专题07 数列(练)-2021年高考数学二轮复习讲练测【教师版】(新高考版)

专题07 数 列
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数6】记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若,24,124635=-=-a a a a 则
=n
n
a S （ ） A ．12-n
B ．n
--12
2 C ．1
2
2--n D ．12
1--n
【答案】B
【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可．
【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153
1111221
24a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪
⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， ∴1
1
11(1)122,21112
n n n n n
n n a q a a q
S q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-，故选B ．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．
2．【2020年高考北京卷8】在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T }
（ ）
A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项 【答案】A
【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．
3．【2020年高考江苏卷11】设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知{}n n a b +的前
n 项和2*21()n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是________．
【答案】3
【解析】∵{}n n a b +的前n 项和2*
21()n n S n n n N =-+-∈，
当1n =时，111a b +=；
当2n ≥时，1
1222n n n n n a b S S n --+=-=-+，∴224a b +=，从而有2211()()3d q a b a b +=+-+=．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前n 项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法．
4．【2020年高考山东卷14】将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 ． 【答案】232n n -
【思路导引】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．
【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)
16322
n n n n n -⋅+
⋅=-，故答案为：232n n -． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及等差数列的前n 项和公式，考查数列公共项的求法，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式． 5．【2020年高考浙江卷11】已知数列{}n a 满足()1=2
n a n n +，则3S = ．
【答案】10
【思路导引】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【解析】由题意可知11212a ⨯=
=，22332a ⨯==，334
62
a ⨯==，313610S ∴=++=，故答案为：10． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，考查数学运算学科素养．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数17】设等比数列{}n a 满足12314,8a a a a +=-=． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n S 为数列{}3log n a 的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =．
【思路导引】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果．
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有112
1148
a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得11
3a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ． （2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)
22
n
n n n n S +--=
=，
根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)
222
m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．
1．（2021·江苏南通期中考试）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．与均为的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则
，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；
而C 选项，，即，可得，又由且，则，必有
，显然C 选项是错误的．∵，，∴与均为的最大值，故D 正确；
故选BD ．
【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题．
2．（2021·福建泉州质检）设d 为正项等差数列的公差，若，，则（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】ABC
{}n a n S n 56S S <678S S S =>0d >70a =95S S >6S 7S n S {}n a d {}n a 67S S =7670S S a -==56S S <6560S S a -=>760d a a =-<95S S >67890a a a a +++>()7820a a +>70a =0d <80a <780a a +<56S S <678S S S =>6S 7S n S n {}n a 0d >32a =244a a ⋅<2
2415
4
a a +≥
15
111a a +>1524a a a a ⋅>⋅
【解析】由题知，只需，
，A 正确；
，B 正确； ，C 正确； ，所以，D 错误．
【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定的范围，由通项公式写出各项（用表示）后，可判断．
3．（2021·平潭县新世纪学校高三月考）记单调递增的等比数列的前项和为，若，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】BC
【解析】由得，则．设等比数列的公比为，由，得
，即，解得或．又因为数列单调递增，所以，所以
，解得．所以，，
所以，故选BC 。

【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前项和，属于中档题．
4．等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－1
8a 1<0．
法一：S n ＝na 1＋
n
n －12
d ＝na 1＋n
n －12·⎝⎛⎭⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n)＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋289
64
a 1， 因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．
法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0，即错误!解得错误!
1220
010
a d d d =->⎧⇒<<⎨
>⎩()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<()()2
222415
223644
a a d d d d +=-++=-+>≥
21511111122221a a d d d
+=+=>-+-()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<1524a a a a ⋅<⋅d d {}n a n n S 2410a a +=23464a a a =1
12n n n S S ++-=12n n
a 21n
n S =-1
21n n S -=-23464a a a =33
34a =34a ={}n a ()0q q ≠2410a a +=4
410q q
+=22520q q -+=2q 1
2
q =
{}n a 2q 112810a a +=11a =1
2
n n
a ()1122112
n n n
S ⨯-==--()1
12
1212n n n n n S S ++-=---=n
即8≤n≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．
法三：由于S n ＝na 1
＋
n
n －12d ＝d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ， 设f(x)＝d
2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f(x)的图象为开口向下的抛物线， 由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝17
2(如图所示)，
由图可知，当1≤n≤8时，S n 单调递增；当n≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当
n ＝8或n ＝9时，S n 最大．
1．（2021·河津中学高三月考）已知数列，它的前n 项和，则的值为（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【答案】
A
【解析】，故选A ．
2．（2021·南昌县莲塘第一中学高三月考）已知数列的前项和为，，且满足
，若，，，则的最小值为（ ） A ． B ．
C ．
D ．0
【答案】A
【分析】转化条件为
，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解．
【解析】因为，所以，又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以
，所以，
令，解得，所以，其余各项均大于0， 所以．故选A ．
{}n a ()2
1n S n =+6a 665493613a S S =-=-={}n a n n S 15a =122527
n n a a n n +-=--p *
q ∈N p q >p q S S -6-2-1-122527
n n a a
n n +-=--()()2327n a n n =--0n a ≤122527n n a a n n +-=--122527n n a a n n +-=--1127a =--27n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
1-()1212327
n
a n n n =-+-=--()()2327n a n n =--()()23270n a n n =--≤37
22
n ≤≤230,0a a <<()
()()3123min
13316p q
S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-
【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足的项，即可得解． 3．（2021·河南郑州一模）已知数列满足，设，为数列
的前n 项和．若对任意恒成立，则实数t 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．
【答案】C
【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t 的最小值． 【解析】时，，因为，
所以时，，两式相减得到，故时不适
合此式，所以， 当时，，当时，，所以；所以t 的最小值，故选C ． 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．
4．（2021·湖南常德一中高三月考）设是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意，均有
，则称是间隔递增数列，k 是的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B ．已知，则是间隔递增数列
C ．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2
0n a ≤{}n a 123232n n a a a na +++
+=1
(1)2n
n n a b n -=
+n S {}n b t n S <n *∈N 32
52
{}n a n S 1n =12a =123232n n a a a na ++++=2n ≥1
123123(1)2n n a a a n a --+++
+-=1
2
n n na -=1
2,n n a n
-=1n =1
1,1
1,2(1)2(1)
n n n n a b n n n n -=⎧⎪
==⎨≥+⎪+⎩
1n =111S b ==2n ≥11111131312334122
1n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-<
⎪
++⎝⎭32t ≥
3
2
{}n a n +∈N n k n a a +>{}n a {}n a 4
n a n n
=+
{}n a ()21n
n a n =+-{}n a
D ．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】BCD 【解析】
A ． ，因为，所以当时，，故错误；
B ． ，令，t 在单调递增，则，解得，故正确；
C ． ，当为奇数时，
，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间
隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D ． 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则，成立，
则，对于成立，且，对于成立
即，对于成立，且，对于成立 所以，且
解得，故正确．故选BCD 。

【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
5．（2021·江苏南通期中考试）将数列{a n }中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列． a 1 a 2，a 3 a 4，a 5，a 6，a 7
a 8，a 9，a 10，a 11，a 12，a 13，a 14，a 15 ……
记数阵中的第1列 构成的数列为，为数列的前n 项和，，则________， ________．
2
2020n a n tn =-+{}n a 45t ≤<()
1111
111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--1q >10a <n k n a a +<()()244441++n k
n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛
⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
24t n kn =+-n *∈N ()1140t k =+->3k >()()
()()()
()
21212111n k
n n
k
n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦
n ()2110k
k --+>1k
n ()2110k
k +-->2k ≥{}n a {}n a ()()()
2
2
2
2020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->n *∈N ()2
20k t k +->3k ≥()2
20k t k +-≤k 2≤()20k t +->3k ≥()20k t +-≤k 2≤23t -<22t -≥45t ≤<124,,,
a a a {}n
b n T {}n b 2
53n T n n =+n b =
1025a =
【答案】 216
【解析】由题意，数列的前项的和为，
当时，，
当时，，适合上式，所以， 又由数阵中的第1列 构成的数列为，可得，
因为从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列，所以，故答案为：，． 6．（2021·吉林长春一模）已知是数列的前项和，满足，则_____；数列的前项和_______． 【答案】
【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系，由，求得，然后由，再利用裂项相消法求解．
【解析】因为，当时，， 又适合上式，所以， 所以
，
故的前项和． 【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
7．（2021·天津滨海新区·高三期末）设是等比数列，公比大于0，是等差数列，．已知
，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
102n -{}n b n 2
53n T n n =+2n ≥22
1(53)[5(1)3(1)]102n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=-1n =118b T ==102n b n =-124,,,
a a a {}n
b 102411108b a ==102510142216a a ==102n -216n S {}n a n 213
22
n S n n =
+n a =1
1
{
}n n a a +n n T =1n +1122
n -+213
22
n S n n =
+n a 111
(1)(2)12
n n n n =-++++213
22
n S n n =
+2n ≥11n n n a S S n -=-=+12a =1n a n =+111
(1)(2)12
n n n n =-++++11
{
}n n a a +n 11111 (2331241112)
2-+-++=-=-+++n T n n n {}n a {}n b (
)*
n N
∈11a =322a a =+435a b b =+5462a b b =+{}n a {}n b
（Ⅰ）设数列满足，，其中 （i ）求数列的通项公式；
（ii ）若的前n 项和，求．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅰ）（i ）；（ii ）
． 【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，进而根据已知条件计算得，
，故，；
（Ⅰ）根据题意得，，进而得，再根据裂项求和得，
，故． 【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q ．由，， 可得．因为，可得，故
设等差数列的公差为d ，由，可得． 由，可得，从而，，故． 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（Ⅰ）（i ），． {}n c 121c c ==1
1,33,3
k k n k
k n c a n +⎧<<=⎨=⎩k *∈N (){}
331n n b c -()()()*12n na n N n n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬++⎪⎪⎩
⎭n T ()3*
31n n i i i T b c n N =+∈∑12n n
a n
b n =1363n n -⨯-1331
86492332102n
n n n n
n i i i T b c n +=+-⨯+=++
+∑{}n a q {}n b d 2q
1d =12n n a n b n =1
11,332,3
k k n k k
n c n +-⎧<<=⎨=⎩()
()33311n n n n b c b a -=-1363n n -=⨯-()()()()11222121221n n n n na n n n n n n n --⨯==-++++++3321322
n n T n =-+()()()33331
1
1
1
11n n n n
i i
i
i
i
i
i
i
i i i i b c b c b b c b =====-+=-+∑∑∑∑()
3331
1
1i
i
n
n
i
i i b c
b ===-+∑∑()()()()3111
31631313336316132n
n n n n
n
i i
i i i -==⨯-⨯-+⨯=⨯-+=-+
--∑∑1269323102n n n ++-⨯=+1331
86492332102n
n n n n
n i i i T b c n +=+-⨯+=++
+∑{}n a 11a =322a a =+2
20q q --=0q >2q
12n n
a {}n
b 43s a b b =+134b d +=5462a b b =+131316b d +=11b =1d =n b n ={}n a 12n n
a {}n
b n b n =1
11,332,3
k k n k k
n c n +-⎧<<=⎨=⎩()()33311n n n n b c b a -=-()
11321363n n n n
--=-=⨯-
（ii ），
， ，
． （注：写成
亦可．） ． 【点睛】本题第二问题解题的关键在于根据题意得
，考查运算求解能力，是中档题． ()()()()
11
222121221n n n n na n n n n n n n --⨯==-++++++331
3214284223243543231
n n n T n n -=-+-+-+
+-
++3321322
n n T n =-+()()()33331
1
1
1
11n n n n
i i
i
i
i
i
i
i
i i i i b c b c b b c b =====-+=-+∑∑∑∑()
3331
1
1i
i
n
n
i i i b c
b ===-+∑∑()()()()3111
31631313336316132n
n n n n
n
i i i i i -==⨯-⨯-+⨯=⨯-+=-+--∑∑()()()1236133113369323522102
n n n n n n n
+⨯-⨯-+⨯+-⨯=-+=+
3333311
1
1
n n
n
i i
n n
i i
i
i i i i b c b b b c
=====-+∑∑∑∑()()()12133313316693232
1316102
n
n
n n n n n
++⨯⨯-⨯-+-⨯=
-+=+
--1331
86492332102n
n n n n
n i i i T b c n +=+-⨯+=++
+∑()()()33331
1
1
1
11n n n n
i i
i
i
i
i
i
i
i i i i b c b c b b c b
=====-+=-+∑∑∑∑()
3331
1
1i i n
n
i i i b c b ===-+∑∑()
31
1
1
36
3n
n
i i
i i i -===⨯-+∑∑1269323102n n n
++-⨯=+。