数学单调性与最大小值探究教案

数学单调性与最大小值探究教案
一、教学目标
1.掌握单调性的基本概念，学习并理解单调性的性质；
2.探究函数的最大值和最小值，并对其性质进行分析和讨论；
3.学习如何利用单调性与最大小值来解决实际问题。

二、教学重难点
1.单调性的基本概念与特点；
2.函数最值的求解方法；
3.实际问题的解决方法。

三、教学方法
1.讲授法：通过PPT、板书等方式，对单调性和最大小值的相关知识进行系统讲解，并进
行实例分析。

2.互动法：通过举手发言和讨论的方式，引导学生积极思考和深入探究单调性和最大小值
的相关概念和性质。

3.实验法：通过实例分析和计算，让学生在实践中体验自己的掌握情况。

四、教学过程
1.引入（10分钟）
假设你是一名商人，你生产的产品能带来500元的收益，但是每多生产1件，成本就会增加5元。

那么你准备生产多少件产品，才能使收益最大？这个问题可以通过什么方法来解决呢？
2.讲解单调性的基本概念（30分钟）
单调性是指函数值随着自变量的变化而单调递增或单调递减。

简单说就是函数在一定区间内呈现出单调的变化趋势。

举例如下：比如函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么当x1<x2时，f(x1)<f(x2)。

如果y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么当x1<x2时，f(x1)>f(x2)。

所以，掌握单调性是研究函数性质和求最值的前提条件。

3.探究最值的求解方法（40分钟）
最值是指函数在定义域内，函数值的最大值或最小值。

对于一元函数，我们可以通过导数的相关知识来判断最值的位置。

具体的步骤如下：
（1）求出函数的一阶导数或者二阶导数，并求出其零点；
（2）用二阶导数判断拐点的位置；
（3）用定义域端点判断最大值或最小值的位置。

这个操作看起来比较抽象，我们可以借助例子来解析：
例1：设函数y=2x^3-9x^2+12x+5，求其最大值与最小值。

解：首先求出一阶导数y'=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)。

由y'=0可得x=1,2。

求出二阶导数y''=12x-18。

当x=1时，y''<0，故x=1是函数f(x)在[-∞,∞]上的极大值点；
当x=2时，y''>0，故x=2是函数f(x)在[-∞,∞]上的极小值点，即函数f(x)的最小值为f(2)=5。

4.应用题解析（40分钟）
实际问题总是比较具有代表性，我们可以通过例子来解析最大值和最小值的求解过程。

例2：一个矩形的长和宽之和是20米，这个矩形的面积最大是多少？
解：设矩形的长为x，宽为y，则x+y=20，设矩形的面积为S=xy。

因为S=x(20-x)，所以S'=20-2x，令S'=0，得到x=10。

因为S''=-2<0，所以x=10是S的极大值点，故y=10， x=10， S=100。

得出结论：当一矩形的长和宽之和为20米时，其面积最大为100平方米，长和宽为10米。

五、教学反思
本次教学旨在让学生从例子中深入了解单调性和最大小值的相关知识，并能在实践中运用掌握的知识解决实际问题。

在教学中，我使用了讲授法、互动法和实验法相互结合的教学方法，使学生能够积极思考和探索，培养了学生的创新思维和解决实际问题的能力。

同时，也要注意提高教学思路的灵活性，注重学生的实际需要，从而更好地满足学生的学习需求。