2020年辽宁省鞍山市华英高级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2020年辽宁省鞍山市华英高级中学高一数学理下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如右图所示，直线的斜率分别为则（）
A． B．C．D．
参考答案：
C
2. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有（x2﹣x1）?[f（x2）﹣f（x1）]＞0，则（）
A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（3）＜f （﹣2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
参考答案：
C
【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】先根据对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有（x2﹣x1）?[f（x2）﹣f
（x1）]＞0，可得函数f（x）在（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可推断f（x）在[0，+∞）上单调递减，进而可判断出f（3），f（﹣2）和f（1）的大小．
【解答】解：∵对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有（x2﹣x1）?[f（x2）﹣f
（x1）]＞0，
故f（x）在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），
由3＞2＞1＞0，
得f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选：C．
3. 设x0是方程的解，则x0在下列哪个区间内（）．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,e)
D．(3,4)
参考答案：
B
构造函数，
∵，，
∴函数的零点属于区间，即属于区间．
故选．
4. 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
参考答案：
A
【考点】函数的零点．
【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．
作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．
【解答】解：∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
5. 在数列{a n}中，已知a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a2007=（）
A．4 B．﹣1 C．1 D．5
参考答案：
A
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），先分别求出a3，a4，a5，a6，a7，得到数列{a n}是以6为周期的周期数列，由此能求出a2007．
【解答】解：∵a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），
∴a3=5﹣1=4，
a4=4﹣5=﹣1，
a5=﹣1﹣4=﹣5，
a6=﹣5+1=﹣4，
a7=﹣4+5=1，
a8=1+4=5，
…
∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，
∵2007=334×6+3，
∴a2007=a3=4，
故选A．
6. 公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】设出数列的公差，利用a1+a2+a5=13，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a5成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d．
【解答】解：设数列的公差为d则
∵a1、a2、a5成等比数列
∴（a1+d）2=a1（a1+4d）②
①②联立求得d=2
故选B
7. 函数y=sinx与y=tanx在区间的交点个数是( )
A．3 B．4 C．5
D．6
参考答案：
A
8. 已知函数，则的值是( ) A．B．9 C．﹣9 D．﹣
参考答案：
A
【考点】函数的值．
【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵，
∴f（）==﹣2，
∴=3﹣2=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
9. 函数y=log a（x2+2x﹣3），当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，+∞）
参考答案：
A
【考点】4P：对数函数的单调区间．
【分析】由题意可知，a的范围，以及对数函数的性质，求解即可．
【解答】解：当x=2时，y=log a5＞0，
∴a＞1．由x2+2x﹣3＞0?x＜﹣3或x＞1，
易见函数t=x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上递减，
故函数y=log a（x2+2x﹣3）（其中a＞1）也在（﹣∞，﹣3）上递减．
故选A
10. 已知角的终边经过点，则角余弦值为()
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
直接利用余弦值公式得到答案.
【详解】已知角的终边经过点
则
故答案选C
【点睛】本题考查了余弦值的定义和计算，意在考查学生的计算能力.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. sin255°=_________．
【分析】
根据诱导公式，化为锐角，再用两角和差公式转化为特殊角，即可求解.
【详解】
.
故答案:
【点睛】本题考查诱导公式、两角和正弦公式求值，属于基础题.
12. 把角化成的形式，则为★；
参考答案：
13. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0?9之间随机整数的20组如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为．
参考答案：
14. .已知函数，点P、Q分别为函数
图像上的最高点和最低点，若的最小值为，且，则的值为
_____．
参考答案：
【分析】
将整理为：，在一个周期内得到函数的图
象，根据图象和构造出关于最小正周期的方程，解方程求得，进而得到.
【详解】由题意得：
显然函数的最小正周期为：，则在一个周期内函数的图象如下：
故
解得：，即：
本题正确结果：
【点睛】本题考查三角函数图象的综合应用问题，关键是能够根据函数的解析式得到函数
图象，从而构造出关于最值的方程，从而求得周期.
15. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的表面积为。

参考答案：
3π
略
16. 设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
参考答案：
－1
∵f(x)＝，∴f(a)＝＝2，
∴a＝－1.
17. 已知数列的前项和，第项满足，则
.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n}满足：，且.
（1）求证：数列{b n}是等比数列；
（2）设S n是数列{a n}的前n项和，若对任意都成立．试求t的取值范围．
参考答案：
（1）见解析;（2）．
试题分析：
(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值，计算首项为即可证得数列为等比数列；
(2)原问题转化为对任意的都成立，分类讨论可得：实数的取值范围是．
试题解析：
（1）因为，，，
所以，
所以，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，，即，
则
．
又，
要使对任意的都成立，
即（*）对任意的都成立．①当为正奇数时，由（*）得，，
即，
因为，
所以对任意的正奇数都成立，
当且仅当时，有最小值1，
所以．
②当为正偶数时，由（*）得，
，
即，
因，
所以对任意的正偶数都成立．
当且仅当时，有最小值，所以．
综上所述，存在实数，使得对任意都成立，
故实数的取值范围是．
19. 已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t为参数）．
（1）写出函数f（x）的定义域和值域；
（2）当x∈[0，1]时，如果f（x）≤g（x），求参数t的取值范围．
参考答案：
【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质．
【分析】（1）根据对数函数的图象和性质即可求出定义域和值域；
（2）由题意得到得x+1≤（2x+t）2在x∈[0，1]恒成立，分离参数得到t≥﹣2x在x∈[0，1]恒成立，构造函数h（x）=﹣2x，求出最大值即可．
【解答】解：（1）定义域为（﹣1，+∞））
值域为：R；
（2）由f（x）≤g（x），得lg（x+1）≤2lg（2x+t），得x+1≤（2x+t）2在x∈[0，1]恒成立，
得t≥﹣2x在x∈[0，1]恒成立，
令u=（u∈[1，]），解得x=u2﹣1，
得h（x）=﹣2x=﹣2u2+u+2（u∈[1，]）最大值为1，
故t的取值范围是[1，+∞）．
20. 已知产品T的质量采用综合指标值M进行衡量，为一等品；为二等品；为三等品.我市一家工厂准备购进新型设备以提高生产产品T的效益，在某供应商提供的设备中任选一个试用，生产了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：
（1）估计该新型设备生产的产品T为二等品的概率；
（2）根据这家工厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：
12元
新型设备的前提条件是，该新型设备生产的产品同时满足下列两个条件：
①综合指标值的平均数不小于6（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②单件平均利润值不低于4元.
若该新型设备生产的产品T的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型设备是否达到该工厂的认购条件.
参考答案：
解：（1）记为事件“该新型设备生产的产品为二等品”.
由直方图可知，该新型设备生产的产品为二等品的频率为：
，
故事件的概率估计值为.
（2）①先分析该新型设备生产的产品的综合指标值的平均数：
由直方图可知，综合指标值的平均数
.
该设备生产出的产品的综合指标值的平均数的估计值，
故满足认购条件①.
②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：
由直方图可知，该设备生产出的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为：，，.
故件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为：件，件，件.
一等品的销售总利润为元；
二等品的销售总利润为元；
三等品的销售总利润为元.
故件产品的单件平均利润值的估计值为：
元.
满足认购条件②.
综上所述，该新型设备达到认购条件.
20.（本小题满分12分）
已知函数的最大值为.
(1)求常数的值;
(2)求使成立的的取值范围.
参考答案：
20. 解:
. ………………….. 6分
(1)的最大值为,所以……………..8分
（2）由（1）知，即
由正弦函数的图像知，
解得，. …………12分
略
22. （本题满分14分）已知、、为的三内角，且其对应边分别为、、
，若．
（1）求；
（2）若，求的面积．
参考答案：
（1）
……………………………3分又，………………………6分
，．………………………8分（2）………………………10分
．………14分。