最新人教版八年级数学上册课件《完全平方公式》部编版PPT
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完全平方公式
新课导入
一块边长为a米的正方形田地，因需要将其边长 增加 b 米．形成四块田地，以种植不同的作物，
用不同的形式表示田地 的总面积， 并进行比较．
b
法一 直接求
总面积=(a+b)2
法二 间接求
a
总面积= a2+ ab+ ab+b2．
等式：(a+b)2= a2+2ab + b2．
a
b
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
（2）（-2a-b）2=_4_a_2_+_4_a_b__+_b_2_．
（3）x2-4xy+___4_y_2___=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+_（__-_2_a_b_)__．
（5）1 a2+__3_a__b_+9b2=（ 1 a+3b）2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2
b
ab
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
a
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
更上一层
（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= 40 .
（6）已知 m+n= 3，mn = 5， 求:(m+3)(n+3)的值.
（7）已知 x+y=4，xy =-13， 求: x2 3xy y2 的值.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式， 则 k=_±__5__.
（4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
整式的平方，则 m=±__2_4__.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
做一做:根据两数和的完全平方公式填空.
(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2
=( x2+12x+36
)
(2)(2a-3b)2=(2a )2-2( 2a)( 3b)+( 3b)2 =(4a2-12ab+9b2 )
=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算:
1、先选择公式;
2、准确代入公式; 3、化简.
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？
（a-b）2与（b-a）2相等吗？
为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
5 、公式中的字母a，b可以表示数，单 项式和多项式。
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.2-2
b a
b a 图15.2-3
议一议
几何解释:
b
a
= a2 + ab + ab + b2
a
b
a−b
b
(a+b)2=a2+2ab+b2
a−b (a−b)2 b(a−b)
（3）(2a 1)2 2a2 2a 1
例3.若 a b 5, ab 6,
求 a2b2 ,a2ab b2.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16
（2）代数式2xy-x2-y2= ( D ) A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2
拓展：
思考题：
已知： x 1 3 x
求： x 2 1 和 ( x 1 )2 的值
x2
x
课堂作业
1.请同学们做课后做一做并相互交流； 2、利用自习时间在课后练习中选择
与本节课有关的内容，写在作业本上； 3.利用晚上时间完成练习册一个课时内容。
学习体会
1、从本节课中你学到了哪些基本知识？ 2、从本节课中你学到了哪些基本技巧？ 3、在这节课中你还有哪些疑虑与困惑？
4
2
你会吗？
选择题
（1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，
那么m的值是（c）
A．4 B．-4 C．±4 D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则
正方形的面积增加了（c ）
A．36cm2
B．12acm2
C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
拓展： 1 1. 20082 2 2008 2009 20092 =_______;
(a-b)2与(b-a)2相等吗? 相等
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2;
(2) (a – b) 2 =a2 – b2.
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
(a首+b平)2方= ，a2尾+平2a方b+，b2
公式特点：
(a乘-积b)的2=2a倍2 放- 2中a央b+。b2
1、左边是一个二项式的完全平方；
2、积为二次三项式；
3、积中两项为两数的平方和；
4、另一项是两数积的2倍，且与乘式 中间的符号相同；
感谢同学们积极配合!
同学们下次见！
1 a
3，求 a 2
1 a2
的值.
小结：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2 、两数和（或差）的平方，等于它们的平
方和，加（或减）它们的积的2倍。
3、注意：项数、符号、字母及其指数；
4、解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2•(2x)•(3y) ;
（3）中间项漏乘了2.
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y)+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y)+( 5y ) 2
2.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若x 2 8x k 2 是一个完全平方公式,
则 k ____4___;
4.请添加一项________，使得 k 2 4是
完全平方式. 4k 4k
5. x y 8, x y 4,求xy.
k2 4
xy 12
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
学一学
例题解析
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=x2 -4xy +4y2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2x−3y)2＝2x2 - 2(2x)(3y) +3y2; (2) (2x+3y)2＝4x2+ 9y2 ； (3) (2x−3y)2＝(2x)2- (2x)(3y)+(3y)2.
解 （1）首项、尾项被平方时, 没有添括号，这 样就只把字母平方而遗漏了系数的平方。
试一试：
下列等式是否成立? 说明理由． (1)(4a+1)2=(1−4a)2；
成立
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
综合训练：
填空题：
一个多项式的每一项，再把所得的积 相加.
(a+b) (m+n)= am+an+ bm+bn
2、探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) =P_2_+_2_p_+_1 (2) (m+2)2= m__2+_4_m__+_4__; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _P_2_-2_p_+_1__; (4) (m-2)2 = _m_2_-4_m__+_4___.
更上一层
（8）已知： a2 ab b，2
求: (a b)2 4, (a b)2 36 的值.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(9)已知:
a2 b2 c2 2a 4b 6c 14 0,
求 : c a b的值.
(10)已知a
(3)(-x-6)2= (-x)2-2(-x)(6) +(-6)2 =x2+12x+36
(4)(3b-2a)2=(3b)2-2(3b)(2a)+(2a)2
=9b2-12ab+4a2
通过观察发现:(x+6)2=(-x-6)2 (2a-3b)2 =(3b-2a)2 思考:(a+b)2与(-a-b)2相等吗? 相等
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2 +8mn+n2
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2=x2 -2•x •2y+(2y)2
新课导入
一块边长为a米的正方形田地，因需要将其边长 增加 b 米．形成四块田地，以种植不同的作物，
用不同的形式表示田地 的总面积， 并进行比较．
b
法一 直接求
总面积=(a+b)2
法二 间接求
a
总面积= a2+ ab+ ab+b2．
等式：(a+b)2= a2+2ab + b2．
a
b
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
（2）（-2a-b）2=_4_a_2_+_4_a_b__+_b_2_．
（3）x2-4xy+___4_y_2___=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+_（__-_2_a_b_)__．
（5）1 a2+__3_a__b_+9b2=（ 1 a+3b）2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2
b
ab
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
a
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
更上一层
（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= 40 .
（6）已知 m+n= 3，mn = 5， 求:(m+3)(n+3)的值.
（7）已知 x+y=4，xy =-13， 求: x2 3xy y2 的值.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式， 则 k=_±__5__.
（4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
整式的平方，则 m=±__2_4__.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
做一做:根据两数和的完全平方公式填空.
(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2
=( x2+12x+36
)
(2)(2a-3b)2=(2a )2-2( 2a)( 3b)+( 3b)2 =(4a2-12ab+9b2 )
=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算:
1、先选择公式;
2、准确代入公式; 3、化简.
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？
（a-b）2与（b-a）2相等吗？
为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
5 、公式中的字母a，b可以表示数，单 项式和多项式。
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.2-2
b a
b a 图15.2-3
议一议
几何解释:
b
a
= a2 + ab + ab + b2
a
b
a−b
b
(a+b)2=a2+2ab+b2
a−b (a−b)2 b(a−b)
（3）(2a 1)2 2a2 2a 1
例3.若 a b 5, ab 6,
求 a2b2 ,a2ab b2.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16
（2）代数式2xy-x2-y2= ( D ) A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2
拓展：
思考题：
已知： x 1 3 x
求： x 2 1 和 ( x 1 )2 的值
x2
x
课堂作业
1.请同学们做课后做一做并相互交流； 2、利用自习时间在课后练习中选择
与本节课有关的内容，写在作业本上； 3.利用晚上时间完成练习册一个课时内容。
学习体会
1、从本节课中你学到了哪些基本知识？ 2、从本节课中你学到了哪些基本技巧？ 3、在这节课中你还有哪些疑虑与困惑？
4
2
你会吗？
选择题
（1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，
那么m的值是（c）
A．4 B．-4 C．±4 D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则
正方形的面积增加了（c ）
A．36cm2
B．12acm2
C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
拓展： 1 1. 20082 2 2008 2009 20092 =_______;
(a-b)2与(b-a)2相等吗? 相等
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2;
(2) (a – b) 2 =a2 – b2.
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
(a首+b平)2方= ，a2尾+平2a方b+，b2
公式特点：
(a乘-积b)的2=2a倍2 放- 2中a央b+。b2
1、左边是一个二项式的完全平方；
2、积为二次三项式；
3、积中两项为两数的平方和；
4、另一项是两数积的2倍，且与乘式 中间的符号相同；
感谢同学们积极配合!
同学们下次见！
1 a
3，求 a 2
1 a2
的值.
小结：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2 、两数和（或差）的平方，等于它们的平
方和，加（或减）它们的积的2倍。
3、注意：项数、符号、字母及其指数；
4、解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2•(2x)•(3y) ;
（3）中间项漏乘了2.
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y)+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y)+( 5y ) 2
2.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若x 2 8x k 2 是一个完全平方公式,
则 k ____4___;
4.请添加一项________，使得 k 2 4是
完全平方式. 4k 4k
5. x y 8, x y 4,求xy.
k2 4
xy 12
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
学一学
例题解析
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=x2 -4xy +4y2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2x−3y)2＝2x2 - 2(2x)(3y) +3y2; (2) (2x+3y)2＝4x2+ 9y2 ； (3) (2x−3y)2＝(2x)2- (2x)(3y)+(3y)2.
解 （1）首项、尾项被平方时, 没有添括号，这 样就只把字母平方而遗漏了系数的平方。
试一试：
下列等式是否成立? 说明理由． (1)(4a+1)2=(1−4a)2；
成立
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
综合训练：
填空题：
一个多项式的每一项，再把所得的积 相加.
(a+b) (m+n)= am+an+ bm+bn
2、探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) =P_2_+_2_p_+_1 (2) (m+2)2= m__2+_4_m__+_4__; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _P_2_-2_p_+_1__; (4) (m-2)2 = _m_2_-4_m__+_4___.
更上一层
（8）已知： a2 ab b，2
求: (a b)2 4, (a b)2 36 的值.
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(9)已知:
a2 b2 c2 2a 4b 6c 14 0,
求 : c a b的值.
(10)已知a
(3)(-x-6)2= (-x)2-2(-x)(6) +(-6)2 =x2+12x+36
(4)(3b-2a)2=(3b)2-2(3b)(2a)+(2a)2
=9b2-12ab+4a2
通过观察发现:(x+6)2=(-x-6)2 (2a-3b)2 =(3b-2a)2 思考:(a+b)2与(-a-b)2相等吗? 相等
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2 +8mn+n2
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2=x2 -2•x •2y+(2y)2