中考试题二次函数中的面积问题课后练习一及详解.docx

学科：数学
专题：二次函数中的面积问题
重难点易错点解析
题面：如图，二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
金题精讲
题面：如图，二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围．
满分冲刺
题面：如图，抛物线32-+=bx ax y 交y 轴于点C ，直线 l 为抛物线的对称轴，点
P 在第三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为
103，到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A ，连接AC 交直线 l 于B .
(1)求抛物线的表达式；
(2)直线m x y +=4
3与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F ,连接BD 交y 轴于点E ，且DE :BE =4:1.求直线m x y +=4
3的表达式
思维拓展
题面：已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的正半轴上，A (0，2)，B (－1，0).
(1)求点C 的坐标；
(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：(1)y = －x 2－4x ；(2)点P 的坐标是：(－2，4)、(
222-+ ，－4)、(222
--，－4) 详解：(1)将O (0，0)，A (－4，0)代入y =ax 2－4x ＋c 得 2(4)4(4)00a c c ⎧⨯--⨯-+=⎨=⎩
， 解得10a c =-⎧⎨=⎩. ∴此二次函数的解析式为y = －x 2－4x .
(2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO =4.
设点P 到x 轴的距离为h ，则1482
AOP S h =⨯⨯=，解得h =4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x =4，解得x = －2.
∴点P 的坐标为(－2，4).
②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x = -4，解得122222x x 22-+--=
=，. ∴点P 的坐标为(222-+ ，－4)或(222
-- ，－4)， 综上所述，点P 的坐标是：(－2，4)、(222-+ ，－4)、(222
-- ，－4) 金题精讲
答案：(1) 二次函数的解析式为y =(x -2)2-1，y =x -1; (2)1≤x ≤4
详解：(1)将点A (1,0)代入y =(x -2)2+m 得，(1-2)2+m =0，解得m = -1.
∴二次函数的解析式为y =(x -2)2-1.
当x =0时，y =4-1=3，∴点C 的坐标为(0,3)
∵二次函数y =(x -2)2-1的对称轴为x =2，C 和B 关于对称轴对称，
∴点B 的坐标为(4,3)
将A (1,0)、B (4,3)代入y =kx +b 得，
043k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11
k b =⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的解析式为y =x -1.
(2) ∵A (1,0)、B (4,3)
∴当kx +b ≥(x -2)2+m 时，直线y =x -1的图象在二次函数y =(x -2)2-1的图象上方或相交，此时1≤x ≤4. 满分冲刺
答案：(1)212333y x x =+-.(2)324
y x =+. 详解：(1)∵抛物线23y ax bx =+-交y 轴于点C ，∴C (0，-3)则 OC =3.
∵P 到x 轴的距离为
103，P 到y 轴的距离是1，且在第三象限， ∴P (-1，-103
). ∵C 关于直线l 的对称点为A ，∴A (-2，-3).
将点A (-2，-3)，P (-1，-103
)代入23y ax bx =+-得， 42331033a b a b --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩，解得1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. ∴抛物线的表达式为212333
y x x =
+-. (2)过点D 做DG ⊥y 轴于G ，则∠DGE =∠BCE =90°. ∵∠DEG =∠BEC ，∴△DEG ∽△BEC . ∴
DG DE BC BE
=. ∵DE :BE =4:1，BC =1， ∴DG 411
=, 则DG =4. 将x =4代入212333
y x x =+-，得y =5. ∴D (4,5). ∵34y x m =+过点D (4,5),∴3544
m =⨯+, 则m =2. ∴所求直线的表达式为 324y x =+.
思维拓展
答案：(1)(4，0).(2) 213222
y x x =-++,抛物线的对称轴为32x =. 详解：(1)∵A (0，2)，B (－1，0)，∴OA =2，OB =1. 由Rt △ABC 知Rt △ABO ∽Rt △CAO ，∴
OA OB OC OA =，即212OC =，解得OC =4. ∴点C 的坐标为(4，0).
(2)设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，
将A (0，2)代入，得2(01)(04)a =+-，解得12a =-
∴过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为1(1)(4)2y x x =-+-，即213222
y x x =-++. ∵221313252()22228y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为32x =.
初中数学试卷
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