北师大九年级数学上册《两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》课件
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第2课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两边_成__比__例___且夹角__相__等____的两个三角形相似．
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．(3 分)在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°， 当 AC＝3，AB＝5，DE＝10，EF＝8 时，Rt△ABC 和 Rt △DEF 是__相__似____的．(填“相似”或者“不相似”) 2．(3 分)如图，在△ABC 与△ADE 中，BACB＝EADE，要使△ ABC 与△ADE 相似，还需要添加一个条件，这个条件是 ___∠__B_＝__∠__E____．B．6.4C．5
D．1.8
12．(2014·贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的
顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的
格点为( C )
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
13．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发沿AB运动到B点，动点E从C点出 发沿CA运动到A点，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动 的速度为2 cm/s .如果两点同时运动，那么当以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( A )
证明：∵BP＝3PC，Q 是 CD 的中点， ∴DCQP ＝ACQD＝12， 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.
17．(12分)如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三 角形． (1)当AC，CD，BD满足什么数量关系时， △ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
证明：∵CE＝9，BC＝6， ∴EB＝9－6＝3. ∵AD＝15，在 Rt△ABC 中，AB＝ 62＋82＝10， ∴BD＝15－10＝5， ∴BBCE＝36＝12，BBDA＝150＝12，又∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC∽△DBE.
10．(8分)如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD ＝1，DC＝3，求证：△DBA∽△ABC.
C.A′ABB′＝B′BCC′，且∠B＝∠B′ D.A′ABB′＝A′ACC′，且∠B＝∠C
6．(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若 OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 7．(3分)已知△ABC如图所示，则下列四个三角形中与 △ABC相似的是( C )
18．(13分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°， AB＝7，AD＝2，BC＝3，在线段AB上是否存在点P，使得 以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形 相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？ 并计算出AP的长．
解：设 AP＝x，则 BP＝7－x，若△PAD∽△PBC，
A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s
二、填空题(每小题5分，共10分) 14．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳( 两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件内孔直径AB，若 OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝ ___2_.5____ mm.
则
PA PB
＝
AD BC
，
即
x 7－x
＝
2 3
，
得
x
＝
14 5
；
若
△PAD∽△CBP，则CPAB＝ABDP ，即x3＝7－2 x，x2－7x
＋6＝0，解得 x1＝1，x2＝6，综上可知，满足条件
的点 P 有 3 个，AP＝1，6 或154.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
3．(3分)如图，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝6，当BD＝ __2___6___时，△ABD∽△DBC. 4．(3分)如图，△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AB， AC上的点，且AD·AB＝AC·AE，那么∠ADE的度数是 __90_°_____．
5．(3 分)下面条件不能判断△ABC 和△A′B′C′相似 的是( D ) A.A′BCC′＝B′ACC′，且∠C＝∠C′ B.AACB＝AA′′CB′′，且∠A＝∠A′
解：(1)当 CD2＝AC·BD 时，△ACP∽△PDB， 证明：由 CD2＝AC·BD，得CADC＝BCDD，即APDC＝BPCD， 又∠ACP＝∠PDB＝120°，∴△ACP∽△PDB；
(2)由(1)得∠A＝∠BPD， ∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠BPD＝∠APC＋∠A＋∠CPD＝ ∠PCD＋∠CPD＝60°＋60°＝120°.
第7题图
第6题图
8．(3分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添 加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是( D )
A．∠BAC＝∠ADC C．AC2＝AD·BC
B．∠B＝∠ACD D.DACC＝BACB
9．(8分)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E 分别为AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE. 若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
证明：∵BC＝4， ∴ABCB＝24＝12.而BADB＝12， ∴ABCB＝BADB. 又∵∠B＝∠B， ∴△DBA∽△ABC.
一、选择题(每小题5分，共15分)
11．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点
，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( D )
A．8.2
15．在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，给出下 列条件：①∠ABD＝∠C；②AB2＝AD·AC；③AB·BC＝ AC·BD.其中能够单独判定△ABD∽△ACB的是 __①__②____．(填序号)
三、解答题(共35分) 16．(10分)如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且 BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.
两边_成__比__例___且夹角__相__等____的两个三角形相似．
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．(3 分)在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°， 当 AC＝3，AB＝5，DE＝10，EF＝8 时，Rt△ABC 和 Rt △DEF 是__相__似____的．(填“相似”或者“不相似”) 2．(3 分)如图，在△ABC 与△ADE 中，BACB＝EADE，要使△ ABC 与△ADE 相似，还需要添加一个条件，这个条件是 ___∠__B_＝__∠__E____．B．6.4C．5
D．1.8
12．(2014·贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的
顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的
格点为( C )
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
13．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发沿AB运动到B点，动点E从C点出 发沿CA运动到A点，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动 的速度为2 cm/s .如果两点同时运动，那么当以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( A )
证明：∵BP＝3PC，Q 是 CD 的中点， ∴DCQP ＝ACQD＝12， 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.
17．(12分)如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三 角形． (1)当AC，CD，BD满足什么数量关系时， △ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
证明：∵CE＝9，BC＝6， ∴EB＝9－6＝3. ∵AD＝15，在 Rt△ABC 中，AB＝ 62＋82＝10， ∴BD＝15－10＝5， ∴BBCE＝36＝12，BBDA＝150＝12，又∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC∽△DBE.
10．(8分)如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD ＝1，DC＝3，求证：△DBA∽△ABC.
C.A′ABB′＝B′BCC′，且∠B＝∠B′ D.A′ABB′＝A′ACC′，且∠B＝∠C
6．(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若 OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 7．(3分)已知△ABC如图所示，则下列四个三角形中与 △ABC相似的是( C )
18．(13分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°， AB＝7，AD＝2，BC＝3，在线段AB上是否存在点P，使得 以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形 相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？ 并计算出AP的长．
解：设 AP＝x，则 BP＝7－x，若△PAD∽△PBC，
A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s
二、填空题(每小题5分，共10分) 14．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳( 两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件内孔直径AB，若 OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝ ___2_.5____ mm.
则
PA PB
＝
AD BC
，
即
x 7－x
＝
2 3
，
得
x
＝
14 5
；
若
△PAD∽△CBP，则CPAB＝ABDP ，即x3＝7－2 x，x2－7x
＋6＝0，解得 x1＝1，x2＝6，综上可知，满足条件
的点 P 有 3 个，AP＝1，6 或154.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
3．(3分)如图，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝6，当BD＝ __2___6___时，△ABD∽△DBC. 4．(3分)如图，△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AB， AC上的点，且AD·AB＝AC·AE，那么∠ADE的度数是 __90_°_____．
5．(3 分)下面条件不能判断△ABC 和△A′B′C′相似 的是( D ) A.A′BCC′＝B′ACC′，且∠C＝∠C′ B.AACB＝AA′′CB′′，且∠A＝∠A′
解：(1)当 CD2＝AC·BD 时，△ACP∽△PDB， 证明：由 CD2＝AC·BD，得CADC＝BCDD，即APDC＝BPCD， 又∠ACP＝∠PDB＝120°，∴△ACP∽△PDB；
(2)由(1)得∠A＝∠BPD， ∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠BPD＝∠APC＋∠A＋∠CPD＝ ∠PCD＋∠CPD＝60°＋60°＝120°.
第7题图
第6题图
8．(3分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添 加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是( D )
A．∠BAC＝∠ADC C．AC2＝AD·BC
B．∠B＝∠ACD D.DACC＝BACB
9．(8分)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E 分别为AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE. 若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
证明：∵BC＝4， ∴ABCB＝24＝12.而BADB＝12， ∴ABCB＝BADB. 又∵∠B＝∠B， ∴△DBA∽△ABC.
一、选择题(每小题5分，共15分)
11．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点
，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( D )
A．8.2
15．在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，给出下 列条件：①∠ABD＝∠C；②AB2＝AD·AC；③AB·BC＝ AC·BD.其中能够单独判定△ABD∽△ACB的是 __①__②____．(填序号)
三、解答题(共35分) 16．(10分)如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且 BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.