2020-2021学年北京师大二附中西城实验学校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京师大二附中西城实验学校九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.抛物线y=(x−4)2−5的顶点坐标和开口方向分别是()
A. (4,−5)，开口向上
B. (4,−5)，开口向下
C. (−4,−5)，开口向上
D. (−4,−5)，开口向下
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=80°，则∠ABC的
度数是()
A. 40°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
3.如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为
()
A. 20°
B. 40°
C. 60°
D. 70°
4.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE//BC，
若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是()
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
5.关于反比例函数y=2
的图象，下列说法中，正确的是()
x
A. 图象的两个分支分别位于第二、第四象限
B. 图象的两个分支关于y轴对称
C. 图象经过点(1,1)
D. 当x>0时，y随x增大而减小
6.如果函数y=x2+4x−m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是()
A. m≤4
B. m<4
C. m≥−4
D. m>−4
7.已知：如图，△ABC中，DE//BC，AE
EC =5
3
.则S△ADE
S△ABC
的值为()
A. 3
5
B. 5
8
C. 25
64
D. 25
9
8.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直
线x=1，如果关于x的方程ax2+bx−8=0(a≠0)
的一个根为4，那么该方程的另一个根为()
A. −4
B. −2
C. 1
D. 3
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.已知x：y=1：2，则(x+y)：y=______．
10.若A(−4,y1)，B(2,y2)为二次函数y=−(x+2)2+3的图象上的两个点，则
y1______y2.(填“>”，“=”或“<”)
11.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2,4)，B(−4,0)，O(0,0)，以原点O为位似
中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为1
2
．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠
0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)交于点A(0,4)，
B(3,1)，当y1≤y2时，x的取值范围是______．
13.如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF
的面积是3，则反比例函数的解析式为______ ．
14.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是______ (请填上编号)．
15.如图，直线y=x−4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以
每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间________秒时，直线MN恰好与圆相切．
16.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
小明的做法如下：
如图
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．
所以∠APB=∠ACB．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：
(1)点O为△ABC外接圆圆心(即OA=OB=OC)的依据是______；
(2)∠APB=∠ACB的依据是______．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）
17.如果二次函数图象经过点(−1,0)，(3,0)，(0,−6)，求二次函数的表达式．
18.如图，在△ABC与△ADE中，AB
AD =AC
AE
，且∠EAC=∠DAB.
求证：△ABC～△ADE．
(x>0)的19.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6
x
图象交于A(m,6)，B(3,n)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使kx+b<6
成立的x的取值范围；
x
(3)求△AOB的面积．
20.在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线
y=−x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为(−1,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D的坐标为(0,1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是
以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
21.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一
部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25.求⊙O的半径．
22.已知二次函数y=−2x2+8x−6(a≠0)
(1)将其化成y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的形式______；
(2)顶点坐标______对称轴方程______；
(3)用五点法画出二次函数的图象；
(4)当0<x≤3时，写出y的取值范围______．
23.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径
的半圆O交AB于F，E是BC的中点．试确定EF与半圆O的
位置关系，并证明你的结论．
24.在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：
已知：如图在△ABC中，点D是BA边延长线上一动点，点F在BC上，且CF
BF =1
2
，连
接DF交AC于点E．
(1)如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出AD
AB
的值；
(2)如图2，当DE
EF =a(a>0)时，请求出AD
AB
的值(用含a的代数式表示)．
思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：
甲：过点F作FG//AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；
乙：过点F作FG//AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；
丙：过点D作DG//BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；
老师说：“这三位同学的想法都可以”．
请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并求出第(2)问AD的值．
25.下面给出六个函数解析式：
y=1
2x2，y=√3x2+1，y=−x2−1
2
|x|，y=2x2−3|x|−1，y=−x2+2|x|+1，
y=−3x2−|x|−4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
(1)观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y=______，其中x为自变量；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y=−x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
(3)对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
③存在某个函数，当x>m(m为正数)时，y随x的增大而增大，当x<−m时，y随
x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是______；
(4)结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程−x2+2|x|+1=−x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为______．
(x>0)的图象上，过P作直线PA⊥x轴26.在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y=4
x
(x>0)的图于点A，交直线y=x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B.交函数y=4
x 象于点Q．
(1)若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；
(2)若点P的横坐标为t，
①求点Q的坐标(用含t的式子表示)；
②直接写出线段PQ的长(用含t的式子表示)．
27.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2px+q．
(1)当p=2时，
②若点A(−1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2>y1，令x2=m，则m的取值范
围是______；
(2)已知点M(3,2)，将点M向左平移5个单位长度，得到点N.当q=6时，若抛物线
与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求p的取值范围为______．
28.对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．
若点M是边BC上的一个动点(M不与B，C重合)，则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．
(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半
径长；
②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
(2)在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(3,0)，点P在直线y=√3
x上运动(P不与
3
≤R≤1时，求点P的横坐标t的O重合)，将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当3
4
取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，根据y=a(x−ℎ)2+k，a>0时图象开口向上，a<0时图象开口向下，顶点坐标是(ℎ,k)进行作答即可．
【解答】
解：由y=(x−4)2−5，得
开口方向向上，
顶点坐标(4,−5)．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC=180°−∠ADC=100°，
故选：C．
根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=35°，
∴∠AOB=2∠ACB=70°．
故选：D．
直接根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AB的长度．
根据题意知两平行线DE//BC间的线段成比例AD
AB =AE
AC
，据此可以求得AC的长度，所以
EC=AC−AE．
【解答】
解：∵AD=6，BD=2，∴AB=AD+BD=8；又∵DE//BC，AE=9，
∴AD
AB =AE
AC
，
∴AC=12，
∴EC=AC−AE=12−9=3；
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：∵k=2>0，∴图象位于一三象限，故A不正确，
反比例函数的图象关于直线y=x或y=−x成轴对称，不关于y轴对称，因此B是不正确的，
∵1×1≠2，∴图象不过(1,1)点，因此C是不正确的，
∵k=2>0，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小因此D是正确的，故选：D．
反比例函数y=2
x
的图象，是位于第一、三象限的双曲线，在每个象限内y随x的增大而减小，双曲线关于直线y=x，或y=−x成轴对称，关于原点(0,0)成中心对称，图象上点的坐标满足xy=2，即纵横坐标的积为2．
考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，得出关于m的不等式是解此题的关键.根据已知得出方程x2+4x−m=0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：∵函数y=x2+4x−m的图象与x轴有公共点，
∴方程x2+4x−m=0有两个的实数解，即△=42−4×1×(−m)≥0，
解得：m≥−4．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AE
EC =5
3
．
∴AE
AC =5
8
，
∴S△ADE
S△ABC =(AE
AC
)2=25
64
．
故选：C．
证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．
【解答】
解∵关于x的方程ax2+bx−8=0，有一个根为4，
∴抛物线y=ax2+bx−8与x轴的一个交点为(4,0)，
∵抛物线y=ax2+bx−8的对称轴与y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴相同，为x=1，∴抛物线y=ax2+bx−8与x轴的另一个交点为(−2,0)，
∴方程ax2+bx−8=0的另一个根为x=−2．
故选B．
9.【答案】3：2
【解析】解：∵x：y=1：2，
∴y=2x，
∴(x+y)：y=3x：2x=3：2．
故答案为3：2．
首先根据已知条件x：y=1：2，得出y=2x，然后代入所求式子即可．
解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．10.【答案】>
【解析】解：∵A(−4,y1)，B(2,y2)为二次函数y=−(x+2)2+3的图象上的两个点，∴y1=−(−4+2)2+3=−1，y2=−(2+2)2+3=−13．
∴y1>y2．
故答案为：>．
根据点A、B的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出y1、y2的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键．
11.【答案】解：如图所示：即为所求．
【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点的位置进而得出答案．
本题考查了位似变换，正确得出对应点位置，注意位似三角形在位似中心的同侧还是异侧是解题的关键．
12.【答案】0≤x≤3
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此；根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】
解：∵两函数图象交于点A(0,4)，B(3,1)，
∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．
故答案为0≤x≤3．
13.【答案】y=−3
x
【解析】解：由图象上的点所构成的矩形面积为3可知，
S=|k|=3，k=±3．
又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k<0，
．
则k=−3，所以反比例函数的解析式为y=−3
x
．
故答案为：y=−3
x
因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式．
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，主要考查了反比例函数y=k
x
所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14.【答案】①③
【解析】解：∵①中的三角形的三边分别是：2，√2，√10；
②中的三角形的三边分别是：3，√2，√5；
③中的三角形的三边分别是：2√2，2，2√5；
④中的三角形的三边分别是：3，√17，4√2；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1：√2
∴①与③相似．
故答案为：①③．
分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．此题主要考查相似三角形的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
15.【答案】4−2√2或4+2√2
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出点E、M的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度．
作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+ b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论；【解答】
解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示，
设直线EF的解析式为y=x+b，即x−y+b=0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为2，
∴1
2b2=1
2
×2×√2|b|，
解得：b=2√2或b=−2√2，
∴直线EF的解析式为y=x+2√2或y=x−2√2，
∴点E的坐标为(2√2,0)或(−2√2,0)，
令y=x−4中y=0，则x=4，
∴点M(4,0)，
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为4−2√2秒或4+2√2秒，
故答案为：4−2√2或4+2√2．
16.【答案】(1)①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换;
(2)同弧所对的圆周角相等．
【解析】解：(1)如图2中，
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，
∴OA=OB，OB=OC(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)，
∴OA=OB=OC(等量代换)
故答案为①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换．
(2)∵AB⏜=AB⏜，
∴∠APB=∠ACB(同弧所对的圆周角相等)．
故答案为同弧所对的圆周角相等．
(1)根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．
(2)根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
本题考查作图−复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型．
17.【答案】解：∵抛物线经过点(−1,0)，(3,0)，
∴设y=a(x+1)(x−3)，
把(0,−6)代入y=a(x+1)(x−3)得−6=−3a，
解得a=2，
∴y=2(x+1)(x−3)=2x2−4x−6．
【解析】设抛物线交点式y=a(x+1)(x−3)，然后代入(0,−6)求解．
本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，根据图象经过的点选择合适的解析式求解．
18.【答案】解：：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵AB AD =AC AE ，
∴△ABC∽△ADE ．
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
19.【答案】解：(1)∵点A(m,6)，B(3,n)两点在反比例函数
y =6
x (x >0)的图象上，
∴m =1，n =2，
即A(1,6)，B(3,2)．
又∵点A(m,6)，B(3,n)两点在一次函数y =kx +b 的图象上，
∴{6=k +b 2=3k +b ． 解得{k =−2b =8
， 则该一次函数的解析式为：y =−2x +8；
(2)根据图象可知使kx +b <6
x 成立的x 的取值范围是0<x <1或x >3；
(3)分别过点A 、B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别是E 、C 点．直线AB 交x 轴于D 点． 令−2x +8=0，得x =4，即D(4,0)．
∵A(1,6)，B(3,2)，
∴AE =6，BC =2，
∴S △AOB =S △AOD −S △BOD =12×4×6−12×4×2=8．
【解析】(1)先把A 、B 点坐标代入y =6x 求出m 、n 的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k 、b 的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
(2)根据图象可以直接写出答案；
(3)分别过点A 、B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别是E 、C 点．直线AB 交x 轴于D 点．S △AOB =S △AOD −S △BOD ，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由
解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
20.【答案】解：(1)由题意可求点A 的坐标为(3,0)．
将点A(3,0)和点B(−1,0)代入y =−x 2+bx +c ，
得 {0=−9+3b +c 0=−1−b +c.
解得 {b =2c =3.
∴抛物线的解析式y =−x 2+2x +3.
(2)如图，
∵点C 的坐标为(0,3)，点D(1,0)，
∴满足条件的点P 的纵坐标为2．
∴−x 2+2x +3=2．
解得 x 1=1+√2,x 2=1−√2．
∴点P 的坐标为(1+√2,2)或(1−√2,2)．
【解析】(1)求出A 、B 坐标，利用待定点C 的坐标为(0,3)，点D(1,0)，
(2)由点C 的坐标为(0,3)，点D(1,0)，可知满足条件的点P 的纵坐标为2，解方程−x 2+2x +3=2即可得到点P 的横坐标，由此即可解决问题．
本题考查抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：如图，连接OC ，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM=MD．
∵CD=10，
∴CM=5．
设OC=x，则OM=25−x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+(25−x)2=x2．
解得x=13．
∴⊙O的半径为13．
【解析】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=MD=5，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．
22.【答案】y=−2(x−2)2+2(2,2)直线x=2−6<y≤2
【解析】解：(1)y=−2x2+8x−6=−2(x−2)2+2，
故答案为y=−2(x−2)2+2；
(2)顶点为(2,2)，对称轴为直线x=2，
故答案为(2,2)，直线x=2；
(3)列表：
描点、连线，画出函数图象如图：
(4)由图象可知，当0<x≤3时，−6<y≤2，
故答案为−6<y≤2．
(1)直接利用配方法写成顶点式的形式即可；
(2)根据顶点式即可求得；
(3)利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可；
(4)利用函数图象得出y的取值范围．
此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及二次函数图象画法和利用图象得出函数值的取值范围，利用数形结合得出是解题关键．
23.【答案】解：结论：∴EF是半圆C的切线
理由：：连接OE，CF．
∵AC是直径，∴∠AFC=90°
∴∠BFC=90°
又∵E是BC的中点，
∴EF=EC
∴∠EFC=∠ECF
∵OC=OF
∴∠OFC=∠FCO，
∴∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°
∴∠EFC+∠OFC=90°
即∠EFO=90°
∴OF⊥EF
∴EF是⊙C的切线
【解析】想办法证明OF⊥EF即可解决问题．
本题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)甲同学的想法：过点F作FG//AB交AC于点G．
∴∠GFE=∠ADE，∠FGE=∠DAE
∴△AED∽△GEF．
∴AD
GF =ED
EF
．
∵E为DF的中点，∴ED=EF．
∴AD=GF．
∵FG//AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴GF
AB =CF
CB
．
∵CF
BF =1
2
，
∴CF
CB =1
3
．
∴AD
AB =GF
AB
=CF
CB
=1
3
．
乙同学的想法：过点F作FG//AC交AB于点G．
∴AD
AG =ED
EF
．
∵E为DF的中点，
∴ED=EF．∴AD=AG．∵FG//AC，
∴AG
AB =CF
CB
．
∵CF
BF =1
2
，
∴CF
CB =1
3
．
∴AD
AB =AG
AB
=CF
CB
=1
3
．
丙同学的想法：过点D作DG//BC交CA延长线于点G．
∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE
∴△GDE∽△CFE．
∴GD
CF =ED
EF
．
∵E为DF的中点，
∴ED=EF．
∴DG=FC．
∵DG//BC，
∴∠C=∠G，∠B=∠ADG ∴△ADG∽△ABC．
∴AD
AB =DG
BC
．
∵CF
BF =1
2
，
∴CF
BC =1
3
．
∴AD
AB =DG
BC
=CF
BC
=1
3
．
(2)如图2，过点D作DG//BC交CA延长线于点G．
∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE ∴△GDE∽△CFE．
∴GD
CF =ED
EF
．
∵DE
EF
=a，
∴ED=aEF．
∴DG=aFC．
∵DG//BC，
∴∠C=∠G，∠B=∠ADG ∴△ADG∽△ABC．
∴AD
AB =DG
BC
．
∵CF
BF =1
2
，
∴CF
BC =1
3
，即BC=3CF．
∴AD
AB =DG
BC
=aCF
3CF
=a
3
．
【解析】(1)甲：过点F作FG//AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；乙：过点F作FG//AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；丙：过点D作DG//BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；任选一种想法进行求解即可；
(2)过点D作DG//BC交CA延长线于点G.根据△GDE∽△CFE，得出GD
CF =ED
EF
，进而得到
DG=aFC.根据△ADG∽△ABC，可得AD
AB =DG
BC
.再根据CF
BF
=1
2
，即可得出BC=3CF，进而
得到AD
AB
的值．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例进行推导．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似
三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
25.【答案】ax2+b|x|+c(a,b,c是常数，a≠0)①③−1，0
【解析】解：(1)①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，
可以表示为形如：y=ax2+b|x|+c，(a,b,c是常数，a≠0)
故答案为：y=ax2+b|x|+c，(a,b,c是常数，a≠0)．
(2)图象如图1所示．
(3)观察图象可知：
①函数图象关于y轴对称，正确；
②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；
x2，当x>m(m为正数)时，y随x的增大而增大，当x<−m时，③存在某个函数，y=1
2
y随x的增大而减小，正确；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．
故答案为①③．
(4)
观察图2可知，关于x的方程−x2+2|x|+1=−x+k有一个实数根为3，
则该方程其它的实数根为−1，0．
故答案为−1，0．
(1)观察这些函数解析式，它们都具有共同的特点，即可以表示；
(2)用描点法将这个函数的图象补充完整即可；
(3)观察图象即可得结论；
①函数图象关于y轴对称；
②有些函数既有最大值，或有最小值；
③存在某个函数，当x>m(m为正数)时，y随x的增大而增大，当x<−m时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个；
(4)观察函数图象即可得结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的最值，解决本题的关键是准确画出函数图象并根据图象回答问题．
26.【答案】解：(1)∵点P在函数y=4
x
(x>0)的
图象上，
∴当点P的横坐标为1时，y=4，
∴点P的纵坐标为4，
∵PA交直线y=x于点M，
∴当点P的横坐标为1时，y=1，
∴点M的坐标为(1,1)．
(2)①∵点P的横坐标为t，点P在函数y=4
x
(x>0)的图象上，
∴点P的坐标为(t,4
t
).
∵直线PA⊥x轴，交直线y=x于点M，
∴点M的坐标为(t,t)．
∵直线MB⊥y轴，交函数y=4
x
(x>0)的图象于点Q，
∴点Q的坐标为(4
t
,t)；
②点P的坐标为(t,4
t )，点Q的坐标为(4
t
,t)．
∴PM=QM=|t−4
t
|，且△PQM是等腰直角三角形，
∴线段PQ的长为√2|t−4
t
|.
【解析】(1)依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点P的纵坐标，以及点M的坐标；
(2)①依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点Q的坐标；
②依据点P的坐标为(t,4
t )，点Q的坐标为(4
t
,t)，即可得到PM=QM=|t−4
t
|，且△PQM
是等腰直角三角形，进而得到线段PQ的长．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
27.【答案】2q−4m<−1或m>5p≤−2或p=2或p>13
6
【解析】解：(1)①∵p=2，
∴抛物线为y=x2−4x+q=(x−2)2+q−4，
∴抛物线的顶点坐标为(2,q−4)，
故答案为：2；q−4；
②∵抛物线的对称轴为直线x=2，点A(−1,y1)，
∴当x=5时，y=y1，
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点B(x2,y2)，使得y2>y1时，x2<−1或x2>5，即m的取值范围是m<−1或m>5．
故答案为：m<−1或m>5；
(2)∵点M(3,2)，将点M向左平移5个单位长度，得到点N，
∴点N的坐标为(−2,2)．
∵q=6，
∴抛物线为y=x2−2px+6，
当抛物线经过点M(3,2)时，2=32−6p+6，解得p=13
6
；
当抛物线经过点N(−2,2)时，2=(−2)2+4p+6，解得p=−2；
当抛物线的顶点在线段MN上时，6−p2=2，解得p=±2；
抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象求得p的取值范围为p≤−2或p=2或
p>13
．
6
(1)①将p=2代入抛物线解析式，再将其写成顶点式即可得出答案；②根据①中的顶点坐标得出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质可得答案；
(2)由MN//x轴，符合抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象分别得出关于p 的方程，从而求得p的取值范围．
本题考查了二次函数的图象与性质，明确二次函数的性质、数形结合并分类讨论是解题的关键．
28.【答案】解：(1)①如图1，
作⊙D与AC相切于点E，
∴∠CED=90°，
∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠C=45°，
∴DE=CD⋅sin45°=√
2，
∴点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是√2；
②如图2，
以BC的中点O为圆心作⊙O与AB、AC相切于D、E，连接OD，OE，
∴∠ODA=∠OEA=∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∵∠B=∠BOD=45°，
∴OD=BD，
∴OD=BD=AD=1，
∴BC关于△ABC的内半圆的半径长是1；
(3)如图3，
第31页，共33页
当3
4≤R<1时，⊙I与y=√3
3
x切于点A，过E作⊙I的切线，切点是B，交OA于P，
作AC⊥OE于C，
∴AC=√3
3
OC，
∴tan∠AOC=AC
OC =√3
3
，
∴∠AOC=30°，
连接AI，BI，作PQ⊥OE于Q，设PQ=x，
∴OQ=PQ
tan∠AOC
=√3x，
在Rt△AOI中，
OI=2AI=2R，
∴IE=3−2R，
在Rt△EBI和Rt△EQP中，
BE=√IE2−BI2=√(3−2R)2−R2=√3R2−12R+9，PQ=x，QE=3−√3R，
∵tan∠BEI=BI
BE =PQ
QE
，
∴
√3R2−12R+9=
3−√3x
，
∴x=
√3R2−12R+9+√3R
，
∴x=
√9⋅
R2−12⋅
R
+3+√3
，
设a=1
R
，
∴3
4
≤R<1，
∴1<a≤4
3
，
第32页，共33页
第33页，共33页 ∴2x =6√9a 2−12a+3+√
3 =√9(a−2
3)2−1+√3
， ∴当a =43时，√9(a −23
)2+3最大， ∴2x 最小=2+√3=12−6√3，
∴t ≥12−6√3，
当R =1时，如图4，
OI =2AI =2，
∴点E 在⊙I 上，
∴t ≥3，
综上所述当3
4≤R ≤1时，t ≥12−6√3．
【解析】(1)①作⊙D 与AC 相切，求DE 即可；
②作⊙O 与与AB 和AC 相切，求其半径即可；
(3)y =√33与x 轴正半轴的夹角是30°，当34≤R <1时，⊙I 与y =√33x 切于点A ，过E 作⊙I 的切线，切点是B ，交OA 于P ，设PQ =x ，则OI =√3x ，QE =3−√3x ，可由△EBI∽△EQP(或用三角函数)得BI BE =PQ QE ，设1R =a ，从而表示出√9a 2−12a+3+√3，求出2x 的范围，当R =1时，t ≥3，从而得出t 的范围．
本题考查了新定义的阅读理解，主要转化为与圆有关的位置和计算，相似三角形的判定和性质，二次函数及一次函数图象及其性质等知识，解决问题的关键作出图形，变形代数式．。