人教版高中数学必修四第26课时平面向量的应用举例含解析

第26课时 平面向量的应用举例
课时目标
1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具．
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．
识记强化
1．向量方法解决几何问题的“三步曲”．
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的方法解决．
课时作业 一、选择题
1．已知点A (－2，－3)，B (2,1)，C (0,1)，则下列结论正确的是( )
A ．A ，
B ，
C 三点共线
B.AB →⊥BC →
C ．A ，B ，C 是等腰三角形的顶点
D ．A ，B ，C 是钝角三角形的顶点
答案：D
解析：∵BC →＝(－2,0)，AC →＝(2,4)，∴BC →·AC →＝－4<0，∴∠C 是钝角．
2．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )
A ．(－1，－2)
B ．(1，－2)
C ．(－1,2)
D ．(1,2)
答案：D
解析：由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．
3．在四边形ABCD 中，若AB →＝－CD →，AB →·BC →＝0，则四边形为( )
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形
答案：D
解析：由AB →＝－CD →知四边形ABCD 是平行四边形，又AB →·BC →＝0，∴AB →⊥BC →，∴此四
边形为菱形．
4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A ．10 m/s
B ．226 m/s
C ．4 6 m/s
D ．12 m/s
答案：B
解析：设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．
5．人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )
A ．v 1－v 2
B ．v 2－v 1
C ．v 1＋v 2
D ．|v 1|－|v 2|
答案：C
解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v 1＋v 2，故选C.
6．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：
①OA →＋OB →＋OC →＝0；
②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭
⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；
③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.
则点O 依次为△ABC 的( )
A ．内心、重心、垂心
B ．重心、内心、垂心
C ．重心、内心、外心
D ．外心、垂心、重心
答案：C
解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中
线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；
②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|
分别表示在AC 和AB 上取单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭
⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由
OB →·⎝ ⎛⎭
⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；
③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．
二、填空题
7．已知两个粒子A 、B 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的投影为________．
答案：245
解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为cos θ＝12＋1`25×5
＝2425. ∴v a 在v b 上的投影为|v a |cos θ＝5×2425＝245
. 8．已知点A (0,0)，B (3，0)，C (0,1)．设AD ⊥BC 于D ，那么有CD →＝λCB →，其中λ＝________.
答案：14
解析：如图|AB →|＝3，|AC →|＝1，|CB →|＝2，由于AD ⊥BC ，且CD →＝λCB →，所以C 、D 、B
三点共线，所以|CD →||CB →|
＝14，即λ＝14.
9．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD
的面积是________．
答案：30
解析：BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，∵AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形
ABCD 为矩形，|AB →|＝20，|BC →|＝45，∴S ＝|AB →|·|BC →|＝30.
三、解答题
10.
如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13
BD ，求证：M ，N ，C 三点共线．
证明：依题意，得BM →＝12BA →，BN →＝13
BD →＝ 13
(BA →＋BC →)． ∵MN →＝BN →－BM →，∴MN →＝13BC →－16
BA →. ∵MC →＝BC →－BM →＝BC →－12
BA →， ∴MC →＝3MN →，即MC →∥MN →.
又MC →，MN →有公共点M ，∴M ，N ，C 三点共线．
11．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i, j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：
(1)F 1，F 2分别对该质点做的功；
(2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．
解：AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .
(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →
＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28；
F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →
＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.
(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，
所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →
＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.
能力提升
12．如图，作用于同一点O 的三个力F 1→、F 2→、F 3→处于平衡状态，已知|F 1→|＝1，|F 2→|＝2，
F 1→与F 2→的夹角为2π3，则F 3→的大小________．
答案： 3
解析：∵F 1→、F 2→、F 3→三个力处于平衡状态，
∴F 1→＋F 2→＋F 3→＝0即F 3→＝－(F 1→＋F 2→)，
∴|F 3→|＝|F 1→＋F 2→|＝ (F 1→＋F 2→)2
＝ F 21→＋2F 1→·F 2→＋F 22→
＝1＋2×1×2×cos 2π3
＋4＝ 3. 13．已知A (2,1)、B (3,2)、D (－1,4)．
(1)求证：AB →⊥AD →；
(2)若四边形ABCD 为矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，
∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．
又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB →⊥AD →.
(2)∵四边形ABCD 为矩形，且AB ⊥AD ，
∴AD →＝BC →.
设C (x ，y )，则(－3,3)＝(x －3，y －2)，
⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝x －33＝y －2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5. ∴点C (0,5)．
又∵AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，
∴AC →·BD →＝(－2)×(－4)＋4×2＝16.
而|AC →|＝(－2)2＋42＝2 5，|BD →|＝(－4)2＋22＝2 5，
设AC →与BD →的夹角为θ，则
cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝162 5×2 5
＝45 ∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为45.
附赠材料
答题六注意：规范答题不丢分
提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:
第一,考前做好准备工作。

做题前要做好准备工作,包括认真检查答题卡页数和条形码上的姓名、考号与本人的姓名、准考证上的号是否相符等。

此外还要准确填写答题卡的相关信息,正确粘贴条形码,注意不能超出框外。

第二,使用规定的笔作答。

答选择题时,考生必须用2B 型铅笔在答题卡上的“选择题答题区”内将对应题目的选项字母点涂黑
第三,答题不要超出规定范围。

考生必须在答题卡各题目规定的答题区域内作答(包括画表及作辅助线)。

在各题目指定答题区域外的地方,或超越试卷上标出的边界作答,或
者自己编题号,其答案都是无效的。

第四,若题中有图,答题前应规划好“布局”,合理安排空间。

例如几何题,图形多在左边。

这种情况下建议大家从图下方开始写起,书写规范字迹清晰,避免“箭头”“地图”等出现。

第五,答题卡千万别折叠。

考生答题时,要注意保持答题卡的清洁,不能折叠、弄皱和损坏答题卡,以免影响计算机扫描。

第六,书写要整洁。

有的学生的答案“布局”很乱,还用箭头标注下一句话的位置,加上字迹潦草、卷面不整洁等情况,阅卷老师很难辨认,甚至对考生的学习态度、学习习惯和知识基础产生怀疑,由此分数也将大受影响来确定一个足够小的范围,要是四个选项中有一个答案是满足该范围的,那么正确答案也就有了。

第五,草图法。

在解答选择题的过程中,可先根椐题意画
出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质和图形的特征等,得出结论。

在答选择题时,你可以采取先易后难的答题顺序。

先从前往后把你认为有把握的题先做完,然后再做那些不确定的题;对自己把握不大的题可采用排他法,尽可能排除你认为不正确的答案。

这样在剩余的答案中进行选择,正确率就会。