陕西省安康市汉滨区九年级数学上学期期末考试试题(含

陕西省安康市汉滨区2016届九年级数学上学期期末考试试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程x2+2x=0的根是（）
A．x=0 B．x=﹣2 C．x=0或x=﹣2 D．x=0或x=2
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C． D．
3．口袋内装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率为0.2，摸出白球的概率为0.5，那么摸出黑球的概率为（）
A．0.2 B．0.7 C．0.5 D．0.3
4．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（）
A．4 B．8 C．6 D．10
5．将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3
6．已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
7．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=300
8．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
9．圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的面积是（（）
A．10π B．12π C．15π D．20π
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下
列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A．①② B．②③ C．①②④D．②③④
二、填空题（本题共2小题，每小题3分，共12分）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m取值范围是．12．己知拋物线y=x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是．
选做（请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的笫一題计分）
13．在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有个．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），则拋物线的对称轴是．
15．如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为．
三、解答题（本题共11小题，共78分）
16．解方程：x2﹣2x﹣8=0．
17．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥CO，垂足为H，交⊙O于A，B两点，AB=16cm，直线l平移多少厘米时能与⊙O相切？
18．如图．在大圆中有一个小圆O．用尺规作图确定大圆的圆心；并作直线1，使其将两圆的面积平均二等分．
19．如图，二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．（1）确定二次函数的解析式；
（2）设直线AB解析式为y2，根据图形，确定当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
20．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，垂足为F，求∠BAC的度数．
21．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
23．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，4），与直线y=﹣x+1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP丄x轴，垂足为点P，交直线AB于点N，设点M的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值．
26．如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
2015-2016学年陕西省安康市汉滨区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程x2+2x=0的根是（）
A．x=0 B．x=﹣2 C．x=0或x=﹣2 D．x=0或x=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x（x+2）=0，
可得x=0或x+2=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故选C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．口袋内装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率为0.2，摸出白球的概率为0.5，那么摸出黑球的概率为（）
A．0.2 B．0.7 C．0.5 D．0.3
【考点】概率公式．
【分析】让1减去摸出红球和白球的概率即为所求的概率．
【解答】解：根据概率公式摸出黑球的概率是1﹣0.2﹣0.5=0.3．
故选D．
【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：各个部分的概率之和为1．
4．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（）
A．4 B．8 C．6 D．10
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE=BE=AB，
∵OC=5，CE=2，
∴OE=3，
在Rt△AOE中，AE===4，
∴AB=2AE=8，
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3．故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对
应点是A1，则点A1的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答．
【解答】解：如图，根据旋转的性质可知，
OB1=OB=1，A1B1=AB=2，
可知点A1的坐标是（﹣2，1），
故选A．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣旋转，熟悉旋转的性质是解题的关键．
7．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=300 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．
【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，
300（1+x）2=363．
故选B．
【点评】本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程．
8．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
【解答】解：根据题意，得=0，
解得c=16．
故选D．
【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
9．圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的面积是（（）
A．10π B．12π C．15π D．20π
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积是π×5×3=15πcm2，
故选C．
【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关圆锥的计算公式，难度不大．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下
列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A．①② B．②③ C．①②④D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）
和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④错误．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点．
二、填空题（本题共2小题，每小题3分，共12分）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m取值范围是m＞1 ．【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
12．己知拋物线y=x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是﹣4≤y≤5．
【考点】二次函数的性质．
【分析】先根据a=1判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形式可知对称轴x=1，最小值y=﹣4，再根据﹣2≤x≤0可知当x=﹣2时y最大，把x=﹣2代入即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3中a=1＞0，
∴抛物线开口向上，有最小值，
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，y最小=﹣4，
∵﹣2≤x≤0，
∴当x=﹣2时，y最大=4+4﹣3=5．
∴﹣4≤y≤5．
故答案为：﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最小值，再根据x的取值范围进行解答．
选做（请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的笫一題计分）
13．在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有9 个．
【考点】概率公式．
【分析】设红球有x个，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：设红球有x个，
∵白球有3个，
∴口袋中有（x+3）个球，
∵从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，
∴=0.75，解得x=9（个）．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），则拋物线的对称轴是直线x=1 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则拋物线的
对称轴是直线x=，根据以上知识点求出即可．
【解答】解；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴拋物线的对称轴是直线x==1．
故答案为：直线x=1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点的应用，能理解知识点（已知抛物线y=ax2+bx+c
（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则拋物线的对称轴是直线x=）是解此题的关键．
15．如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为2π．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据旋转的性质得S半圆AB=S半圆A′B，∠ABA′=45°，由于S阴影部分+S半圆AB=S半圆A′B，+S 扇形ABA′，则S阴影部分=S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，
∴S半圆AB=S半圆A′B，∠ABA′=45°，
∴S阴影部分+S半圆AB=S半圆A′B，+S扇形ABA′，
∴S阴影部分=S扇形ABA′==2π．
故答案为2π．
【点评】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S
扇形=πR 2或S
扇形=lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；
和差法；割补法．
三、解答题（本题共11小题，共78分）
16．解方程：x2﹣2x﹣8=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）=0，
解得x+2=0，x﹣4=0，
x1=﹣2，x2=4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥CO，垂足为H，交⊙O于A，B两点，AB=16cm，直线l平移多少厘米时能与⊙O相切？
【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质．
【分析】连接OA，延长CO交⊙O于D，由垂径定理得OC平分AB．AH=8，由勾股定理可得OH=6，求得CH=4cm，DH=16cm．
【解答】解法1：如图，连接OA，延长CO交⊙O于D，
∵l⊥OC，
∴OC平分AB，
∴AH=8，
在Rt△A HO中，，
∴CH=4cm，DH=16cm．
答：直线AB向左移4cm，或向右平移16cm时与圆相切．
解法2：设直线AB平移xcm时能与圆相切，（10﹣x）2+82=102
x1=16，x2=4，
∴CH=4cm，DH=16cm．
答：略．（只答一个方向的平移扣2分）
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．
18．如图．在大圆中有一个小圆O．用尺规作图确定大圆的圆心；并作直线1，使其将两圆的面积平均二等分．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】首先作出大圆的两条弦，进而做其垂直平线得出到交点即为大圆的圆心，进而连接两圆的圆心得出直线l．
【解答】解：如图所示：直线l即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，根据题意得出大圆的圆心位置是解题关键．
19．如图，二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．（1）确定二次函数的解析式；
（2）设直线AB解析式为y2，根据图形，确定当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】（1）将点A（0，﹣1），代入抛物线解析式，即可求出a值，进而确定二次函数解析式．
（2）确定y1＞y2时，自变量x的取值范围即为抛物线图象在一次函数图形上方时对应的x 的取值范围，观察图形即可得出．
【解答】解：（1）∵二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），
∴﹣1=a（x﹣2）2，
解得：a=﹣，
∴二次函数的解析式为：y1=﹣（x﹣2）2．
（2）∵二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B（2，0）两点，直线AB 解析式为y2，
∴y1＞y2时，自变量x的取值范围为0＜x＜2．
【点评】题目考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组，解决此类问题的关键是画出函数图象，利用数形结合法求出答案，题目设计巧妙，对学生能力考查较高，适合课后训练．
20．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，垂足为F，求∠BAC的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据旋转的性质知，旋转角∠CAE=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF 中易求∠B=25°，所以利用△A BC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．
【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F，则∠AFB=90°，
∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣70°=85°，
即∠BAC的度数为85°．
【点评】本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数．
21．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设AB的长度为x，则BC的长度为米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为米．
根据题意得 x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【专题】证明题．
【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．
23．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；
（2）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案．
【解答】解：（1）方法一
画树状图得：
方法二
列表得：
甲乙丙丁
/ 甲、乙甲、丙甲、丁
甲
乙乙、甲/乙、丙乙、丁
丙丙、甲丙、乙/丙、丁
丁丁、甲丁、乙丁、丙/
∴所有等可能性的结果有12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为： =；
（2）∵一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，
∴恰好选中乙同学的概率为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC﹣DC=6．
【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，4），与直线y=﹣x+1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP丄x轴，垂足为点P，交直线AB于点N，设点M的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）首先求得A和B的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）当x=m是，M和N的纵坐标即可利用m表示出来，然后根据二次函数的性质求得MN的最大值．
【解答】解：（1）在y=﹣x+1中，令x=0，解得y=1，则A的坐标是（0，1）．
在y=﹣x+1中，令x=﹣3，则y=3+1=4，则B的坐标是（﹣3，4）．
根据题意得：，
解得：．
则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣4x+1；
（2）当x=m是，M的纵坐标是﹣m2﹣4m+1，N的纵坐标是﹣m+1，
则MN=（﹣m2﹣4m+1）﹣（﹣m+1）=﹣m2﹣3m=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+．
则当m=﹣时，MN有最大值是．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，求函数最值问题常用的方法是转化为函数的性质问题．
26．如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA；
（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，
∴S阴影=×π×22=π．
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。