解得a的范围．【详解】当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）的最小值为f(2)=1，
当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，
即恒成立，
∴，∴a≥0，
故选：D．
【点睛】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 观察下列等式：
①;
②;
③;
④;
⑤.
可以推测，m – n + p =_______________
参考答案：
962
略
12. 不等式对任意及任意恒成立，则实数a取值范围
是．
参考答案：
考点：基本不等式及灵活运用．
【易错点晴】本题考查的是基本不等式的灵活运用等知识和方法的综合运用.解答时先依据题设条件将不等式进行等价转化,即求函数
最小值问题,然后再运用基本不等式求得,即求出其最小值为,从而求得.解答本题是要对所个不等式进行巧妙变形,这是解答本题的难点,因此要引起足够的重视.
13. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为．
参考答案：
y2=4x
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=﹣2，即可求抛物线的标准方程．
【解答】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
由已知得准线方程为x=﹣1，
∴=1，∴p=2，
故所求的抛物线方程为y2=4x．
故答案为：y2=4x．
14.
与圆
上任一点连线的中点轨迹方程为
；
参考答案：
15.
设双曲线
的右焦点为
，右准线与两条渐近线交于P 、
两点，如果
△
是直角三角形，则双曲线的离心率________．
参考答案：
略
16. （原创）
_____________.
参考答案：
17. 直线l 过点A （3，2）与圆x 2+y 2﹣4x+3=0相切，则直线l 的方程为 ．
参考答案：
x=3或3x ﹣4y ﹣1=0 【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可． 【解答】解：圆的标准方程为（x ﹣2）2+y 2=1，
则圆心坐标为（2，0），半径R=1
若直线斜率k 不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．
若直线斜率k 存在，则直线方程为y ﹣2=k （x ﹣3），
即kx ﹣y+2﹣3k=0，
圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x ﹣4y ﹣1=0，
综上切线方程为x=3或3x ﹣4y ﹣1=0，
故答案为：x=3或3x ﹣4y ﹣1=0．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关
键．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知不等式
的解集是
，求不等式
的解集
参考答案：
试题分析：由一元二次方程根与对应一元二次不等式解集关系得：
是方程
的
两个实数根，由韦达定理得
，解得，最后解一元二次不等式
得解集为
试题解析：解：不等式的解集是，
，是方程的两个实数根
所以可得
不等式
为
,所以解集为
考点：一元二次不等式 KS5U 【思路点睛】
1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．[KS5UKS5U]
2．f(x)>0的解集即为函数y ＝f(x)的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思
想．
3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．
19. （满分10分）已知：复数，，且+，求复数z
参考答案：
解：由已知得： = 5-i，=-3-i …………3分
∴+=（5-i）+（-3-i）=2-2i …………………5分
∴z==（）=……………………10分
略
20. （本小题14分）过曲线上一点作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．
(1) 求及数列的通项公式；
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：。

参考答案：
(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.
∴直线的方程为.令，得，……2分∴，∴.∴.
∴直线的方程为.令，得. ……4分一般地，直线的方程为，
由于点在直线上，∴.
∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴. ……6分
（2）解：
. ……8分
.
……10分
（3）证明：，.
要证明，只要证明，即只要证明.
……11分
证法1：（数学归纳法）
2当时，显然成立；
3假设时，成立，
则当时，，
而.
∴.∴.
这说明，时，不等式也成立.
由①②知不等式对一切N都成
立. ……14分
证法2:
.
∴不等式对一切N都成
立. ……14分
证法3:令,则,
当时, ,
∴函数在上单调递增.∴当时, .
∵N,∴, 即.
∴.∴不等式对一切N都成立
21. 已知复数z1=1+ai（其中a＞0），且z12为纯虚数．
（Ⅰ）求复数z1；
（Ⅱ）若z2=，求复数z2的模|z2|．
参考答案：考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：（Ⅰ）利用复数的乘方以及复数的基本概念，虚部不为0实部为0，即可求复数z1；
（Ⅱ）化简z2=为a+bi的形式，即可直接求解复数z2的模|z2|．
解答：满分．
解：（Ⅰ），
∵为纯虚数∴1﹣a2=0，…．
又∵a＞0
∴a=1，
∴z1=1+i．…
（Ⅱ），…
∴．…
点评：本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识．考查概念识记、运算化简能力．
22. （本题满分13分）在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段为垂足。

（1）求线段中点M的轨迹C的方程；
（2）过点Q(－2，0)作直线ｌ与曲线C交于A、B两点，设N是过点(，0)，且以为方向向量的直线上一动点，满足(O为坐标原点)，问是否存在这样的直线ｌ，使得四边形OANB为矩形?若存在，求出直线ｌ的方程；若不存在，说明理由。

参考答案：。