北京市东城区普通校2013届高三12月联考-数学理-Word版含答案

北京市东城区普通校2013届高三12月联考-数学理-Word版含答案北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 若集合{}0A x x =≥，且A B B=I ，则集合B 可能是A ．{}1,2B．{}1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R2． 复数11i +在复平面上对应的点的坐标是 A ．），（11 B．），（11-C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C．,,m n m nαα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的体积是 A ．34 B ．8C ．4D ．38 正视图 侧视图 5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为 A ．3-B ．2C ．4D ．56．已知数列}{na 为等比数列，274=+a a，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A ．7B．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞Y8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．430x y ±=第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 ．10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 ．11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠的小大为 ．12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ．13． 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 ． （写出所有正确命题的编号）． ①1ab ≤； 2a b ≤； ③222a b +≥；④333ab +≥； ⑤112a b+≥ 14． 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =- （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．16．（本小题满分13分）PDBACE已知：函数()sin()(0,||)2f x M x M πωϕϕ=+><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别是c b a 、、，若(2)cos cos ,()2A a c B b C f -=求 的 取 值 范 围．17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ； （Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值． 18．（本小题满分13分）已知：数列{}na 的前n 项和为nS ，且满足na Sn n-=2，)(*N n ∈．（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}na 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}nb 的前n 项和为nT ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}nb 的前n 项和nT ．19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中R a ∈．（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>6短轴的一个端点与两个焦 52． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB⋅u u u r u u u r为定值．参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一、选择题1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D7． B 8． D 二、填空题9．43- 10． 21 11． ο120 12．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C 所以sinC=10． ………………………… 4分（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得 cosC=64………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得 b 2－6b-12=0…………………… 12分解得b=26 ……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ= 所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以AC B B A sin )sin(cos sin 2=+= (8)分 因为sin ≠A 所以21cos =B3π=BOECABDP32π=+C A ………………9分)6sin()2(π+=A A f320π<<A6566πππ<+<A ……………………11分 1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分ΘO 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO//PB．PDBACE……………………2分ΘEO⊂平面AEC ，PB⊄平面AEC ， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C ．（Ⅱ）证明：PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CDPA ⊥．……………………4分又Θ在正方形ABCD 中ADCD ⊥且AAD PA =⋂， ……………………5分∴CD⊥平面PAzyxECA B DPD ．……………………6分 又Θ⊂CD 平面PCD ， ∴平面⊥PCD 平面PAD． ……………………7分（Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系．………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0, 0, 0）,B （2, 0, 0）,C （2, 2, 0）,D （0, 2, 0）, P （0, 0, 2）,E （0, 1,1） ． ……………9分ΘPA ⊥平面ABCD ，∴是平面ABCD 的法向量，=（0, 0, 2）．设平面AEC 的法向量为),,(z y x =,)0,2,2(1),,1,0(==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AC n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=．………………11分∴31322,cos =⨯=>=<n AP , …………………12分 二面角DAC E --的正弦值为36 …………………13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）na S n n-=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分（Ⅱ）na Sn n-=2所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分又因为211=+a所以数列{}1+na 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分所以nn a 21=+，即通项公式12-=n n a（*N n ∈） ……………7分（Ⅲ）nnna b=，所以nn n bn n n-⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T n n-⋅++-⋅+-⋅+-⋅=Λ)321()2232221(321n n T n n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=ΛΛ ……9分令nnn S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅=Λ ①13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S Λ ②①－②得 132122222+⋅-++++=-n n nn S Λ1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n Tn n……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+． 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =． 经检验，13a =时，符合题意．……4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1x f x x '=+． 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． …………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x=，或211xa=-．当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：x1(1,)x -1x 12(,)x x2x 2(,)x +∞()f x ' -0 +0 +()f x↘1()f x↗2()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a-；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞． 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-． 当1a >时，210x-<<，()f x 与()f x '的情况如下：x2(1,)x -2x 21(,)x x1x 1(,)x +∞()f x ' -0 +0 +()f x↘2()f x↗1()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a-；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞．③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-．综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a-，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a-；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞．……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意．当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意． 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意．所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞． …………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222ab c =+，6c a =，…………2分 15222b c ⨯⨯=。