河南省焦作市普通高中2019-2020学年上高三年级第一次模拟考试文科数学试题含详解

焦作市普通高中2019—2020学年（上）高三年级第一次模拟考试
文科数学
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}|04M x x =≤≤，{}|3,N x y x y M ==-∈，则M N =I （ ） A. []0,3
B. []0,4
C. []1,4-
D. []1,3-
2. 若复数z 满足(
)2
11i i z
+=-，则z =（ ）
A. 1i -
B. 1i +
C. 1i --
D. 1i -+
3. 人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：
某小学生的身高为1.5m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是（ ） A. 47kg
B. 51kg
C. 66kg
D. 70kg
4. 若x ，y 满足约束条件1
133x y x y x y +≥⎧⎪
-
≥-⎨⎪+≤⎩
，则43z x y =+的最小值为（ ）
A. 9
B. 6.5
C. 4
D. 3
5. 若21cos 52πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则sin 10πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A. 2
-
B. 12
-
C.
12
D.
2
6. 某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型2lg y x =进行拟合.在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该（ ） A. 使x 增加1个单位
B. 使x 增加2个单位
C. 使x 增加到原来的2倍
D. 使x 增加到原来的10倍
7. 已知()()
2a b a b a b +⋅-=⋅r r r r r r ，且2a b =r r ，则向量a r 与b r
的夹角为（ ）
A. 120︒
B. 90︒
C. 60︒
D. 45︒
8. 某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，
AK CK +的最小值为（ ）
A.
B.
C. D.
9. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ） ①()70f =；
②()f x 的一个周期为8；
③()f x 图像的一个对称中心为()3,0； ④()f x 图像的一条对称轴为2019x =. A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 将函数()sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像上所有的点按照向量()(),00m a a =≠u r 平移得到函数()g x 的图像，若
335
5
f g π
π⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a 的最小值为（ ） A.
415π B.
1330
π
C.
1315
π
D.
1715
π
11. 已知函数()1
2
12log ,182,12x x x x f x ⎧
+≤<⎪⎨⎪≤≤⎩
=，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A. 30,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B. 70,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C. 90,8
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D. 150,
8⎛⎤
⎥⎝⎦
12. 如图所示，直线l 与双曲线E ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若
4OA OB ⋅=-u u u r u u u r
，且AOB ∆
的面积为E 的离心率为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列{}n a 是等差数列，且93a =，则48122a a a ++=______. 14. 曲线()
2
2x
y x e =+在点()0,2处的切线方程为______.
15. 已知圆C ：()()22
24x a y -+-=，直线l ：10x ay +-=与圆C 交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a =______.
16. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos C a B b A =+
且b =，则B =______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17. 某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：个，n N ∈）.按[)550,650，[)650,750，[)750,850，[)850,950，[)950,1050分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中:::4:3:2:1a b c d =
.
（Ⅰ）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）；
（Ⅱ）若包子店想保证至少80%的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？ 18. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +=+. （Ⅰ）证明：数列{}1n S +是等比数列；
（Ⅱ）若关于n 的不等式22log n n S k a +<的解集中有6个正整数，求实数k 的取值范围.
19. 如图，已知四棱锥S ABCD -，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SAD ∆是等边三角形，120BAD ∠=︒，2AB =.
（Ⅰ）证明：SC BC ⊥；
（Ⅱ）设点E 在棱SD 上，且SE SD λ=，若点E 到平面SBC 的距离为
3
λ的值.
20. 设椭圆C ：()2
2211x y a a
+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，已知2AF =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）抛物线()2
20y px p =>与直线2x =交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），
若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值.
21. 已知函数()ln x
f x e a x =+，其中0a <.
（Ⅰ）若a e =-，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 的最小值为m ，求m 的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为82
x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C
的参数方程为
23x s y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩（s 为参数）.
（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标. 23. [选修4-5：不等式选讲]
已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明： （Ⅰ）()()()21212127a b c +++≥；
（Ⅱ）
()
()
()
2
2
2
11134
a b c b a c c a b +
+
≤
+++.
焦作市普通高中2019—2020学年（上）高三年级第一次模拟考试
文科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1-5：ADCDB 6-10：DCBCC
11-12：BB
1.【答案】A
【解析】本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】依题意得034x ≤-≤，解得13x -≤≤，即{}|13N x x =-≤≤，所以{}|03M N x x =≤≤I . 2.【答案】D
【命题意图】本题考查复数的基本运算.
【解析】()()
2
121112
i i i z i i
++=
=
=-+-. 3.【答案】C
【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.
【解析】由题意得，体重＝BMI ×身高2，因为此人属于超标，所以[]24,29.9BMI ∈，所以此学生的体重
范围为22
24 1.5,29.9 1.5⎡⎤⨯⨯⎣⎦，即[]54,67.275，故正确答案为C.
4.【答案】D
【命题意图】本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想.
【解析】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3.
5.【答案】B
【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换求值，考查推理论证能力以及数形结合思想. 【解析】2sin sin 1052πππαα⎛
⎫
⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭21cos 52πα⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
. 6.【答案】D
【命题意图】本题考查回归模型的概念.
【解析】2lg y x =，则()22lg 22lg 12lg10y x x x +=+=+=，所以应该使x 增加到原来的10倍. 7.【答案】C
【命题意图】本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想.
【解析】由()()
2a b a b a b +⋅-=⋅r r r r r r ，得2222cos ,0a b a b a b --⋅=r r r r r r
.因为2a b =r r ，所以
1
cos ,2
a b =r r ，所以向量a r 与b r 的夹角为60︒.
8.【答案】B
【命题意图】本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力.
【解析】将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，
如图②所示.因为8AJ =，3CJ =，所以AC =AK CK +
9.【答案】C
【命题意图】本题考查函数的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.
【解析】依题意知，1x =是()f x 的对称轴，()1,0-是()f x 的对称中心，所以()f x 是周期函数，且8为函数()f x 的一个周期，故②正确；()()710f f =-=，故①正确；因为每隔半个周期出现一个对称中心，所以()3,0是函数()f x 的对称中心，故③正确；201982523x ==⨯+，所以2019x =不是函数()f x 的图像的对称轴，故④错误.故正确答案为C. 10.【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的图像和性质，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】令3
2
x k π
π
π+=+
得()f x 图像的对称轴为()6
x k k Z π
π=+
∈，其中距离35
x π
=
最近的对称轴为6
x π
=
.点33,55P f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭关于直线6x π
=对称的点为43',155
P f
ππ
⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.要使a 最小，则341351515
a πππ
=
+=
. 11.【答案】B
【命题意图】本题考查函数的性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】函数()f x 的图象如下图所示.设()()f a f b k ==，则(]2,4k ∈.由12
2log a k +=，2b
k =，得
2
12k a -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，2log b k =，所以2
21log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
.设函数()2
21log 2x x x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，(]2,4x ∈，因为
()g x 在(]2,4上单调递增，所以()()()24g g x g <≤，即()704g x <≤，所以70,4b a ⎛⎤
-∈ ⎥⎝⎦
.
12.【答案】B
【命题意图】本题考查双曲线的基本性质及三角运算.
【解析】设02AOx πθθ⎛
⎫
∠=<<
⎪⎝
⎭
，由题意可得cos24OA OB θ=-，
1
sin 22
OA OB θ=
sin 2tan 2cos 2θθθ=
=-
，由22tan 1tan θθ=--
tan θ=tan b
a
θ=，所
以c e a ====. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 12 14. 220x y -+= 15. 1或17- 16. 4
π
（或45︒） 13.【答案】12
【命题意图】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想. 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以48126129222412a a a a a a ++=+==. 14.【答案】220x y -+=
【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归转化思想.
【解析】由()()
2
2x
y f x x e ==+，得()()()
2
2
22'22x
x
x
xe x e x x e f x +=++=+.所以()'02f =.所以
曲线()
2
2x
y x e =+在点()0,2处的切线方程为()220y x -=-，即220x y -+=.
15.【答案】1或1
7
-
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.
【解析】由题意得(),2C a ，圆C 的半径为2，因为ABC ∆为等腰直角三角形，所以圆心C 到直线l
的距离
d =
=1a =或1
7
a =-.
16.【答案】
4
π
（或45︒） 【命题意图】本题考在解三角形.
【解析】由正弦定理可得2sincos sin cos sin cos C A B B A =+()sin sin A B C =+=，所以1cos 2
C =，因为C 是三角形内角，所以3
C π
=.又由
sin sin b c B C =
得sin sin 2
b C B
c ==，因为2233B A ππ=-<，所以4
B π
=
.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或滴算步骤. 17.【命题意图】本题考查频率分布直方图以及用样本估计总体的思想. 【解析】（Ⅰ）由图可知，各分组的频率分别为16，14，13，16，1
12
. 所以包子日需求量平均数的估计值为
11111
6007008009001000775643612⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（Ⅱ）设包子店每天至少做m 个包子.
因为()11130.86438540P n =
++=<<，()11
9500.812
P n <=>，所以[)850,950m ∈. 由频率分布直方图可知1600c =，令
8503
0.86004
m -+=，解得880m =. 所以每天至少要做880个包子.
18.【命题意图】本题考查数列的递推公式及数列的函数性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】（Ⅰ）由121n n S S +=+，得()1121n n S S ++=+，
即
11
21
n n S S ++=+， 所以数列{}1n S +是首项为112a +=，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{}1n S +的通项公式为12n n S +=，所以21n
n S =-. 当2n ≥时，11
1222n n n n n n a S S ---=-=-=，
11a =也符合该式，所以12n n a -=.
由22log n n S k a +<，得()211n
k n -<+，
结合函数21x
y =-，()1y k x =+的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，
则()()6
721612171k k ⎧-<+⎪⎨-≥+⎪⎩，解得91278k k >⎧⎪⎨≤⎪⎩
.
所以实数k 的取值范围为1279,
8⎛⎤
⎥⎝⎦
. 19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形结合思想.
【解析】（Ⅰ）取AD 的中点H ，连接CH ，SH . ∵SA SD =，∴SH AD ⊥.
连接AC .∵四边形ABCD 是菱形，且120BAD ∠=︒， ∴AC CD =，∴CH AD ⊥.
∵SH CH H =I ，∴AD ⊥平面SCH ，∴AD SC ⊥. 又在菱形ABCD 中，//BC AD ，
∴SC BC ⊥.
（Ⅱ）连接BD .
∵2AB =，120BAD ∠=︒
，∴1
sin 2
BCD S BC CD BCD ∆=
⨯⨯⨯∠=. 由（Ⅰ）知SH AD ⊥，∵平面SAD ⊥平面ABCD ，∴SH ⊥平面ABCD . ∴1
13
S BCD BCD V S SH -∆=
⨯⨯=. 由（Ⅰ）知SC BC ⊥
，∴1
2
SBC S BC SC ∆=⨯⨯=， 设D 到平面SBC 的距离为h ，由1
3
S BCD D SBC SBC V V S h --∆==⨯⨯，
解得h =
.
根据相似知2
3λ==.
20.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、圆锥曲线与直线相交的问题. 【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，则2AF a c =+=又因为2
2
1a c -=
，所以22
2a c a c a c
--==+解得2a =
，c =所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）将2x =代入2
2y px =
得y =±
(P
，(2,Q -，
由（Ⅰ）可知()2,0A -，从而直线AP
的方程为)2y x =
+
.
联立方程组)22214
y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得21104p x px p +++-=. 设(),B B B x y ，因为点B 异于点A ，由根与系数的关系得()4121B p x p
--=+， 所以221B p x p -=+
，
)2B B y x =+=所以
4,1p BQ p ⎛= +⎝⎭u u u r
，(AP =u u u r . 因为BQ AP ⊥，所以()4216011p p p AP BQ p p
+⋅=-=++u u u r u u u r ， 解得2p =.
21.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）若a e =-，则()ln x
f x e e x =-，定义域为()0,+∞. ()'x x
e xe e
f x e x x -=-=. 令()x
g x xe e =-，则()g x 在()0,+∞上单调递增，且()10g =， ∴在()0,1上，()0g x <，即()'0f x <；
在()1,+∞上，()0g x >，即()'0f x >.
∴()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.
（Ⅱ）()'x xe a f x x
+=，0x >. 令()x
h x xe a =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增. ∵()00h a =<，()()10a a h a ae a a e ---=-+=->，
∴存在()00,x ∈+∞，使得()00h x =，即000x x e a +=.
在()00,x 上，()0h x <，即()'0f x <；在()0,x +∞上，()0h x >，即()'0f x >.
∴()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
∴()0000000ln ln x x x
m f x e a x e x e x ==+=-()0001ln x e x x =-， 令()()1ln x x e x x ϕ=-，则()()'1ln x x e x x ϕ=-+.
∵0x >，∴10x +>，又()'10ϕ=，
∴在()0,1上，()'0x ϕ>，在()1,+∞上，()'0x ϕ<.
∴()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.
∴()x ϕ的最大值为()1e ϕ=，
∴m 的最大值为e .
22.【命题意图】本题考查参数方程与普通方程的互化及应用.
【解析】（Ⅰ）直线l 的普通方程为80x +=.
在曲线C 的参数方程中，22124y s x ==，所以曲线C 的普通方程为24y x =.
（Ⅱ）设点()
23,P s . 点P 到直线l 的距离()2236831522s s s d -+-+=
=. 当1s =时，min 52d =，所以点P 到直线l 的距离的最小值为52.
此时点P 的坐标为(.
23.【命题意图】本题考查不等式的证明、均值不等式的应用.
【解析】（Ⅰ）∵211a a a +=++≥21b +≥21c +≥
∴()()()21212127a b c +++≥=.
（Ⅱ）∵()22224a b a ab b ab +=++≥，∴()214
ab
a b ≤+. 同理有()
214ac a c ≤+，()214bc b c ≤+. ∴()()()2221
11
a b c b a c c a b +++++()()()222abc abc abc a b c b a c c a b =+++++
()()()222bc ac ab b c a c a b =
+++++ 11134444≤++=.。