禄劝彝族苗族自治县一中八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方

4．如下图 , 在等腰三角形ABC中 , CH是底边上的高线 , P是线段CH上不 与端点重合的任意一点 , 连结AP并延长交BC于点E , 连结BP并延长交AC于 点F.
求证 : (1)∠CAE＝∠CBF ; (2)AE＝BF. 证明 : (1)∵△ABC是等腰三角形 , CH是底边上的高线 , ∴AC＝BC , ∠ACP＝∠BCP , 又∵CP＝CP , ∴△ACP≌△BCP , ∴∠CAP＝∠CBP , 即 ∠CAE＝∠CBF (2)在△ACE和△BCF中 , ∵∠ACE＝∠BCF , AC＝BC , ∠CAE＝∠CBF , ∴△ACE≌△BCF , ∴AE ＝BF
第十四章 整式的乘法与因 式分解
14.2 乘法公式 完全平方公式
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解并掌握添括号法那么.〔重点〕 2.熟练应用添括号法那么进行计算.(难点〕
新课导入
思 考 已经学过的去括号的法那么是什么 ？
拓展与延伸
当x2-xy=18 , xy-y2=-15时 , 求x2-2xy+y2的值.
解 : x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2). 因为x2-xy=18 , xy-y2=-15 , 所以原式=18-(-15)
=18+15 =33.
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相 信成功的信念比成功本身更重要，相信人生 有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不 妥协的信念，考试加油!奥利给~
类型之二 证明线段或角相等 3．如下图 , 在△ABC中 , AB＝AC , 点D , E在边BC上 , 且BD＝CE.求 证 : AD＝AE. 证明 : 如下图 , 过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC , ∴BF＝CF(三线合一). 又∵BD＝CE , ∴DF＝EF.又∵AF⊥BC , ∴∠AFD＝∠AFE＝90°.又∵AF＝ AF , ∴△AFD≌△AFE , ∴AD＝AE
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠DEC＝90°
类型之七 证明线段的和差关系 11．如下图 , 在△ABC中 , AD⊥BC于点D , 且∠ABC＝2∠C.求证 : CD＝ AB＋BD.
证明 : 在DC上取点E , 使BD＝DE , 连结AE , ABC＝2∠C , ∴∠AEB＝2∠C , ∵∠AEB ＝∠CAE＋∠C , ∴∠CAE＝∠C , ∴CE＝AE＝AB , ∴CD＝CE＋DE＝AB ＋BD
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉， 相信成功的信念比成功本身更重要，相信 人生有挫折没有失败，相信生命的质量来
自决不妥协的信念，考试加油!奥利给~
4
一元一次不等式（组）
类型之三 证明两线垂直 5．如下图 , 在Rt△ACB中 , ∠ACB＝90° , D是AB上一点 , 且BD＝BC , DE⊥AB交AC于点E. 求证 : CD⊥BE. 证明 : ∵DE⊥AB , ∴∠BCE＝∠BDE＝90° , 在Rt△BCE和Rt△BDE中 , ∵BE＝BE , BC＝BD , ∴Rt△BCE≌Rt△BDE , ∴∠CBE＝∠DBE.又∵BD＝BC , ∴CD⊥BE(三线合一)
4.3 一元一次不等式的解法
第1课时 一元一次不等式的解法
新课导入
已知一台升降机的最大载重量是 1200kg , 在一名重75kg的工人乘坐的 情况下 , 它最多能装载多少件25kg重 的货物 ？
工人重+货物重≤最大载重量
含有一个未知数，
新课讲解
知识点1 添括号法那么
法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不 变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
a+b+c=a+(b+c)
a-b-c=a- (b+c)
新课讲解
知识点1 添括号法那么 添括号的例如 : 括号前面是正号
x-y+z=x+(-y+z)
括号里面的 各项不变号
类型之五 证明线段的倍半关系 9．如下图 , 在等腰直角三角形ABC中 , AB＝AC , ∠BAC＝90° , BF平 分∠ABC , CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证 : BF＝2CD.
证明 如下图 , 延长线段BA , CD交于点E.∵BF平分∠ABC , CD⊥BD , ∴BC ＝BE , DE＝DC.又∵∠BAC＝∠BDC＝90°, ∠AFB＝∠DFC , ∴∠ABF＝ ∠DCF , 又∵AB＝AC , ∠BAF＝∠CAE , ∴△ABF≌△ACE , ∴BF＝CE , ∴BF＝2CD
类型之四 证明角的倍半关系 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 交 AC 于点 D.求证：∠
DBC＝12 ∠BAC. 证明：作∠BAC 的平分线 AE，分别交 BD，BC 于 F，E 两点．在△ABC
中，∵AB＝AC，由等腰三角形“三线合一”的性质可知 AE⊥BC，∴∠AEB ＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，而∠BFE＝∠AFD，∴∠DBC＝∠CAE，
6．如下图 , AB＝AE , ∠B＝∠E , BC＝ED , CF＝DF.求证 : AF⊥CD. 证明 : 如下图 , 连结AC , AD.在△ABC和△AED中 , ∵AB＝AE , ∠B＝∠E , BC＝ED , ∴△ABC≌△AED , ∴AC＝AD.又∵CF＝DF , ∴AF是等腰三角形 ACD底边CD的中线 , ∴AF也是CD边上的高 , 即AF⊥CD
D．(a－b－c)(a＋b－c)＝【a－(b－c)]【a＋(b－c)]
分析 :
因为2a－3b＋c－1
6
＝－(－2a＋3b－c＋
1 6
) , 所以A选项准确
因为x2－2x－y＋2x3＝－(2x＋y) －(－x2－2x3) , 所以B选项错误 ;
因为(a－b)(b －c)(c－a)＝【－(－a＋b)]【－(－b＋c)]【－(－c＋a)] , 所以C选项错
新课讲解
练一练
1 在括号内填上适当的项 :
(1) a-2b+c+d=a2-b-c-d
(
);
c+d
(解2)析 a: -(12)b所+添c+括d号=a前-面是〞-”号 , 括到括号里的各项都改变符号 ,
2故ba+-2(b+c+d=a-()2b. -c-d) ;
(2)所添括号前面是〞+”号 , 括到括号里的各项都不改变符号 , 故a-2b+c+d=a-2b+(c+d) .
新课讲解
练一练 2 运用乘法公式计算 : (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2 .
解 : (1) (x+2y-3)(x2y+3)
=【x+(2y-3)] 【x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2 =x2-(4y212y+9)
解:
(2) (a+b+c)2 =(a+b+c)(a+b+c) =【(a+b)+c]2
2．如下图 , 在△ABC中 , AB＝AC , ∠A＝36°, BD平分∠ABC , DE⊥AB于 点E.假设CD＝4 , 且△BDC的周长为24 , 求AE的长．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝12 ×(180°－∠A)＝72 °.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝12 ∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠A＋∠ABD＝72°.∴AD＝BD，∠C＝∠BDC，∴BC＝BD.∴△BCD 周长 ＝BD＋CD＋BC＝2BD＋4＝24，∴BD＝10，∴AD＝10，AC＝AD＋CD＝14. 又∵DE⊥AB，∴AE＝12 AB＝12 AC＝7
类型之六 证明一个角是直角 10．如下图 , 在△ABC中 , ∠ACB＝2∠B , BC＝2AC.求证 : ∠A＝90°.
证明：作 CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E， 则∠ACD＝∠BCD＝12 ∠ACB，∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝12 ∠ACB＝∠BCD，即 DB＝DC.又∵DE⊥BC， ∴DE 是 BC 边上的中线，即 E 是 BC 的中点，∴BC＝2EC，又∵BC＝2AC， ∴AC＝ EC，又∵CD＝CD，
括号前面是负号 x-y+z=x-(y-z)
括号里面的 各项都变号
新课讲解
知识点1 添括号法那么
重 要 (1)在使用添括号法那么时 , 要明确括到括号里的是哪些项 , 括号 前面的符号是正号还是负号 ; (2)添括号与去括号是互逆的 , 符号的变化是一致的 , 在学习添括 号法那么时 , 可与去括号法那么相比较 , 注意不要只改变括号内 部分项的符号 ; (3)添括号比去括号容易出错 , 特别是当括号前添〞-”号时 , 添括 号后是否准确 , 可利用去括号法那么检验.
(1)a+(b+c)=a+b+c ; (2)a- (b+c)= a-b-c ;
去括号法那么 : 去括号时 , 如果括号前 面是正号 , 直接去掉正号和括号 , 括号 里的各项都不变号 ; 如果括号前面是负号 ,
直接去掉负号和括号 , 括号里的各项都变
号.
那么反过来是不是就可以得到添括号的法那么 ？
(3)a+b+c=a+(b+c) ; (4)a-b-c=a- (b+c) .
误;
因为(a－b－c)(a＋b－c) ＝【a－(b＋c)]【a＋(b－c)] , 所以D选项错误．
当堂小练
运用乘法公式计算 :
(1)〔x ＋ 2y－3)(x － 2y ＋ 3);
(2) (a ＋ b ＋
c)2.
(1) (x
＋
2y－3)(x
－
2y
＋
3)
= 【x + (2y－3)]【x －(2y－
3)]
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
新课讲解
练一练 3 在等号右边的括号里面填上适当的项 , 并用去括号法那么检
验.
b-c
(1) a+b-c=a+b( -c
);
(2) a-b+c=a--(b+c
);
(3) a+b-c=a-(-b-c
);
(添4括) 号a+时b，+如c=果a括-(号前面是正)号. ，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
课堂小结
乘 法 公 式
添括号法那么 添括号法那么在计算中的应用
当堂小练
下面添括号准确的选项A是哪一项：( )
1
1
A．2a－3b＋c－ 6 ＝－〔－2a＋3b－c＋ 6 〕
B．x2－2x－y＋2x3＝－(2x－y)－(－x2－2x3)
C．(a－b)(b－c)(c－a)＝【－(a－b)]【－(b－c)] 【－(c－a)]
=x2 － (2y － 3) 2
= x2 －(4y 2 － 12y ＋ 9)
= x2 － 4y 2 ＋ 12y － 9;
(2) (a ＋ b ＋ c)2 = 【(a ＋ b ) ＋ c] 2 = (a ＋ b ) 2 ＋ 2(a ＋ b )c ＋ c2 =a2 ＋ 2a b ＋ b 2 ＋ 2ac ＋ 2 b c ＋ c2 = a2 ＋ b 2 ＋ c2 ＋ 2a b ＋ 2ac ＋ 2 b c .
∴∠DBC＝12 ∠BAC
8．如下图 , 在△ABC中 , AD⊥BC交BC于点D , EF⊥BC交BC于点F , 交AB 于点G , 交CA的延长线于点E , 且AE＝AG.求证 : AD平分∠BAC.
证明 : ∵AD⊥BC , EF⊥BC , ∴∠ADC＝∠EFC＝90° , ∴AD∥EF , ∴∠AGE＝∠DAB , ∠E＝∠DAC.又∵AE＝AG , ∴∠E＝∠AGE , ∴∠DAB＝∠DAC , 即AD平分∠BAC
第十三章 全等三角形
专题练习四 利用〞三线合一”解题
类型之一 计算线段的长度或角的度数 1．如下图 , 房屋顶角∠BAC＝100° , 过屋顶A的立柱AD⊥BC于点D , 屋 檐AB＝AC.求顶架上的∠B , ∠C , ∠BAD , ∠CAD的度数． 解 : ∵AB＝AC , ∠BAC＝100° , ∴∠B＝∠C＝(180°－100°)÷2＝ 40°.又∵AD⊥BC , 由三线合一 , 得∠BAD＝∠CAD＝50°