吉林省长春实验高中2021届高三数学第五次月考试题文

吉林省长春实验高中2021届高三数学第五次月考试题 文
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x|x 2≤1），B ＝{x|x≤0），则A ∪B ＝
A ．（－∞，1]
B ．[－1，＋∞）
C ．[－1，0]
D ．[0，1]
2．已知复数z 知足
12z i i
+=，则z ＝ A ．2－i
B ．2＋i
C ．－2－i
D ．－2＋i
3．若向量(1,2)AB =，(4,2)BC =-，则AC =
A ．
B ．5
C ．20
D ．25
4．如图为射击利用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部份（7环到9环）的概率是
A．3 20
B．
25
π
C．3 25
D．
20
π
5．若
1
sin()
35
α
π
-=，则sin(2)
6
α
π
-=
A．3 5
B．4 5
C．23 25
D．24 25
6．设变量x，y知足约束条件
3,
1,
33
x y
x y
x y
-≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+≤
⎩
则z＝x－2y的最大值为
A．－1
B．－2
C．3
D．4
7．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为
A ．42163
π+
B ．42083
π+ C ．2083
32π+ D ．216332π+ 8．已知圆C ：（x －3）2＋（y －4）2＝1与圆M 关于x 轴对称，Q 为圆M 上的动点，当Q 到直线y ＝x ＋2的距离最小时，Q 的横坐标为
A ．22-
B ．222
± C ．232
-D ．232±
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生进程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了取得大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“◇”中，可以前后填入
A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100 C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100
10．已知倾斜角为135°的直线l交双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=（a＞0，b＞0）于A，B两点，
若线段AB的中点为P（2，－l），则C的离心率是A3
B2
C．
6 2
D．
5 2
11．在侦破某一路案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人一路作案；（2）若甲参与此案，则丙必然没参与；（3）若乙参与此案，则丁必然参与；（4）若丙没参与此案，则丁也必然没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是
A．甲、乙
B．乙、丙
C．甲、丁
D．丙、丁
12．已知函数f （x ）＝x 3－3x ，且函数g （x ）＝f （f （x ）－a ）恰有9个零点，则a 的取值范围为
A ．（32-，23-）
B ．（－2，23-）
C ．（－2，2）
D ．（23-，23+）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡中的横线上．
13．设函数3log ,0()21,0
x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，则f （f （－4））＝________．
14．在△ABC 中，sin 2sin cos BC B AC A C ⋅=
⋅，则C ＝________． 15．若曲线3sin 2cos 2y x x =+关于直线x ＝t （t ＞π）对称，则t 的最小值为________．
16．在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，AD ＝1，E 为棱BC 上一点，且平面ADE ⊥平面BCD ，则DE ＝________．
三、解答题：本大题共6小题，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．
（一）必考题：
17．已知公差不为零的等差数列{a n ）知足a 1＝5，且a 3，a 6，a 11成等比数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝a n ·3n －1，求数列{b n }的前n 项和S n ．
18．如图，三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，BC ＝BD ＝2，E ，F ，G 别离是棱CD ，AD ，AB 的中点．
（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ；
（2）若四面体BEFG的体积为1
2
，且F在平面ABE内的正投影为M，求线段CM的长．
19．某大型超市在2021年元旦举行了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱．活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可取得一次抽奖机缘；
②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可取得两次抽奖机缘；
③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；
④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；
⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包．
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制取得如图所示的茎叶图．
（1）求这20位顾客中取得抽奖机缘的人数与抽奖总次数（假定每位取得抽奖机缘的顾客都会去抽奖）；
（2）求这20位顾客中取得抽奖机缘的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精准到整数部份）；
（3）别离求在一次抽奖中取得红包奖金10元，5元，2元的概率．
20．已知椭圆M：
22
22
1
x y
a b
-=（a＞b＞0）的一个核心F与抛物线N：y2＝4x的核心重合，
且M通过点（1，3
2）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知斜率大于0且过点F的直线l与椭圆M及抛物线N自上而下别离交于A，B，C，D，如图所示，若|AC|＝8，求|AB|－|CD|．
21．已知函数f（x）＝e x－x2－ax．
（1）证明：当a≤2－2ln 2时，函数f（x）在R上是单调函数；
（2）当x＞0时，f（x）≥l－x恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：请考生从2二、23两题中任选一题作答．若是多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右边方框涂黑，而且在解答进程中写清每问的小题号．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2
21
21
x t
y t
⎧=-
⎨
=-
⎩
（t为参数）．以直角坐标系的原点
为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2sinθ－cosθ）＝m．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若l与曲线C相切，且l与坐标轴交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|，g（x）＝|4x－1|－|x＋2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．
高三数学试卷参考答案（文科）
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A
13．2
14．
4
π（或45°） 15．6
7π 16．135 17．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3，a 6，a 11成等比数列，
所以26311a a a =，即（a 1＋5d ）2
＝（a 1＋2d ）（a 1＋10d ）， 化简得5d －2a 1＝0．
又a 1＝5，所以d ＝2，从而a n ＝2n ＋3．
（2）因为b n ＝（2n ＋3）·3n －1
，
所以S n ＝5×30＋7×31＋9×32＋…＋（2n ＋3）3n －1，
所以3S n 一5×31＋7×32＋9×33＋…＋（2n ＋3）3n ， 以上两个等式相减得13(31)252(23)32
n n n S n ---=+⨯-+， 化简得S n ＝（n ＋1）3n －1．
18．（1）证明：因为BC ＝BD ，E 是棱CD 的中点，所以BE ⊥CD ．
又三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，且BC∩BD＝B ，
所以AB ⊥平面BCD ，则AB ⊥CD ．
因为AB∩BE＝B ，所以CD ⊥平面ABE ，
又CD ACD ⊂平面，所以平面ABE ⊥平面ACD ．
（2）解：由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，
所以MF ∥CD ．
又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点．
因为BE =，12
MF =，DE =， 所以四面体BEFG 的体积为1113262
BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯=
=， 则BG ＝3．
在Rt △ABE 中，AB ＝2BG ＝6，AE ==
在Rt △CEM
中，122
ME AE ==
，2CM ==． 19．解：（1）这20位顾客中取得抽奖机缘的人数为5＋3＋2＋1＝11．
这20位顾客中，有8位顾客取得一次抽奖的机缘，有3位顾客取得两次抽奖的机缘，故共有14次抽奖机会．
（2）取得抽奖机缘的数据的中位数为110，
平均数为11438(101102104108109110112115188189200)1311111
++++++++++=≈． （3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1，红
2），（红1，蓝），（红1，黄），（红2，蓝），（红2，黄），（蓝，黄），共有6个大体事件． 在一次抽奖中取得红包奖金10元的概率为116
P =， 取得5元的概率为216
P =
取得2元的概率为34263P ==． 20．解：（1）易知F 的坐标为（1，0），所以c ＝1， 所以222219141a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，解得a 2＝4，b 2＝3． 所以椭圆M 的方程为22
143
x y +=． （2）设直线l 的方程为y ＝k （x －1）（k ＞0），代人y 2＝4x ，得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2
＝0， 设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则212222442k x x k k
++==+， 因为122
4||248AC x x k =++=+=，k ＞0，所以k ＝1． 将y ＝x －1代入22
143
x y +=，得7x 2－8x －8＝0． 设B （x 3，y 3
），D （x 4，y 4），则3487x x +=，3487
x x =-，
所以24||7BD ==，
故2432||||||||877
AB CD AC BD -=-=-
=． 21．解：（1）f′（x ）＝e x －2x －a ， 令g （x ）＝e x
－2x －a ，则g ′（x ）＝e x －2．
则当x ∈（－∞，ln2）时，g ′（x ）＜0，当x ∈（ln2，＋∞）时，g ′（x ）＞0． 所以函数g （x ）在x ＝ln2取得最小值，g （1n2）＝2－21n2－a ≥0．
故f ′（x ）≥o，即函数f （x ）在R 上是单调递增函数． （2）当x ＞0时，e x －x 2
－ax ≥1－x ，即11x e a x x x ≤--+． 令1()1x e h x x x x =--+（x ＞0），则222(1)1(1)(1)()x x e x x x e x h x x x
--+---'==． 令φ（x ）＝e x －x －1（x ＞0），则φ′（x ）＝e x －1＞0．
当x ∈（0，＋∞）时，φ（x ）单调递增，φ（x ）＞φ（0）＝0．
则当x ∈（0，1）时，h ′（x ）＜0，所以h （x ）单调递减．
当x ∈（1，＋∞）时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）单调递增．
所以h （x ）min ＝h （1）＝e －1．所以a ∈（－∞，e －1]．
22．解：（1）由y ＝2t －1，得12
y t +=， 221212()12
y x t +=-=-，即（y ＋1）2＝2（x ＋1）， 故曲线C 的普通方程为（y ＋1）2＝2（x ＋1）．
（2）由ρ（2sin θ－cos θ）＝m ，得2y －x ＝m ，
联立2(1)2(1)2y x y x m
⎧+=+⎨-=⎩，得y 2－2y ＋2m －1＝0，
因为l 与曲线C 相切，所以△＝4－4（2m －1）＝0，m ＝1．
所以l 的方程为2y －x ＝1，不妨假设A （0，12），则B （－1，0），线段AB 的中点为（12-，14
）．
所以||AB =OA ⊥OB ，
故以AB 为直径的圆的直角坐标方程为2221
1
()()244x y ++-=，
其对应的极坐标方程为
1
sin cos
2
ρθθ=-．
23．解：（1）由题意可得
33,2
1 ()51,2,
4
1
33,
4
x x
g x x x
x x
⎧
⎪-+≤-
⎪
⎪
=---<<
⎨
⎪
⎪
-≥
⎪⎩
当x≤－2时，－3x＋3＜6，得x＞－1，无解；
当
1
2
4
x
-<<时，－5x－1＜6，得
7
5
x>-，即
71
54
x
-<<
当
1
4
x≥时，3x－3＜6，得
1
3
4
x
≤<．
综上，g（x）＜6的解集为
7
{|3}
5
x x
-<<．
（2）因为存在x1，x2∈R，使得f（x1）＝－g（x2）成立，
所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝－g（x），x∈R}≠∅．
又f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|≥|（3x－3a）－（3x＋1）|＝|3a＋1|，
由（1）可知g（x）∈[
9
4
-，＋∞），则－g（x）∈（－∞，
9
4
]．
所以
9
|31|
4
a+≤，解得
135
1212
a
-≤≤．
故a的取值范围为[
13
12
-，
5
12
]．。