备战2020年中考数学解题方法之探究十法03 反证法专题研究(解析版)

备战2020中考数学解题方法专题研究
专题3 反证法法专题
【方法简介】
反证法是间接论证的方法之一。

亦称“逆证”。

是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。

反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。

在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。

反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。

反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

【真题演练】
1.如果两个实数之和为正数，则这两个数( ).
A．一个是正数，一个是负数；B．两个都是正数；C．至少有一个正数；D．两个都是负数
【答案】 C
【解析】假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
2. （河北省，10，3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（）
A ．BH 垂直分分线段AD
B ．A
C 平分∠BA
D C ．S △ABC =BC ·AH D ．AB=AD
【答案】A
【解答】解：如图，连接CD 、BD ，由步骤一可知CD=CA ，由步骤二可知BD=BA ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知点C 和点B 都在线段AD 的垂直平分线上，故直线BH 是线段AD 的垂直平分线，故选项A 正确；若AC 平分∠BAD ，则∠BAC=∠CAH. ∵直线BH 是线段AD 的垂直平分线，∴∠AHC=90°，∠ACH=90°－∠CAH =90°－∠BAC .∵∠ACH 是△ABC 的外角，∴∠ABC=∠ACH －∠BAC=90°－∠BAC－∠BAC=90°－2∠BAC.但已知中没有“∠ABC=90°－2∠BAC ” 这一条件，故“AC 平分∠BAD ”不一定成立，选项B 不正确；S △ABC =1
2
BC·AH，故选项C 不正确；当AB=AD 时，AB=AD=BD ，此时△ABD 是等边三角形，∠ABC=
12∠ABD =1
2
×60°=30°，但已知中没有“∠ABC=30°”这一条件，故“AB=AD ”不一定成立，选项D 不正确
3. 若0a ≠，则关于的方程0ax b +=的解是唯一的．
【解析】因为0a ≠，则b
x a
=-是0ax b +=的一个解，
假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则
10ax b += ① 20ax b += ②
①-②得 ()120a x x -=
由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则的方程0ax b +=的解是唯一的．
4. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：DE=DF ；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
A
F
E
C
【解析】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵DB=DC，
∴△DEB≌△DFC．
∴DE=DF．
（2）∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等．（方法很多，如∠B=45°或2AB•或DE⊥DF或F 为F为AC中点或DF∥AB等）．
【名词释义】
反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．
用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：
（1）反设：假设结论的反面成立；
（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；
（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．
按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．
1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．
2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．
【典例示例】
例题1：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
【证明】假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。

例题2：已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC
证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中
∵BM＝MA，BP＝PD
∴MP AD ，同理可证PN BC
从而MP ＋PN ＝（AD ＋BC ） ①
这时，BD 的中点不在MN 上
若不然，则由MN ∥AD ，MN ∥BC ，得AD ∥BC 与假设AD BC 矛盾
于是M 、P 、N 三点不共线。

从而MP ＋PN ＞MN ② 由①、②得（AD ＋BC ）＞MN ，这与已知条件MN ＝
（AD ＋BC ） 相矛盾， 故假设AD
BC 不成立，所以AD ∥BC 。

【归纳总结】反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。

反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。

用反证法证明不等式就是最好的应用。

要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。

要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

【强化巩固】
1. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ( )
A ．两个内角是直角
B ．有三个内角是直角
C ．至少有两个内角是直角
D ．没有一个内角是直角 【答案】C
【解析】 “最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.
2. (浙江宁波，10，4分)能说明命题“对于任何实数 a ，||a a >-”是假命题的一个反例可以是( ) A. a = - 2 B.1
3
a = C. a = 1 D.2a =【答案】A
【解析】把a = -2代入||a a >-，得|2|(2)->--，结论不成立，选项A 正确；把1
3
a =
代入||a a >-，
得11
|
|33
>-，结论成立，选项B 不正确；把1a =代入||a a >-，得|1|1>-，结论成立，选项C 不正确；把2a =||a a >-，得|2|2>-，结论成立，选项D 不正确，故选择A .
3. （ 四川省内江市，9，3分）下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C.
【详细解答】解：A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，有可能是等腰梯形，故该选项错误； B. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，有可能是任意四边形或正方形，故该选项错误； C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确；
D. 对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，有可能是菱形，故该选项错误. 故选择C .
4. 求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，
这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，•所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不 等．
5. 求证：两条相交直线有且只有一个交点． 【证明】 假设结论不成立，即有两种可能： 无交点；不只有一个交点．
(1)若直线a ，b 无交点，那么a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 故假设不成立，原命题正确．
6. 在同一平面内，两条直线,a b 都和直线垂直。

求证：a 与b 平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 与b 相交”。

不妨设直线,a b 的交点为M ,,a b 与的交点分别为,P Q ,
如图所示，则0
0PMQ ∠>.
这样，MPQ ∆的内角和PMQ MPQ PQM =∠+∠+∠
000
9090180PMQ =∠++>
这与定理“三角形的内角和等于0
180”相矛盾。

说明假设不成立。

所以，直线a 与b 不相交，即a 与b 平行。

7. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且
AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．
E
B
C D
B'A'
A D'
【解析】显然，若AB CD =则结论成立． 否则，不妨设AB CD >，BC DA >．
如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ； 则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =． 同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =， 则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．
那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，
'''''''
D F C D A B C D AB CD
>-=-=-，矛盾!
即两个四边形均是平行四边形．
8. 如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质
点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s．经过12s后，P、Q分别到达M、•N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由．
（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s．经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN•相似，试求a 的值．
【解析】（1）菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD=24cm．
（2）△AMN是直角三角形，确定理由如下：
12s后，点P走过的路程为4×12=48（cm），
∵AB+BD=48（cm），
∴点M与点D重合．
点Q走过的路程为5×12=60（cm）．
∵DC+CB+1
2
AB=60（cm），
∴点N是AB的中点．
连结MN，∵AM=MB，AN=BN，
∴MN⊥AB．
∴△AMN是直角三角形．
（3）点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12（cm）．
∵1
2
BD=12cm，∴点E是BD的中点．
点Q从N点返回3s走过的路程为3acm．∵△BEF与题（2）中的Rt△AMN相似，又∵∠EBF=∠A=60°，
①若∠BFE=∠ANM=60°．
a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，
∴BF BE AN AM
=．
∴12312 1224
a
-
=．
解得a=2．
（证法2）：在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=1
2
BE．∴12-3a=
1
2
×12．
解得a=2．
b：当点F在BC上时，BF=3a-BN=3a-12．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，
∴BF BE AN AM
=．
∴31212 1224 a-
=．
解得a=6．
（证法2）在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=1
2
BE．∴3a-12=
1
2
×12．
解得a=6．
②若∠BEF=∠ANM=90°，即点F与点C重合，
此时3a=BN+BC=36．
∴a=12．
综上所述，a=2或6或12．。