第一部分命题逻辑教学课件

（1）AB当且仅当 AB
（2）AB当且仅当 A→B
（3）若AB，则BA （4）若AB，BC，则AC
等价对称性 等价传递性
（5）若AB，则┐B┐A
蕴涵逆否性
（6）若AB，BC，则AC
蕴涵传递性
（7）若AB，AA‘，BB’，则A‘B’ 蕴涵等价
代换
（8）若AB，CB，则A∨CB
（9）若AB，AC，则AB∧C
⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。 自然语言的语句用Wff 形式化的例子见P-10页。
1-4 真值表与等价公式
定义1-4.1（真值表） 在命题公式Wff中， 对于公式 中分量一切可能的指派组合,公式A的取值可能用下表来 描述，这个表称为真指表（truth table） 。
真值表的例子见P-13页表1-4.1 、表1-4.2 、表1-4.3和 P-14页表1-4.4、表1-4.5 、表1-4.6 。
等价证明方法3：见P-16的例题7“等价代换法”。
1-5 重言式与蕴涵式
定义1-5.1 对命题公式A，如果对A中命题变元的一
切指派均弄真A，则A称为重言式（tautology）， 又称永真式.
如果至少有一个指派弄真A，则A称为可满足式
（satisfactable formula or contingency）。
（or ）。 表 1-2.3 析取词“∨”的意
义p
q
p ∨q
F（0） F（0） F（0） 见真为真， F（0） T（1） T（1） 全假为假。
T（1） F（0） T（1）
T（1） T（1） T（1）
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
（4）条件词（implication)
定义1-2.4 给定两个命题P和Q，其条件命题是一个 复合命题，记作P → Q。当且仅当P的真值为T，Q的真值 为F时， P → Q 的真值为F，其他情况下， P → Q的真值 都是T。条件联结词 “→ ”表示自然语言中的 “如果…， 那么…” （if…then…）。
是一个新命题公式，记作P ∨ Q。当且仅当P、Q
真值不同时， P ∨ Q 为T，其他情况下的真值都
是F。
1-6.1 异或词“∨”的意义
p
F（0） F（0） T（1）
q
F（0） T（1） F（0）
p∨q
F（0）
T（1）
T（1）
相同为假， 相异为真。
T（1）
T（1）
F（0）
p ∨ q读作“p异或q”
异或联结词的性质：
E10 ┐(A∨B) ┐A∧┐B
德摩根律
E11 ┐(A∧B) ┐A∨┐B
德摩根律
E12 A∨(A∧B) A
吸收律
E13 A∧(A∨B) A
吸收律
E14 A→B┐A∨B
E15 A B (A→B)∧(B→A)
E16 A∨tt E17 A∧tA
1律
E18 A∨fA E19 A∧ff
0律
E20 A∨┐At
A B，它又称为逻辑等价式
（logically equivalent or equivalent）。
定义1-5.3 当命题公式A→B为重言式时，称A逻
辑蕴涵B，记为A B，它又称为逻辑蕴涵式
(logically implication)。
常用的逻辑蕴涵式见p-21页表1-5.2
定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式，PQ的
定义1-5.2如果对A中命题变元的一切指派均弄假A，
则称A为不可满足式或矛盾式（contradiction or absurdity）或永假式 。
定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取，仍然 是一个重言式。
证明思路：“讨论指派法”A为T，B为T， A与B析取 （或合取）仍为T，
定理1-5.2 一个重言式，对同一分量都用任何Wff 置换，其结果仍为一重言式。
常用的等价等值式
E1 ┐┐AA
双重否定律
E2 A∨AA
幂等律
E3 A∧AA
幂等律
E4 A∨BB∨A
交换律
E5 A∧BB∧A
交换律
E6 (A∨B)∨CA∨(B∨C)
结合律
E7 (A∧B)∧CA∧(B∧C)
结合律
E8 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) 分配律
E9 A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) 分配律
命题变元（proposition variable）
是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变 元，它未指出符号所表示的具体命题，可以代 表任意命题 。
指派 当命题变元用一个特定命题取代时，该命
题变元才能有确定的真值，从而成为一个命题。
称对命题变元进行指派
对任意给定的命题变元p1,…,pn的一种取值
第一章 命题逻辑
通常把不含有逻辑联结词的命题 称为原子命题或原子（atoms） （自然语言中的单句,P-2的(1)、(2)、(4)）
把由原子命题和逻辑联结词共同组成的
命题称为复合命题（compositive
propositions or compound statements） （自然语言中的复句， P-2的(9)、(10)）。
命题公式又称为合式公式Wff（Well
formed formula ） Wff的正例和反例见P-10页。
联结词的优先级 命题公式外层的括号可以省略； 联结词的优先级：┐、∧、∨、→、。 利用加括号的方法可以提高优先级。 范例：如下的Wff ：
P∧Q→R 等价于Wff ： （（P∧Q）→R ） 等价于Wff ： （P∧Q）→R 不等价于Wff ： P∧（Q→R）
为一矛盾式。
证明思路利用性质（6）。
（2）条件否定 定义1-6.2 设P和Q是两个命题公式， P和Q
的条件否定是一个新命题公式，记作P Q。当 且仅当P的真值为T，Q的真值为F时， P Q 为 T，其他情况下的真值都是F。
根据此定义，可知 P Q ┐（P → Q）
表1-6.2 异或词“ ”的意义
表1-2.4 条件词“ → ”的意义
p
q
p→q
F（0）
F（0）
T（1） 前真后假为假，
F（0）
T（1）
T（1） 其他为真。
T（1）
F（0）
F（0）
T（1）
T（1）
T（1）
p→q中的p称为条件前件，q称为条件后件
（5）双条件(two-way-implication) 定义1-2.5 给定两个命题P和Q，其复合命题P Q
定义1-4.2 （ 等价公式） 给定两个命题公式A和B，设 P1，P2， …， Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给 P1，P2， …， Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同， 则称A和B是等价的或逻辑相等。记作AB
等价证明方法1：可以用真值表验证两个Wff是否等价， 见P-13的例题5 “真值表法”。
自然语言的语句用Wff 形式化
主要是以下几个方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。
② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
◆代入原理（Rule of Substitution），简记为RS
设A为永真式，p为A中命题变元，A(B/p) 表 示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得 的命题公式（称为A的一个代入实例），那么 A(B/p)亦为永真式。
1-6 其它联结词
（1）不可兼析取（异或）
定义1-6.1 两个命题公式P和Q的不可兼析取
(1)否定（negation ）
定义1-2.1 设P为一命题，P的否定是一 个新命题，记作“┐P”。若P为T， ┐P为F； 若P为F， ┐P为T。联结词“ ┐ ”表示自然 语言中的“并非”（not ）。
表1-2.1 否定词“┐”的意义
p F（0） T（1）
┐p
T（1） F（0）
“见假为真，见真为假” ┐p读作“并非p”或“非p”。
充分必要条件是PQ且QP 。
证明思路： 本定理的结论是“PQ”
本定理的条件是“PQ且QP ”
如果能从条件“PQ且QP ”推出结论“PQ”，说 明条件是充分的；
如果能从结论“PQ”推出条件“PQ且QP ” ， 说明条件是必要的。
先证必要性：XXXXXX 再证充分性：XXXXXX
关于等价式和蕴涵式的性质：
相同为真， 相异为假。
T（1） T（1） T（1）
pq读作“p与q互为条件”，“p当且仅当q”。
1-3 命题公式与翻译
定义1-3.1 以下四条款规定了命题公式
（proposition la） 的意义：
（1）单个命题常元或命题变元是命题公式，也称 为原子公式或原子。
（2）如果A是命题公式，那么┐A也是命题公式。 （3）如果A，B是命题公式，那么（A∧B）， （A∨B），（A→B），（AB）也是命题公式。 （4）只有有限步引用条款（1）、（2）、（3） 所组成的符号串是命题公式。
（1） P∨QP∨Q
交换律
（2）（P∨Q）∨R P∨（Q∨R）
结合律
（3）P∧（Q∨R）（P∧Q）∨（P∧R）分配律
（4）（ P∨Q ）（P∧ ┐ Q）∨（ ┐P∧Q）
（5）（ P∨Q ） ┐（PQ）
（6）（ P∨P ）F，F∨P P，T ∨P ┐P
定理1-6.1 设P、Q和R为命题公式，如果 P∨QR，则P∨RQ ，Q∨RP， 且P∨Q∨R
称作双条件命题。当P和Q的真值相同时， P Q 的真值 为T，否则， P Q的真值都是F。双条件联结词 “ ”
表示自然语言中的“当且仅当”（if and only if）。
1-2.5 双向条件词“ ”的意义
p
q
p q
F（0） F（0） T（1）
F（0） T（1） F（0）
T（1） F（0） F（0）
状况，称为指派或赋值（assignments） ，
用字母，等表示
当A对取值状况 为真时，称指派弄真A或
是A的成真赋值，记为(A) = 1；
反之称指派弄假A或是A的成假赋值，记为
(A) = 0。
1-2 联结词
否定词“并非” 合取词“并且” 析取词“或” 条件词“如果……，那么……” 双条件词“当且仅当”
证明思路：“讨论指派法” 真值与分量的指派无关，
置换后与仍为T。 见P-20的例题1 定理1-5.3 设A、B是两个Wff，一个重言式，
AB当且仅当A B为一重言式。 关于“当且仅当”的证明思路：双向证明法，从
“AB”出发推出“A B为一重言式”；再从“A B为一重言式”出发推出“AB” 。
定义1-4.2‘ （ 等价公式的另一种定义）当命题 公式AB为重言式时，称A逻辑等价于B，记为
（2）合取（ conjunction ）
定义1-2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合 命题，记作P∧Q。当且仅当P、Q同时为T时， P∧Q 为T，其他情况下， P∧Q的真值都是F。
合取联结词 “∧”表示自然语言中的 “并且”
（and ）。
1-2.2 合取词“∧”的意义
p
q
p ∧q
F（0） F（0）
p
q
pq
F（0） F（0） T（1）
F（0） T（1） F（0）
F（0） F（0） T（1）
前真后假为真 其余为假。
T（1）
T（1）
F（0）
p q读作“p和q的条件否定”
（3）与非 定义1-6.3 设P和Q是两个命题公式， P和Q
命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： .用（带下标的）大写字母； 例如：P：今天下雨。 .用数字。 例如：[12]：今天下雨。 上例中的“P”和“[12]”称为命题标示
符。 命题常元（proposition constants）
我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，
r，s等与f，t统称为命题常元。
排中律
E21 A∧┐Af
矛盾律
E22 ┐tf, ┐ft
否定律
E23 A∧B→CA→(B→C)
E24 A→B ┐B→┐A
逆否律
E25 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
P-16 例题6 验证吸收率
定义1-4.3 如果X是Wff A的一部分，且X本 身也是一个Wff，则称X为公式A的子公式。
定理1-4.1 （替换原理Rule of Replacement ， 简记为RR）如果X是Wff A的子公式，若X Y， 如果将A中的X用Y来置换，所得到的新公式B与 公式A等价，即A B。 等价证明方法2：证明思路： “讨论指派法”
F（0） T（1）
F（0） 见假为假， F（0） 全真为真。
T（1）
F（0）
F（0）
T（1）
T（1）
T（1）
p∧q读作“p并且q”或“p且q”
（3）析取词（disjunction）
定义1-2.3 两个命题P和Q的析取是一个复合
命题，记作P ∨ Q。当且仅当P、Q同时为F时， P
∨ Q 为F，其他情况下， P ∨ Q的真值都是T。 析取联结词 “∨ ”表示自然语言中的 “ 或”