青岛版九年级上册数学《圆周角》

∠ABC＝∠BAD．
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2．某种工件有一个凹面，凹面的横截面为半圆时为合
格品．利用一个角尺可以检验制作的工件是否合格．下列四
种情况中，合格的工件是__________，为什么？
解：（3）； 因为只有（3）符合90°的圆周角所对的弦是直径．
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这节课我们主要学习了圆周角定理的推论2和推论3， 它们的内容分别是： 推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧相等． 推理3：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径． 其中推论3为在圆中确定直角、构造垂直关系或确定 一个圆的直径创造了条件．
反之亦然．这些结论在等圆中也同样成立．
5
推论2：同弧或等弧上的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
6
C
（3）如图，在⊙O中，AB是圆 的直径，C是圆上异于A，B的一点． ∠ACB的度数是多少？为什么？ 答：因为直径AB分⊙O成两个半圆，
A
O B
所以每个半圆的度数是180°．
所以圆周角∠ACB＝90°．
A
C F D O
E
B
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如图，AB是⊙O的直径，E为 ⊙O上的一点，C是AE的中点． CD⊥AB，垂足为点D．AE交CD于点 F，连接AC．求证：AF＝CF．
A
C F D O
E
B
∴∠BDC＝90°．
∴∠BCD+∠B＝90°． ∴∠B＝∠CAE． ∴∠ACD＝∠CAE． ∴AF＝CF．
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∴∠ACD＝∠B．
BC的中点，∠BAC＝120°，过点B作⊙O的
D
直径BD，连接AD．若AD＝6，求AC的长．
∴∠D＝30°．
C A
O
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°．
B
在Rt△DAB中，∵AD＝6， 3 ∴AB＝AD·tan D＝6× =2 3 ． 3 ∴AC＝AB＝ 2 3 ．
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A
例2 如图，AD是△ABC的高，AE是
∵AC＝CE，
B
1．如图，在⊙O中，弦AB//CD．
（1）AD与BC相等吗？为什么？
1
A
8
7
6 5
C
O 4 2 3 D
（2）你能找出图中所有相等的圆周角吗？
解：（1）相等；理由： ∵AB//CD， ∴∠5＝∠1． ∴AD＝BC．
（2）∠1＝∠4＝∠5＝∠8；
∠2＝∠7；
∠3＝∠6；
∠ADC＝∠BCD；
△ABC的外接圆直径，点O为圆心．
△ADC与△ABE相似吗？说明理由．
B E
O D C
解：△ADC∽△ABE．理由如下：
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ABE． ∵∠ACB＝∠AEB， ∴△ADC∽△ABE．
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∴∠ADC＝90°．
例3 如图，BC是⊙O的直径，点A在
那么它们所对的圆周角∠ACB与∠DFE相等
C
F
吗？反之，如果∠ACB与∠DFE都是⊙O的
圆周角，并且∠ACB＝∠DFE，能得到什么结论？如果
在等圆中呢？
D
答：∵AB＝DE，它们所对的圆周角∠ACB与∠DFE的度
数分别与AB，DE的度数的一半相等，所以∠ACB＝∠DFE．
3
观察与思考 （1）如图，在⊙O中，
∠C1，∠C2，∠C3都是AB所对的圆周角，
C1
C2
C3 O
它们的大小有什么关系？由此你能得到什么
结论？
A B
答：因为∠C1，∠C2，∠C3的度数都等于AB度数的一半，
所以∠C1＝∠C2＝∠C3．
由此可得同弧上的圆周角相等．
4
（2）如图，在⊙O中，如果AB＝DE，
7
C
反过来，如果∠ACB是⊙O的圆周 角，∠ACB＝90°，那么它所对的弦 经过圆心吗？为什么？ 答：反过来，因为∠ACB＝90°，
A
O B
所以∠AOB＝180°．
所以点A，O，B在一条直线上，即弦AB经过圆心．
推理3：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的
弦是直径．
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例1 如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧
1
圆周角 （第2课时）
2
1．圆周角是怎么定义的？ 答：顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦， 像这样的角叫做圆周角． 2．上一节课我们学习了哪个定理和推论？ 答：上一节课我们学习了圆周角定理和推论1． 圆周角定理的内容：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半． 推论1的内容：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． 这节课我们继续研究圆周角定理的有关推论．
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谢谢观赏！
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A F B D G O
E
⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，
BE分别交AD、AC于点F、G．判断
C
△FAG的形状，并说明理由．
∴∠ACB+∠DAC＝90°． 又∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠ACB（等弧所对的圆周角相等）． ∴∠DAC＝∠AGB． ∴△FAG是等腰三角形．
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如图，AB是⊙O的直径，E为 ⊙O上的一点，C是AE的中点． CD⊥AB，垂足为点D．AE交CD于点 F，连接AC．求证：AF＝CF． 证明：连接BC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠ACD+∠BCD＝90°． ∵CD⊥AB，
BC的中点，∠BAC＝120°，过点B作⊙O的
D
直径BD，连接AD．若AD＝6，求AC的长．
解：∵A是劣弧BC的中点， ∴AB＝AC． ∴∠ABC＝∠ACB． 在△BAC中， ∵∠BAC＝120°， 1 ∴∠ACB＝ (180 120 ) 30 ． 2
C A
O
B
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例1 如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧
A F B D G O
E
⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，
BE分别交AD、AC于点F、G．判断
C
△FAG的形状，并说明理由．
解：△FAG是等腰三角形． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°（直径所对的圆周角是直角）． ∴∠ABE+∠AGB＝90°． ∵AD⊥BC，
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例3 如图，BC是⊙O的直径，点A在