2020-2021学年重庆市沙坪坝区凤鸣山中学七年级(下)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆市沙坪坝区凤鸣山中学七年级（下）
第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 下列各式中，是一元一次方程的有( )
(1)x +π>3；(2)x −2；(3)2+3=5x ；(4)x +y =5；(5)x 2−1=0．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是( )
A. {
x +2y =3
x −z =1
B. {2x −3y =6
xy =5
C. {
x
2
+y
3=44x +3y =2
D. {2
x +y
3
=4
4x +3y =2
3. 根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A. 若2x =a ，则x =2a
B. 若x 2+x
3=1，则3x +2x =1 C. 若ab =bc ，则a =c
D. 若a
c =b
c ，则a =b
4. 关于x ，y 的方程2x −3y =5和x +3y =−2的解相同，则x +2y 的值为( )
A. −1
B. 1
C. 3
D. 4
5. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三
斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”.意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶恰好可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶恰好可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是( )
A. {5x +y =3
x +5y =2
B. {5x +y =2
x +5y =3
C. {5x +3y =1
x +2y =5
D. {3x +y =5
2x +5y =1
6. 某种商品的进货价为每件a 元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可
获利10%，则下列方程正确的是( )
A.
B. 90×85%×10%=a
C. 85%(90−a)=10%
D. (1+10%)a =90×85%
7. 对于方程
5x−13
−2=
1+2x 2
，去分母后得到的方程是( )
A. 5x −1−2=1+2x
B. 5x −1−6=3(1+2x)
C. 2(5x −1)−6=3(1+2x)
D. 2(5x −1)−12=3(1+2x)
8. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x 元；
超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x 的方程正确的是( )
A. 5x +4(x +2)=44
B. 5x +4(x −2)=44
C. 9(x +2)=44
D. 9(x +2)−4×2=44
9. 某宾馆有三人间、四人间两种客房供游客居住(房间足够多)，某旅行团24人入住
该宾馆，要求入住的房间都住满，则入住方案有( )种．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
10. 某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，(1)班与(5)班得分
比为6：5，(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分，若设(1)班得x 分，(5)班得y 分，根据题意所列的方程组应为( )
A. {5x =6y
x =2y −40
B. {5x =6y
x =2y +40
C. {6x =5y
x =2y +40
D. {6x =5y
x =2y −40
11. 一项工作，甲单独完成要9天，乙单独完成要12天，丙单独完成要15天，若甲、
丙先做3天后，甲有事离开，由乙接替甲的工作，则完成这项工作的5
6还需( )
A. 3天
B. 2天
C. 4天
D. 5天
12. 已知m 为整数，二元一次方程组{4x −3y =6
6x +my =26
有整数解，则m 的值为( )
A. 4或−4或−5
B. 4或−4或−13
C. 4或−5或−13
D. 4或−4或−5或−13
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. 方程2x −1=3的解是______ ．
14. 已知2x +3y =5，用含x 的代数式表示y ，则y =______．
15. 已知方程4x +4=3x +1和方程3x +2m =6x +1的解相同，则m 的值为______ ． 16. 已知方程(a −2)x |a|−1+6=0是关于x 的一元一次方程，则a =______． 17. 已知关于x ，y 的方程组{2x −4y =a −1x +2y =2a −1
与方程3x −y =8的解相同，则a 2+2a = ______ ．
18. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其
中，甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A ，B ，C 三种粗粮的成本价之和．已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是______.(商品的利润率=
商品的售价−商品的成本价
商品的成本价
×100%)
三、解答题（本大题共8小题，共68.0分）
19. 解方程：
(1)2(3x −1)−2x =4−x ； (2)2x−13
=1−
x−24
．
20. 解下列方程组：
(1){x +3y =73x +y =5(代入消元)；
(2){2x +3y =83x +4y =5(加减消元)．
21. 若{x =2
y =−3
是方程(mx +ny −9)2+|nx −my +6|=0的解，求−3m 2+2n −2的
值．
22. 已知方程组{2x +3y =7ax +by =8与方程组{−3x +4y =−2
2bx −ay =5
的解相同，则a +b +x 的值．
23. 已知小李同学在解方程组{ax +5y +c =104x −by =18
时抄错了b 得到方程组的解为{x =3
y =1，
而方程组的正确解为{x =5
y =−1，则a 、b 、c 的值分别为多少．
24. 甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a 千米/时(0<a <
100)，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/时，两车相遇时客车行驶的路程比出租车少100千米． (1)求a 的值．
(2)求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间．
25. 先阅读，再解方程组．
解方程组{x+y
2
+x−y 3=7
x+y
3
−
x−y 4
=−1
． 解：设m =x +y ，n =x −y ，则原方程组化为{m
2
+n
3=7
m
3
−n
4=−1
.解得{m =6n =12，即
{x +y =6
x −y =12
． ∴原方程组的解为{x =9
y =−3
．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
(1)已知方程组{ax +by =73x −2by =5的解是{x =6
y =−3，求方程组{
2a(x +y)+b(x −y)=76(x +y)−2b(x −y)=5的解．
(2)用换元法解方程组{2
x+y
−1
x−y =33x+y
+4
x−y =10
(其中|x|≠|y|)．
26. 国庆黄金周，重庆来福士广场火爆全城.在来福士广场的众多餐饮中，最受欢迎的
是“海底捞”.经调查，10月1日到“海底捞”用餐的顾客，中午人均消费为110元，晚上人均消费为120元，中午和晚上共有800人到该餐厅用餐，餐厅营业额为92800元．
(1)求中午和晚上各有多少人到该餐厅用餐？
(2)随着游客量的增多，该餐厅10月2日中午用餐人数比10月一日中午增加了3a%(a ≠0)，晚上用餐人数比10月1日晚上增加了7
3a%，人均消费与10月1日相同.10月3日该餐厅对部分菜品进行了调价，导致中午人均消费比之前涨了10元，晚上人均消费上涨了2a%，用餐总人数比10月1日总人数增加了a%，中午用餐人数占当天用餐总人数的40%，结果该餐厅10月3日的营业额比10月2日增加了3200元，求a 的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(1)不是方程，故不是一元一次方程；
(2)不是方程，故不是一元一次方程；
(3)2+3=5x是一元一次方程．
(4)x+y=5是方程含有两个未知数，故不是一元一次方程；
(5)x2−1=0是方程最高次数是2，故不是一元一次方程；
故选：A．
根据一元一次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程，本题属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】解：A、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组的第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：C．
根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了等式的性质．性质1：等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断．
【解答】
解：A.在等式2x =a 的两边同时除以2，等式仍成立，即x =1
2a.故本选项错误； B .在等式x
2+x
3=1的两边同时乘以6，等式仍成立，即3x +2x =6.故本选项错误； C .当b =0时，a =c 不一定成立，故本选项错误；
D .在等式a
c =b c 的两边同时乘以c ，等式仍成立，即a =b ，故本选项正确；
故选D ．
4.【答案】A
【解析】解：由题意：{2x −3y =5①
x +3y =−2②
．
①+②得：x =1， 把x =1代入②得：y =−1． ∴x +2y =1+2×(−1)=−1． 故选：A ．
将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得x ，y 的值，再将x ，y 的值代入代数式即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，求代数式的值．由题意解方程组求得x ，y 的值是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：依题意，得：{5x +y =3
x +5y =2．
故选：A ．
根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
根据进价+进价乘利润等于标价乘打折数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．【解答】
解：由题意可得，
a(1+10%)=90×85%，
故选D．
7.【答案】D
【解析】解：方程的两边同时乘以6，得
2(5x−1)−12=3(1+2x)．
故选：D．
方程的两边同时乘以各分母的最小公倍数．
本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
5x+(9−5)(x+2)=5x+4(x+2)=44，
故选：A．
根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9.【答案】B
【解析】解：设入住三人间x间，入住四人间y间，
则3x+4y=24，
∴y=6−3
x，
4
∵x 、y 都是非负整数， ∴当x =0时，y =6， 当x =4时，y =3， 当x =8时，y =0，
∴入住方案有3种：①入住四人间6间， ②入住三人间4间，入住四人间3间， ③入住三人间8间． 故选：B ．
设入住三人间x 间，入住四人间y 间，则3x +4y =24，根据x 、y 都是非负整数，分情况讨论即可．
本题考查二元一次方程的应用，关键是找出等量关系．
10.【答案】A
【解析】解：设(1)班得x 分，(5)班得y 分， 由题意得，{5x =6y
x =2y −40．
故选A ．
设(1)班得x 分，(5)班得y 分，根据，(1)班与(5)班得分比为6：5，(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分，列方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
11.【答案】B
【解析】解：设还需x 天完成这项工作的5
6， 由题意可得：3
9+3
15+(1
12+1
15)x =5
6， 解得：x =2， 故选：B ．
设这项工程总量为1，设乙与丙还需x 天能完成工作的5
6，等量关系为：甲、丙3天完成的工作量+乙、丙x 天完成的工作量=5
6，依此列出方程即可．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．
12.【答案】D
【解析】解：方程组{4x −3y =6①6x +my =26②
， ②×2−①×3得：(9+2m)y =34，
解得：y =342m+9，
①×m +②×3得：(4m +18)x =6m +78，
解得：x =6m+784m+18，
∵m 为整数，二元一次方程组{4x −3y =66x +my =26
有整数解，y =342m+9， ∴9+2m =±34或±17或±2或±1，
解得：m =±13或±4或−5，
当m =13时，x =7835，此时不符合题意；
当m =−13时，x =0，此时符合题意；
当m =4时，x =3，此时符合题意；
当m =−4时，x =27，此时符合题意；
当m =−5时，x =−24，此时符合题意；
所以m 的值为：4或−4或−5或−13．
故选：D ．
把m 看做已知数表示出方程组的解，根据m 为整数且方程组有整数解确定出m 的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
13.【答案】x =2
【解析】解：2x −1=3，
移项得：2x =3+1，
合并同类项得：2x =4，
把x 的系数化为1得：x =2．
故答案为：x=2．
根据解方程的步骤：移项，移项要变号，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可．
此题主要考查了解一元一次方程，解题过程中关键是要注意符号问题．
14.【答案】5−2x
3
【解析】解：2x+3y=5，
解得：y=5−2x
．
3
．
故答案为：5−2x
3
将x看做已知数，求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做未知数，y看做未知数．
15.【答案】−4
【解析】解：解方程4x+4=3x+1得：x=−3，
把x=−3代入3x+2m=6x+1得：−9+2m=−18+1，
解得：m=−4，
故答案为：−4．
先求出第一个方程的解，把x=−3代入第二个方程，再求出m即可．
本题考查了一元一次方程的解，同解方程，解一元一次方程等知识点，能得出关于m 的一元一次方程是解此题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：由(a−2)x|a|−1+6=0是关于x的一元一次方程，得
|a|−1=1且a−2≠0，
解得a=−2．
故答案为：−2．
只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0)．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
17.【答案】15
【解析】解：解方程组{2x −4y =a −1x +2y =2a −1得{x =5a−34y =3a−18， 把x =5a−34，y =3a−18代入3x −y =8得15a−94−3a−18=8，
解得a =3，
所以a 2+2a =32+2×3=15．
故答案为15．
先解方程组{2x −4y =a −1x +2y =2a −1得{x =5a−34y =3a−18
，再方程组的解代入代入3x −y =8得15a−94−3a−18=8，接着解关于a 的方程，然后利用代入法计算a 2+2a 的值．
本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
18.【答案】89
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
先求出1千克B 粗粮成本价+1千克C 粗粮成本价=58.5÷(1+30%)−6×3=27元，得出乙种粗粮每袋售价为(6+2×27)×(1+20%)=72元．再设该电商销售甲种袋装粗粮x 袋，乙种袋装粗粮y 袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程45×30%x +60×20%y =24%(45x +60y)，求出x y =89．
【解答】
解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮，
而A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B 粗粮成本价+1千克C 粗粮成本价=58.5÷(1+30%)−6×3=27(元)， ∵乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为(6+2×27)×(1+20%)=72(元)．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷(1+30%)=45(元)，乙种粗粮每袋成本价为6+2×27=60(元)．
设该电商销售甲种袋装粗粮x 袋，乙种袋装粗粮y 袋，
由题意，得45×30%x +60×20%y =24%(45x +60y)，
45×0.06x =60×0.04y ，
x y
=89． 故答案为89． 19.【答案】解：(1)2(3x −1)−2x =4−x ，
去括号、得6x −2−2x =4−x ，
移项、得6x −2x +x =4+2，
合并同类项、得5x =6，
系数化为1、得x =65；
(2)2x−13=1−x−24，
去分母、得4(2x −1)=12−3(x −2)，
去括号、得8x −4=12−3x +6，
移项、得8x +3x =12+6+4，
合并同类项、得11x =22，
系数化为1、得x =2．
【解析】(1)方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
(2)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1){x +3y =7①3x +y =5②
， 由①，得x =7−3y③，
把③代入②，得3(7−3y)+y =5，
解得：y =2，
把y =2代入③，得x =7−6=1，
所以方程组的解是{x =1y =2
；
(2){2x +3y =8①3x +4y =5②
， ①×3−②×2，得y =14，
把y =14代入①，得2x +42=8，
解得：x =−17，
所以方程组的解是{x =−17y =14
．
【解析】(1)由①得出x =7−3y③，把③代入②得出3(7−3y)+y =5，求出y ，把y =2代入③求出x 即可；
(2)①×3−②×2得出y =14，把y =14代入①求出x 即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
21.【答案】解：∵(mx +ny −9)2+|nx −my +6|=0，
∴{mx +ny −9=0nx −my +6=0
， ∵{x =2y =−3
是方程(mx +ny −9)2+|nx −my +6|=0的解， ∴{2m −3n =92n +3m =−6
， 解得：m =0，n =−3，
∴−3m 2+2n −2=−3×02+2×(−3)−2=−8．
【解析】根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，把{x =2y =−3
代入方程组，求出m 、n 的值，再求出答案即可．
本题考查了绝对值、偶次方的非负性，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
22.【答案】解：解方程组{2x +3y =7−3x +4y =−2得{x =2
y =1，
则{2a +b =84b −a =5
，解得{a =3b =2，
所以a +b +x =3+2+2=7．
【解析】先解方程组{2x +3y =7−3x +4y =−2得{x =2y =1，再解方程组{2a +b =84b −a =5得{a =3b =2
，从而得到a +b +x 的值．
本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程．
23.【答案】解：把x =3，y =1代入方程ax +5y +c =10得3a +5+c =10，
把{x =5y =−1代入方程组{ax +5y +c =104x −by =18得{5a −5+c =1020+b =18
， 解方程组{3a +5+c =105a −5+c =1020+b =18得{a =5
b =−2
c =−10
，
即a 、b 、c 的值分别为5，−2，−10．
【解析】把x =3，y =1代入方程ax +5y +c =10得3a +5+c =10，把{x =5y =−1
代入方程组{ax +5y +c =104x −by =18得{5a −5+c =1020+b =18
，然后解关于a 、b 、c 的方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
24.【答案】解：(1)设经过t 小时相遇，
由题意可得：90t +90t −100=800，
∴t =5，
∴a =90×5−1005=70，
答：a 的值为70；
(2)设客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为y 小时，
由题意可得：(70+90)y =800−100或(70+90)y =800+100，
∴y =358
或458， 答：客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为358或458小时．
【解析】(1)设经过t 小时相遇，由两车相遇时，路程之和=800千米，列出方程可求解；
(2)设客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为y 小时，分相遇前和相遇后两种
情况讨论，列出方程可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
25.【答案】解：(1)把方程组{2a(x +y)+b(x −y)=7
6(x +y)−2b(x −y)=5变形为
{a(2x +2y)+b(x −y)=73(2x +2y)−2b(x −y)=5
， ∵方程组{ax +by =73x −2by =5
的解是{x =6y =−3， ∴{2x +2y =6x −y =−3
，解得{x =0y =3， ∴方程组{2a(x +y)+b(x −y)=76(x +y)−2b(x −y)=5
的解为{x =0y =3； (2)设m =1x+y ，n =1x−y ，则原方程组化为{2m −n =33m +4n =10，解得{m =2n =1， 即x +y =12，x −y =1，
解方程组{x +y =12x −y =1，解得{x =34y =−14， 所以原方程组的解为{x =34y =−14．
【解析】(1)先把方程组{2a(x +y)+b(x −y)=76(x +y)−2b(x −y)=5变形为{a(2x +2y)+b(x −y)=73(2x +2y)−2b(x −y)=5
，根据题意得到{2x +2y =6x −y =−3
，然后解方程组即可； (2)设m =1x+y ，n =1x−y ，则原方程组化为{2m −n =33m +4n =10，解得{m =2n =1
，然后解方程组{x +y =12x −y =1
即可． 本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组和换元法．
26.【答案】解：(1)设中午有x 人到该餐厅用餐，则晚上有(800−x)人到该餐厅用餐，
依题意得：110x +120(800−x)=92800，
解得：x =320，
∴800−x =480(人)．
答：中午有320人到该餐厅用餐，晚上有480人到该餐厅用餐．
(2)依题意得：(110+10)×800(1+a%)×40%+120(1+2a%)×800(1+
a%)×(1−40%)=110×320(1+3a%)+120×480(1+7
a%)+3200，
3
整理得：11.52a2−288a=0，
解得：a1=25，a2=0(不合题意，舍去)．
答：a的值为25．
【解析】(1)设中午有x人到该餐厅用餐，则晚上有(800−x)人到该餐厅用餐，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)根据总价=单价×数量，结合该餐厅10月3日的营业额比10月2日增加了3200元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．。