周六高三理科数学测试试卷

一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的）
1. 若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）
A.(],2-∞-
B.(],1-∞-
C.[)2,+∞
D.[)1,+∞ 2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．x
e x y += B ．x x y 1+= C ．x x
y 2
12+= D ．21x y +=
3. 设直线x=t 与函数2
()f x x =和函数()ln g x x =的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的
值为（ ）
A.1
B. 1
2
C. 52
D. 22
4. 函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.0a >，0b >，0c < C.0a <，0b >，0c >
B.0a <，0b >，0c < D.0a <，0b <，0c <
5. 已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）
A ．sgn[()]sgn g x x =
B ．sgn[()]sgn g x x =-
C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =
D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-
6. 已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，1)4(-=-f ,)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示。

若两正数
b a ,满足1)2(<+b a f ，则
2
2
++b a 的取值范围是（ ）
O
x
y
y=)('x f
A. )2,31
( B. )3,2
1(
C. )0,1(-
D. )1,(--∞
7. 已知610(1,2,...10),
i
x i -＃=10
1
50i i x ==å
，当10
21
i i x =å取得最大值时，在1,2,10...x x x
这十个数中
等于-6的数共有（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个
8. 下列函数()f x 中，满足“对任意1x .2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的
（ ）
.A ()f x =1
x
.B ()f x =2(1)x - .C ()f x =x e .D ()ln(1)f x x =+
9. 函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭
⎫x －1
x 的图象是 ( ) y
-11
x
y
-101
x
y -101
x
x
1
0y -1A
B C
D
10. 设函数3
21()3(8)53
f x x x a x a =-+---,若存在唯一的正整数0x ,使得f (0x )<0,则a 的取值范围是( )
A. (
115,16] B. (115,14] C. (16,14] D. (14,518
] 11. 已知定义在R 上的函数f (x )满足当x ∈[2k −1,2k +1)(k ∈Z )时,f (x )=2
(2)x k -,若y =f (x )与g (x )=log a x 图象上关于y 轴对称的点有3对,则a 的取值范围是(
) A.(0,2)
B.(1,3)
C.(2,4)
D.(3,5)
12.函数()2sin f x x π=与函数3
()1f x x =
-的图象所有交点的横坐标之和为 （ ）
1.【答案】D 【解析】∵函数()f x 在区间(1,)+∞单调递增，则()0f x >恒成立，
1'()[(1,)]f x k x x =-∈+∞Q 1
(0,1)x
∴∈1k ∴>
2. 【答案】A 【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，
()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、
偶函数，故选A ．
3.【答案】D 【解析】∵2
()f t t =
()ln g t t =2
ln MN t t ∴=-设2
()ln h t t t =-1
'()20h t t t
∴=->2222t t ∴><-或由分析可知，函数为增减增的形式2
2
∴极小值点：t=
4. 【答案】C 【解析】（1）由解析式知若a>0，则当x →+∞时，函数值必定为正值，但由图像知当x →+∞
时，()0f x <，所以a<0；（2）有解析式知函数的零点是b
x a
=-，而由函数图象知零点为正，
所以0b
a
->，又a<0，所以b>0;（3）由解析式知函数的定义域为{}|x x c ≠-，由图象知去掉的
点为正值，所以0c ->，既0c <，故选C.
5. 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，
所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0
sgn 0,01,0
x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.
6.【答案】 B 【解析】由题图知()'
0f
x ³，故函数在R 内单调递增，又()41f -=-，且f(x)是定
义域为R 的奇函数，所以(4)1f =,所以(2)(4)f a b f +<,所以24a b +<,画出点(,)a b 所在的平面区域，如图阴影部分（不包含坐标轴），虚线表示可行域内的点(,)b a 和(2,2)--连线的斜率，则其范围
为（
1
2
，3）。

7. 【答案】C
【解析】
10
2
1
i
i x
=∑Q 最大∴方差最大，根据方差的意义，最大时i x 都趋于-6或10∴设有x 个-6，(10)
x -个10∴610(10)50x x -+-=3x ∴≈∴可有3个
8. 【答案】A 【解析】12x x <Q 时12()()f x f x >()f x ∴在(0,)+∞递减，故选A
9.【答案】 B 【解析】由排除法，x=
1
2不在定义域内，故排除A 、D ，当x ∈+?时，f(x)>0,故选B 。

10. 【答案】A 【解析】设g （x ）=1
3
x 3-3x 2+8x-5，h （x ）=a （x+1），在同一个坐标系中画
出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．()()()0f x g x h x =-<
2()68(2)(4)g x x x x x '=-+=--,所以x >4或x <2时函数递增,2<x <4时递减,并且g (1)=
13,g (2)=53,g (3)=1,g (4)=1
3
,图象如下
函数h (x )经过(−1,0),要使存在唯一的正整数0x ,使得f (0x )<0,即g (x )<h (x )有唯一正整数解，所以
只要a >0并且(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)g h g h g h g h ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<⎩即12353341
153a a a a ⎧
≤⎪⎪
⎪
≤
⎪⎨⎪≤⎪
⎪>⎪⎩
解得11156a <≤ 故选：A.
11.【答案】 D 【解析】分别画出简图，如下：
若y=f(x)与g (x )= log a x 图象上关于y 轴对称的点有3对,又因为()f x 是偶函数，则两个函数f (x )和g (x )在(0,)+∞内的交点个数是三个，∴a >1,log 3a <1且log 5a >1，∴3<a <5. 故选：D.
12. 【答案】D 【解析】
函数f (x )=31x -关于点(1,0)对称,而f (x )=2sin πx 也关于点(1,0)对称， 由31x -=2，解得x =9，由31x -=−2，解得x =−7，
作出两个函数的图象,由图象可知两个图象共有17个交点,除(1,0)外， 其余16个交点分别关于(1,0)对称，设对称的两个交点的横坐标分别为x 1,x 2， 则x 1+x 2=2，则所有交点的横坐标之和为2×8+1=17，
故选：D
13. 【答案】0，3-22.
【解析】试题分析：((3))(1)0f f f -==，当1x ≥时，()223f x ≥-，当且仅当2x =
时，
等号成立，当x<1时，()0f x ≥，当且仅当x=0时，等号成立，故()f x 最小值为223- 14. 【答案】①③【解析】f （x ）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1=
1sin 2x
+-sin2x-1．
∵f （x+π）=f （x ），∴f （x ）是周期为π的函数，①正确；
∵f(4π)≠f(34π)，∴f （x ）的图象不关于x=2π
对称，②错误；
∵f （x ）是周期为π的函数，故只需研究f （x ）在（0，π]上的最小值，
当0≤sin2x≤1时，即x ∈（0，2π
]时，f （x ）=1sin 2x +-sin2x-1，令t=1sin 2x +，
则f （x ）转化为g （t ）=-t 2+t ，t ∈[1，2]，求得g （t ）∈[2-2，0]；
当-1≤sin2x≤0时，即x ∈（2π
，π]时，同理求得g （t ）∈[0，2]．
∴f （x ）的最小值为2-2，命题③正确；
由③可知，当x ∈（0，2π
]，即t ∈[1，2 ]时，g （t ）在[1，2]上单调递减， t =1sin 2x +在（0，4π]上递增，在(4π，2π
]上递减，
∴f （x ）在（0，4π]上递减，在(4π，2π]上递增．当x ∈（2π
，π]时，
同理可得f （x ）在(2π，34π
]上递增，在(34π，π]上递减．
∵f （x ）为连续函数，故f （x ）在[4π，34π
]上递增．又f （x ）的周期为π，
∴f （x ）的单调递增区间为[kπ+4π
，kπ+34π]（k ∈Z ），④错误；
由已知函数解析式知，当且仅当sin2x=0时，f （x ）=0，
当x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π
，π，∵2015=2×1007+1，
∴当1007.5＜n≤1008时，f （x ）在（0，nπ）内恰有2015个零点，命题⑤错误． 【思路点拨】把函数f （x ）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1化为f （x ）=
1sin 2x
+-sin2x-1，然后直接由
周期的定义求周期判断①；由f(4π
)≠f(34π) 判断②；换元后利用二次函数求最值判断③；借助
于复合函数的单调性判断④；求出函数在（0，π]内的零点后分析使得f （x ）在（0，nπ）内恰有2015个零点的n 的取值范围判断⑤． 15. 【答案】
5
16 【解析】由f (x +4)=f (x )，得函数的周期是4，则f (294)=f (8−34)=f (−34
)， ∵f (x )是奇函数，∴，f (−
34)=−f (34)=−34×14=−316 f (416)=f (8−76)=f (−76)=−f (76)=−sin 76p =sin 6
p =
1
2
则f (
294)+f (416
)=12−316=516 故答案为：5
16
16. .【答案】(−∞，7
4
)【解析】①当a −2=0,即a =2时,f (x )=2x −4，图象是斜率为2在y 轴上的截距为−4
的一条直线，不满足图象恒在x 轴下方；
②当a −2>0时,函数f (x )=(a −2)2
x +2x −4是二次函数，图象是开口向上的抛物线，不满足图象恒在x 轴下方；
③当a −2<0时,要保证函数f (x )=(a −2)2
x +2x −4的图象恒在x 轴下方，则△<0,22∆≥−4×(a −2)×(−4)=16a-28<0,解得：a <
7
4
. ∴满足函数f (x )=(a −2)2
x +2x −4的图象恒在x 轴下方的a 的取值范围是(−∞, 74
). 17. 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e. (2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ] e x [](2)(2)x x a x a e =+⋅-- 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a ，或x ＝a －2，
由a ≠2
3
知，－2a ≠a －2.
以下分两种情况讨论：
①若a >2
3
，则－2a <a －2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－2a )
－2a (－2a ，a －2)
a －2 (a －2，＋∞)
f ′(x ) ＋
0 －
＋
f (x )
极大值
极小值
所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数．
函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值为f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －
2a .
函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值为f (a －2)，且f (a －2)＝(4-3a )e a －
2.
②若a <2
3
，则－2a >a －2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
a －2
(a －2，－2a )
－2a
(－2a ，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋
f (x )
极大值
极小值
所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数．
函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4-3a )e a －
2. 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a
.
18. 解：（1）当3
1-=a 时，323
1)1()(x e x x f x
-
-= 2
2
'
)1(2)(x e x e x x f x
x
-+-= )1)(2(2
-+=x
e x x 令0)('
>x f ，得0>x 或02<<-x ；令0)('
<x f ，得2-<x
∴)(x f 的单调递增区间为),0(,)0,2(∞+-
)(x f 的单调递减区间为)2,(--∞ （2）3
2
)1()(ax e x x f x
+-=)1(2
ax e x x
+-= 令),0[1)(+∞∈+-=x ax
e x g x
a e x g x +=)('
当1-≥a 时，)(,0)('
x g a e x g x
>+=在),0[∞+上为增函数. 而,0)0(=g 从而当0≥x 时，0)(≥x g ，即)(x f 0≥恒成立. 若当1-<a 时，令0)('
=+=a e x g x
，得)ln(a x -=
当))ln(,0(a x -∈时，)(,0)('x g x g <在))ln(,0(a -上是减函数， 而,0)0(=g 从而当))ln(,0(a x -∈时，0)(<x g ，即0)(<x f
综上可得a 的取值范围为),1[+∞-.
19. 解：（1）)0(4
2)(2>-=
'x x
x x f ，当)2,1[∈x 时，0)(<'x f ．当(
]
e x ,2∈时，0)(>'x
f ，
又014)1()(2
>-+-=-e f e f ，故4)()(2max -==e e f x f ，当e x =时，取等号
（2）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，
方程x
x a ln 2=-根的个数。

设()x g =x x ln 2
， x
x x x
x x x x x g 222
ln )1ln 2(ln 1
ln 2)(-=-=
'
当()
e x ,1∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 递减，当]e e x ,(∈时，0)(>'x g ，函数)(x g 递增。

又2
)(e e g =，e e g 2)(=，作出)(x g y =与直线a y -=的图像，由图像知：
当2
2e a e ≤-<时，即e a e 22
-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根；
当2
e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x
f 有1个根；
当e a 2->时，方程()0=x f 有0个根；
（3）当0>a 时，)(x f 在],1[e x ∈时是增函数，又函数x
y 1
=
是减函数，不妨设e x x ≤≤≤211，则()()2
1211
1x x x f x f -
≤
-等价于211211)()(x x x f x f -≤- 即11221)(1)(x x f x x f +≤+
，故原题等价于函数()x
x f x h 1
)(+=在],1[e x ∈时是减函数， 012)(2≤-+=
'∴x
x x a x h 恒成立，即221
x x a -≤在],1[e x ∈时恒成立。

221x x y -=Θ在],1[e x ∈时是减函数 221
e e a -≤∴
（其他解法酌情给分）
20. 2'
422211()()x x e x xe f x k x x x ⋅-=--+解：（）3
(2)()
(0)x x e kx x x
--=> x k 0kx 0,e 0kx ≤≤∴->当时，
'()0,2f x x ==令则
(0,2)()(2,)()x f x x f x ∴∈∈+∞当时，单调递减；
当时，单调递增。

()2x g x e kx =-（）令,'()x g x e k =-则
,ln x e k x k ∴==
（2）解：由2
0000()1ln ln f x x x x =+-，得22ln 0ax x -=或00ln 0x x -=（由（1）知不成立舍去），
即a=
20
2lnx x ．
设h(x)=
22lnx x (x>0),则()h x '=22(12ln )x x
-，当0<x<12e 时，(),h x >0，函数h(x)递增；当x>12e 时，(),
h x <0，函数h （x ）递减，所以当x>0时，max ()h x =h(12e )=1e
,所以max 1
a e =
（3）证明：
2223()(ln )(ln )1ln (+ax 1f x ax x x x x x =--+=-+）lnx+ax
22222223
2()()(ln )1(ln )12424
x ax x ax x ax x ax x ax x +++-=-++-=-+-
22222
2()(1)(ln )11244
x ax x ax x ax x ++-=-+-≥-
．
当1<x<2时，2
(4,1)x -∈--，∴ 22
(1)14
x ax --
≥ 21(1)(2)ax ax ax --=-
故()()2f x ax ax -≥，等号若成立，则2
ln 2
1x ax x ax ⎧+=⎪
⎨⎪=⎩
即lnx=x ，由（1）知不成立,
故等号不成立，从而()(2).f x ax ax >-．。