专题4.1 向量与复数(B卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(解析版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2） 与 垂直，
，
，即 ，
， ，
代入上式得 ，
，
，
又
考点：1.平面共线向量的坐标表示；2.向量夹角公式
18.设平面向量 ， ，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
考点：向量的数量积的坐标运算式，三角函数的和角公式，辅助角公式，单调区间的求解方法．
19.已知 是两个单位向量．
【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
9.已知 与 不共线,若点 满足 ,点 的轨迹是（）
A．直线B．圆C．抛物线D．以上都不对
【答案】A
考点：向量运算、圆锥曲线定义．
10.已知 ， 是平面内夹角为 的两个单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值为
A．1 B． C． D．2
【答案】B
20.已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，且 .
（1）求向量 ；
（2）设向量 ，向量 ，其中 ，若 ，试求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
考点：1、向量的数量积；2、向量的模及夹角．
21.已知向量 ， ，且 .
（1）若 ，求 及 的值；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2） ．
15.若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点在第象限.
【答案】二
【解析】
试题分析：因 ,所以在复平面上对应的点在第二象限.
考点：复数的概念及运算．
16.在 中， ， 是 边上一点（ 与 不重合），且 ，则 等于．
【答案】
【解析】
试题分析：作高 ，不妨设 在 上，设 ，则
，则 ，
， ，即
，所以 ，即 为 中点，于是
【解析】
试题分析：由已知 ，
，（ 是 与 的夹角），∴ ，而 ，因此 的最大值为 ．
考点：向量的数量积，向量的模．
11.设 ， ，其中 、 、 为实数，若 ，则 的取值范围是（）
A． B.[-6,1] C．[-1,6] D．[4,8]
【答案】B
考点：向量的平行．
【名师点睛】在变形过程中，由于认识的不同，理解思路的不同，还可以有如下解法：
14.已知 的外接圆的圆心为 ，若 ，且 ，则 与 的夹角为.
【答案】
【解析】
考点：1、向量的几何运算及外接圆的性质；2、向量的夹角.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】
试题分析：由题可知，根据向量的减法有， , ,于是有
,故 ，又因为 ，所以 ，即 ；
考点：平面向量的基本定理及其意义
5.设复数 ，其中 为实数，若 的实部为2，则 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析： ,因为 的实部为2，所以 ，所以 的虚部为 ,故选C.
为等腰三角形。顶角为 ，则底角 。
考点：解三角形的相关问题
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 ．
（1）若 ，且 // ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 ．
【答案】（1） ；（2）
2.已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析： ，所以 ，故选C.
考点：向量的数量积.
3.如图，正方形 中， 为DC的中点，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：平面向量的线性运算．
4.已知平面上不重合的四点 ， ， ， 满足 ，且 ，那么实数 的值为
考点：1.复数数的概念；2.复数的运算.
6.若非零向量a，b满足|a|= |b|，且（a-b） （3a+2b），则a与b的夹角为 （ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意 ，即 ，所以
， ， ，选A.
【考点定位】向量的夹角.
7.已知直线 与圆 交于 两点， 是坐标原点，向量 、 满足
，则实数a的值是（）
A．2 B．－2 C．2或－2 D． 或－
【答案】C
考点：直线与圆的位置关系
8. 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，
由题意， ，则 ，故 错误； ，所以 ，又
，所以 ，故 错误；设 中点为 ，
则 ，且 ，而 ，所以 ，故选D.
班级姓名学号分数
（测试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.已知复数 （其中 是虚数单位），那么 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
【答案】
考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
A．满足 的点P必为BC的中点
B．满足 的点P有且只有一个
C． 的最大值为3
D． 的最小值不存在
【答案】C
考点：1．向量坐标化；2．分类讨论思想；
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量 ， ，则 .
【答案】9
【解析】因为 ， ，
所以 .
【考点定位】平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.
【解析】
由 得 ，由②得
，∴ ，即 ，又 ，如图，点 构成的图形是线段 ，其中 ， ，而 表示线段 上的点与原点连线斜率（与 轴交点斜率不存在除外）的倒数，所以 ．
12.四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中 ，下列判断正确的是
（1）若 ，试求 的值；
（2）若 的夹角为 ，试求向量 与 的夹角
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由题为 单位向量，且 ，可利用向量乘法运算的性质； ，化为向量的乘法运算，求出 ，进而可求得
（2）由 的夹角为 ，可利用向量乘法的性质，分别先求出 的值，再利用 可得.
考点：向量的乘法运算及性质.
，
，即 ，
， ，
代入上式得 ，
，
，
又
考点：1.平面共线向量的坐标表示；2.向量夹角公式
18.设平面向量 ， ，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
考点：向量的数量积的坐标运算式，三角函数的和角公式，辅助角公式，单调区间的求解方法．
19.已知 是两个单位向量．
【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
9.已知 与 不共线,若点 满足 ,点 的轨迹是（）
A．直线B．圆C．抛物线D．以上都不对
【答案】A
考点：向量运算、圆锥曲线定义．
10.已知 ， 是平面内夹角为 的两个单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值为
A．1 B． C． D．2
【答案】B
20.已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，且 .
（1）求向量 ；
（2）设向量 ，向量 ，其中 ，若 ，试求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
考点：1、向量的数量积；2、向量的模及夹角．
21.已知向量 ， ，且 .
（1）若 ，求 及 的值；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2） ．
15.若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点在第象限.
【答案】二
【解析】
试题分析：因 ,所以在复平面上对应的点在第二象限.
考点：复数的概念及运算．
16.在 中， ， 是 边上一点（ 与 不重合），且 ，则 等于．
【答案】
【解析】
试题分析：作高 ，不妨设 在 上，设 ，则
，则 ，
， ，即
，所以 ，即 为 中点，于是
【解析】
试题分析：由已知 ，
，（ 是 与 的夹角），∴ ，而 ，因此 的最大值为 ．
考点：向量的数量积，向量的模．
11.设 ， ，其中 、 、 为实数，若 ，则 的取值范围是（）
A． B.[-6,1] C．[-1,6] D．[4,8]
【答案】B
考点：向量的平行．
【名师点睛】在变形过程中，由于认识的不同，理解思路的不同，还可以有如下解法：
14.已知 的外接圆的圆心为 ，若 ，且 ，则 与 的夹角为.
【答案】
【解析】
考点：1、向量的几何运算及外接圆的性质；2、向量的夹角.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】
试题分析：由题可知，根据向量的减法有， , ,于是有
,故 ，又因为 ，所以 ，即 ；
考点：平面向量的基本定理及其意义
5.设复数 ，其中 为实数，若 的实部为2，则 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析： ,因为 的实部为2，所以 ，所以 的虚部为 ,故选C.
为等腰三角形。顶角为 ，则底角 。
考点：解三角形的相关问题
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 ．
（1）若 ，且 // ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 ．
【答案】（1） ；（2）
2.已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析： ，所以 ，故选C.
考点：向量的数量积.
3.如图，正方形 中， 为DC的中点，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：平面向量的线性运算．
4.已知平面上不重合的四点 ， ， ， 满足 ，且 ，那么实数 的值为
考点：1.复数数的概念；2.复数的运算.
6.若非零向量a，b满足|a|= |b|，且（a-b） （3a+2b），则a与b的夹角为 （ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意 ，即 ，所以
， ， ，选A.
【考点定位】向量的夹角.
7.已知直线 与圆 交于 两点， 是坐标原点，向量 、 满足
，则实数a的值是（）
A．2 B．－2 C．2或－2 D． 或－
【答案】C
考点：直线与圆的位置关系
8. 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，
由题意， ，则 ，故 错误； ，所以 ，又
，所以 ，故 错误；设 中点为 ，
则 ，且 ，而 ，所以 ，故选D.
班级姓名学号分数
（测试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.已知复数 （其中 是虚数单位），那么 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
【答案】
考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
A．满足 的点P必为BC的中点
B．满足 的点P有且只有一个
C． 的最大值为3
D． 的最小值不存在
【答案】C
考点：1．向量坐标化；2．分类讨论思想；
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量 ， ，则 .
【答案】9
【解析】因为 ， ，
所以 .
【考点定位】平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.
【解析】
由 得 ，由②得
，∴ ，即 ，又 ，如图，点 构成的图形是线段 ，其中 ， ，而 表示线段 上的点与原点连线斜率（与 轴交点斜率不存在除外）的倒数，所以 ．
12.四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中 ，下列判断正确的是
（1）若 ，试求 的值；
（2）若 的夹角为 ，试求向量 与 的夹角
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由题为 单位向量，且 ，可利用向量乘法运算的性质； ，化为向量的乘法运算，求出 ，进而可求得
（2）由 的夹角为 ，可利用向量乘法的性质，分别先求出 的值，再利用 可得.
考点：向量的乘法运算及性质.