通用版2021版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基本不等式教案理

通用版2021版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基
本不等式教案理
第4讲基本不等式
(3)其中
1．基本不等式：ab≤
a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
a＋b称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2
2
2
2．几个重要的不等式
(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
?a＋b?(2)ab≤?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?2??2
a2＋b2?a＋b?2(3)≥?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
2?2??
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
baab
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
s241x
?a＋b?(2)ab≤?成立的条件是ab>0.( )?2??xyyx3
2(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
(4)若a>0，则a＋的最小值是2a.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
1a2
(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
B．77
A．80
D．82C．81
?x＋y??18?解析：选C.xy≤?＝??＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.??2??2?
若x0，－x＋1≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所－x
若x>1，则x＋解析：x＋
以x＋≤－2.
1x4的最小值为________．x－144＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.x－1x－14，即x＝3时等号成立．x－1
答案：5
当且仅当x－1＝
(教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是
________．
解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，
?x＋y?所以S＝xy≤?＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．?2??
答案：25 m
2
2
利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围． [典例引领]
(1)函数f(x)＝
角度一求不含等式条件的函数最值
x(x>0)的最大值为________．
x2＋3x＋11的最大值为________．4x－511x·＋3x＝，当且仅当x＝
(2)已知x0，则f(x)＝
x1＝≤x2＋3x＋11x＋＋32x151x
则f(x)＝4x－2＋
时等号成立．
(2)因为x0，
541?1?＝－?5－4x＋＋3≤－2＋3＝1.5－4x?4x－5??1，即x＝1时，等号成立．5－4x1的最大值为1.4x－515当且仅当5－4x＝
故f(x)＝4x－2＋
【答案】 (1) (2)1
角度二求含有等式条件的函数最值
(1)(2021·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为
________．
xyab(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．
【解析】 (1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，
12ab所以
2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝2＋＋＋2≥4＋2
ab?ab?
?12?b4ab4a·＝ab??8?当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立?.??
故2a＋b的最小值为8.
(2)因为x>0，y>0，
b4aab
?x＋2y?所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋?，?2??
令x＋2y＝t，则
2
28≤t＋，即t＋4t－32≥0，
解得t≥4或t≤－8，
t24
即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，
当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．
【答案】 (1)8 (2)4
角度三已知不等式恒成立求参数范围
?1a?已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为
?xy?
________．
yax?1a?2
【解析】 (x＋y)?＋?＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(x，y，a>0)，
?xy?xy
当且仅当y＝ax时取等号，
??2
所以(x＋y)·?＋?的最小值为(a＋1)，
于是(a＋1)≥9恒成立．
所以a≥4.【答案】 4
2
1a?xy?利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；
②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用
基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”
或“常数1”的替换，构造不等式求解．
[通关练习]
1．(2021·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，
3)，则a＋b的最小值为________．
解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，
则＋＝1，
32ab??所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝5＋＋
32?ab?3b2a≥5＋26.ab3b2a，ab当且仅当＝即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．
答案：5＋26 2．(2021·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为________．ab14ab·＝4，
ab解析：因为ab＞0，所以
a4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋11≥＝＝4ab＋≥2abababab
a2＝2b2，??a4＋4b4＋1当且仅当?时取等号，故的最小值是4.1abab＝?2? 答案：4
2x 3．当x∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．
解析：由3－(k＋1)·3＋2>0，解得k＋10恒成立，
所以当x∈R时，k＋1。