高中数学《圆锥曲线与方程》同步练习1 新人教A版选修1-1

单元测试
A 组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
1.已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）
A 2
B 3
C 5
D 7
2 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（ ）
A
116922=+y x B 1162522=+y x C 1251622=+y x D 19
162
2=+y x 3 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A 双曲线
B 双曲线的一支
C 两条射线
D 一条射线 4 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于
5
3
，则椭圆的方程是（ ） A.
13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.19
252
2=+y x 5 抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）
A
25 B 5 C 2
15 D 10 二．填空（每题6分）
6. 抛物线x y 62
=的准线方程为＿＿＿＿＿
7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________
8. 若曲线
112
2=++k
y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是
9.若椭圆2
2
1x my +=，则它的半长轴长为_______________ 三．解答题（13+14+14）
10.k 为何值时，直线2y kx =+和曲线2
2
236x y +=有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
11. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线的方程
12.椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是椭圆上的一个点，求椭圆的方程
B 组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
1 以椭圆
116
252
2=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A
1481622=-y x B 12792
2=-y x C
1481622=-y x 或127
92
2=-y x D 以上都不对 2 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠2
1π
=
Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）
A 12-
B 2
C 12+
D 22+
3 1F 、2F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）
A 7 B
47 C 2
7
D 257
4 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622
2
=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）
A 2
3x y =或2
3x y -= B 2
3x y =
C x y 92
-=或2
3x y = D 2
3x y -=或x y 92
=
5 过抛物线)0(22
>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）
A
2
p
B p
C p 2
D 无法确定 二．填空：（每题6分）
6．椭圆552
2
=+ky x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________
7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
8.若直线2=-y x 与抛物线x y 42
=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______
9. 椭圆
124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为________________________. 三．解答题（13+14+14）
10．已知点(,)P x y 在曲线
22
21(0)4x y b b
+=>上，求22x y +的最大值.
11 双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程
12. k 代表实数，讨论方程2
2
280kx y +-=所表示的曲线.
C 组题（共50分）
1．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点11
1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．22
2
123FP FP FP +=
Ｃ．2132FP FP FP =+
Ｄ．2
2
13FP FP FP =·
2． 抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F
的直线与抛物线在x 轴上方的部
分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是________________.
3.
已知定点(A -，F 是椭圆
22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ， 使2AM MF +取得最小值时M 点的坐标
4． 设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数
(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使0=⋅OM ，其中点O 为坐标原点
圆锥曲线与方程
A 组题（共100分）
一．选择题： 1．D 2．B 3．D
4．C
5．B
二．填空：
6．3
2
x =-
7．
22
1205
x y -=± 8．0>k 9． 1,2或
三．解答题：
10 解：由22
2236
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22
(23)1260k x kx +++= 2
2
2
14424(23)7248k k k ∆=-+=-
当2
72480k ∆=->，即33k k >
<-或时，直线和曲线有两个公共点；
当2
72480k ∆=-=，即k k =
=或
当2
72480k ∆=-<，即k << 11 解：设抛物线的方程为2
2y px =，则22,21y px
y x ⎧=⎨
=+⎩
消去y 得 21212214(24)10,,24
p x p x x x x x ---+=+=
=
12AB x =-===，
24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或
12 解：Θ焦点为12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22
22
125
y x a a +=-； 点(3,4)P 在椭圆上，2
22
1691,4025
a a a +==-，所以椭圆方程为2214015y x +=.
B 组题（共100分）
一．选择题：
1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 二．填空：
6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24 三．解答题： 10.
解：法一：设点(2cos ,sin )P b θθ，2
2
2
24cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令2
2,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2
424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4
b t = 当
1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044
b
b <≤<≤即时， 2
max 4
|
44
b t b
T T =
==+ 2
2max 4,04
(2)4
2,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩
法二：由
22214x y b +=得2224(1)y x b =-令2
2T x y =+代入得22442y T y b =-+即22224()444b b T y b =--++（1）当222
max 044444b b b b b x y ≤<≤==+即时（2）
2
max 424
b
b b x b y b >>==当
时即时2
2max
4,04
(2)4
2,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩
11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为22
22
19y x a a
-=-,
点4)在曲线上，代入得22
436()a a ==或舍
22
145
y x ∴-=双曲线的方程为
12.解：当0k <时，曲线
22
18
4y x k
-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2
280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或；
当02k <<时，曲线22
184x y k
+=为焦点在x 轴的椭圆；
当2k =时，曲线22
4x y +=为一个圆；
当2k >时，曲线
22
18
4y x k
+=为焦点在y 轴的椭圆 C 组题（共50分）
1．C
2．34
3．显然椭圆
2211612x y +=的14,2,2
a c e ===，记点M 到右准线的距离为MN 则
1
,22
MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +取得最小值，
此时y y M A ==22
11612
x y +=
得x M =±而点M
在第一象限，M ∴
4．解：（1）在PAB △中，2AB =，即222
121222cos 2d d d d θ=+-，
2212124()4sin d d d d θ=-+
，即122d d -==<（常数），
点P 的轨迹C 是以A B ，
为焦点，实轴长2a =的双曲线
方程为：
22
11x y λλ
-=- （2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上
即
211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<
，所以1
2
λ= ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-
由22
11(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩
得：2222
(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦
，
由题意知：2
(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，
所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122
(1)()(1)k x x k λλλλ--+=-- 于是：22
2
12122
(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--
因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以
2121222
122212(1)0(1)1210112310
01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒
<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩
由①②知，
12
23
λ<≤。