部编数学八年级上册专题13.2将军饮马(最值模型)专项讲练(解析版)含答案

专题13.2 将军饮马（最值模型） 专项讲练
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

【解题技巧】
题型1: 求两条线段和最小值
例1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在ABC V 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC V 的面积为12，4BC =，则BDM V 周长的最小值是______．
【答案】8
【分析】连接AD ，AM ，由EF 是线段AB 的垂直平分线，得到AM =BM ，则△BDM 的周长
=BD +BM +DM =AM +DM +BD ，要想△BDM 的周长最小，即要使AM +DM 的值最小，故当A 、M 、D 三点共线
时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
1
2
2
BD BC
==，∴
1
12
2
ABC
S AD BC
=×=
△
，
∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
【答案】6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，∴F 是AB 的中点，
∴CF =AD =6，即EP +CP 的最小值为6，故答案为6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
变式2．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC 沿AD 折叠使得顶点C 恰好落在AB 边上的点M 处，D 在BC 上，点P 在线段AD 上移动，若AC ＝6，CD ＝3，BD ＝7，则△PMB 周长的最小值为 ___．
【答案】18
【分析】首先明确要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，再根据翻折的性质可知PM =PC ，从而可得满足PC +PB 最小即可，根据两点之间线段最短确定BC 即为最小值，从而求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知，AM =AC ，PM =PC ，∴M 点为AB 上一个固定点，则BM 长度固定，∵△PMB 周长=PM +PB +BM ，∴要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，
∵PM =PC ，∴满足PC +PB 最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC +PB 最小，如图所示，此时，P 点与D 点重合，PC +PB =BC ，∴△PMB 周长最小值即为BC +BM ，
此时，作DS ⊥AB 于S 点，DT ⊥AC 延长线于T 点，AQ ⊥BC 延长线于Q 点，
由题意，AD 为∠BAC 的角平分线，∴DS =DT ，∵1122
ACD S AC DT CD AQ =
=V g g ，1122ABD S AB DS BD AQ ==V g g ，∴11221122
ABD
ACD AB DS BD AQ S S AC DT CD AQ ==V V g g g g ，即：AB BD AC CD =，∴763AB =，解得：AB =14，∵AM =AC =6，∴BM =14-6=8，∴△PMB 周长最小值为BC +BM =3+7+8=18，故答案为：18
．
【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
变式3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形ABC 的边长为5，A 、B 、1A 三点在一条直线上，且11ABC A BC V V ≌．若D 为线段1BC 上一动点，则AD CD +的最小值是________．
【答案】10
【分析】连接CA 1交BC 1于点E ，C 、A 1关于直线BC 1对称，推出当点D 与B 重合时，AD +CD 的值最小，最小值为线段AA 1的长＝10．
【详解】解：连接CA 1交BC 1于点E ，过点B 作直线l ⊥AB ，如图，
∵△ABC 是等边三角形，11
ABC A BC V V ≌∴11A BC V 是等边三角形，AB =A 1B =5
∵A 、B 、1A 三点在一条直线上，
∴ △ABC 与△A 1BC 1关于直线l 对称，
∵∠ABC ＝∠A 1BC 1＝60°，
∴∠CBC 1＝60°，
∴∠C 1BA 1＝∠C 1BC ，
∵BA 1＝BC ，
∴BD ⊥CA 1，CD ＝DA 1，
∴C 、A 1关于直线BC 1对称，
∴当点D 与B 重合时，AD +CD 的值最小，最小值为线段AA 1的长＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
变式4．（2022•西湖区月考）如图直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A 经过河到村庄B 的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA ′与河等宽，且AA ′⊥河岸，连接BA ′，与河岸的交点就是点C ，过点C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点D ，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA ′与河等宽，且AA ′⊥河岸，连接BA ′，与河岸的交点就是点C ，过点C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点D ，CD 就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA ′为平行四边形，AD 平移至A ′C 即可得到线段A ′B ，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD 即为桥．
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
题型2: 求两条线段差最大值
例2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，5AB AC ==，110BAC Ð=°，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD Ð=°，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是______．
作点B 关于射线AD 的对称点B ¢，连接则AB AB ¢=，PB PB ¢=，B AD BAD Ð=Т∵ 5AB AC ==，∴5AB AC ¢==，
∴ AB C ¢V 是等边三角形，∴5B C ¢=，
在PB C ¢V 中，PB PC B C -¢£¢，
变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边ABC V 中，E 是AC 边的中点，P 是ABC V 的中线AD 上的动点，且6AB =，则BP PE -的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC ，则BP =CP ，BP PE -=CP-PE ，当点P 与点A 重合时，CP -PE =CE ，进而即可求解．
【详解】解：连接PC ，
∵在等边ABC V 中，6AB =，P 是ABC V 的中线AD 上的动点，
∴AD 是BC 的中垂线，∴BP =CP ，∴BP PE -=CP-PE ，
∵在CPE △中，CP -PE ＜CE ，∴当点P 与点A 重合时，CP -PE =CE ，
∵E 是AC 边的中点，∴BP PE -的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP ，得到BP PE -=CP-PE ，是解题的关键．
题型3: 求三条（周长）最小值（双动点问题）
【模型图示】
要求：点P 位定点，在直线1l ，2l 上分别找点M ，N ，使PMN △周长（即MN PN PM ++）最小
操作：分别作点P 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和”P ，连结”
’P P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()”
’最小值△P P C PMN =求”
’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P Ð=Ð2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°）
，”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”
’P P 要求：点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小
操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’
’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’
’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例3．（2022·上虞市初二月考）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6 cm ，则∠AOB 的度数是（ ）
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
【答案】B 【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出PM=DM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=
∠POB，得出∠AOB=1
2
∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=1
2
∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证
明三角形是等边三角形是解题的关键．
变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是
解决本题的关键．
变式2．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，
EN ，FM ，DN ，DM ．
∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，
∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，
∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，
∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，
∵CD ⊥AB ，∴
12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125
=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
变式3．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．
【答案】50
【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即
MP PQ QN M N ¢¢++=，
∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，
∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22
QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22
a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
课后训练：
1．（2022·重庆八中七年级期末）如图，90A C Ð=Ð=°，且4AB AC ==，D ，E 分别为射线AC 和射线CF 上两动点，且AD CE =，当BD BE +有最小值时，则BDE D 的面积为________．
【答案】6
【分析】延长AC ，以点C 为圆心，AC 为半径，作圆弧交延长线于点G ，得AC CG =．连接AE 、GE 、BG ，ADB CEA CEG D D D @@，得BD AE GE ==，当点B ，E ，G 三点在一条直线，BD BE GE BE
+=+距离最短．过点E ¢作E H AC ¢∥交BA 于点H ，得BHE E CG D D ¢¢
@，得BH E C AH ¢==，BE E G ¢¢=，D ¢，
过点E ¢作E H AC ¢∥交BA 于点H ∴E H AC ¢∥∴BE Ð又∵AC HE CG ¢==，90BHE E CG ¢¢Ð=Ð=°
∴BHE E CG D D ¢¢@∴122
CE BH AH AB ¢====2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，ABC D 中，AB AC =，3BC =，6ABC S D =，AD BC ^于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）
A ．3.5
B ．4
C ．4.5
D ．5
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，
∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，∴EF 与AD 的交点P 即为所求，
如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，
即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．（2022·山东八年级期末）如图，在ABC V 中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC V 中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC △的周长的最小值为_________．
【答案】10
【分析】根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B ，故当点P 与点D 重合时，AP ＋CP 值的最小，求出AB 长度即可得到结论．
【详解】解：∵直线m 垂直平分BC ，∴B 、C 关于直线m 对称，
设直线m 交AB 于D ，∴当P 和D 重合时，AP ＋CP 的值最小，最小值等于AB 的长，
∴△APC 周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．
4．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，ABC V 的面积为24，AB 的长为8，AD 平分BAC Ð，
E 、
F 分别是AD 和AC 上的动点，则CE EF +的最小值为____________．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求CH 的长是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，ABC D 中，AB AC =，3BC =，6ABC S D =，AD BC ^于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）
A ．3.5
B ．4
C ．4.5
D ．5【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，
∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，
∴EF 与AD 的交点P 即为所求，
如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，
即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A a Ð=，CPD b Ð=，PCD V 周长最小时，a ，b 之间的关系是（ ）
A ．a b
>B ．a b <C ．a b =D ．90a b
=°-
故选C ．
【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L V 最小是解题关键．
7．（2022·全国·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，ACB 90Ð=°，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC Ð的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是______．
CO=PC+PO=PC+PQ ，此时PC+PQ 有可能取得最小值，
∵当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO ∴PC+PQ 的最小值即为CM 的长度，
8．（2022·清远市八年级期中）如图，点D 是锐角AOB Ð内一点，DE OA ^于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG V 的周长最小时，FDG Ð与AOB Ð的数量关系式是________．
【答案】2180FDG AOB Ð+Ð=°
【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，即可得出∠BOD =∠BOD ′，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠ODF ′，由∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠ODF ′+∠ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB +∠GDF =180°．
【详解】解：作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，
由轴对称的性质可知，△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，
∴∠BOD =∠BOD ″，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠OD ′F ，
∴∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠OD ′F +∠OD ″G ，
∵∠D ′OD ″+∠OD ′F +∠OD ″G =180°，∴2∠AOB +∠GDF =180°，故答案为2∠AOB +∠GDF =180°．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
9．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A 在y 轴上，G 、B 两点在x 轴上，且G （﹣3，0），B （﹣2，0），HC 与GB 关于y 轴对称，∠GAH ＝60°，P 、Q 分别是AG 、AH 上的动点，则BP ＋PQ ＋CQ 的最小值是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B 【分析】分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B ¢、C ¢，连接BP 、CQ 、B C ¢、C Q ¢，PQ ，得出BP ＋PQ ＋CQ 的最小值为B C ¢¢，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得B P PN ¢+和C Q QN ¢+即可求得．
【详解】解：分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B ¢、C ¢，连接BP 、CQ 、B C ¢、C Q ¢，PQ
∵HC 与GB 关于y 轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,
∵x 轴⊥y 轴，∴AG=AH ，B ¢、C ¢关于y 轴对称，
∴当B ¢、C ¢，P 、Q 在同一条直线上时，BP PQ CQ B P PQ C Q B C ¢¢¢¢==＋＋＋＋最小，此时//B C x ¢¢轴，∵∠GAH ＝60°，∴△AGH 为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵//B C x ¢¢轴，B 、B ¢关于AG 对称，∴60BPG B PG PGB ¢Ð=Ð=Ð=°,B P BP ¢=，
∴△BPG 为等边三角形，过作PM ⊥GO 交x 轴与M ，
∵G （﹣3，0），B （﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴111,22PB PB BG BM BG ¢====
=，∴171222B P PN BP MB BO ¢+=++=++=，同理可得72C Q QN ¢+=,即7B C ¢¢=．故选：B ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
10．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在ABC D 中，AB AC =，AC 的垂直平分线交AC 于点N ，交AB 于点M ，12AB cm =，BMC D 的周长是20cm ，若点P 在直线MN 上，则PA PB -的最大值为（ ）
A ．12cm
B ．8cm
C ．6cm
D ．2cm 【答案】B 【分析】根据已知条件MN 垂直平分AC ，可知MA MC =，即可将BMC D 的周长转换为AB+BC ，即可求出8BC cm =，再通过作辅助线（见详解），可得到PA PB PC PB -=-，则PBC D 中PC PB BC -<，当P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值即可得到PA PB -最大值，得到答案．
【详解】解：
∵MN 垂直平分AC ∴MA MC
=又∵20BMC C BM MC BC cm
D =++=∴20BM MA BC cm
++=12BM MA AB cm +== 8BC cm
=在MN 上取点P 1∵MN 垂直平分AC
连接1P A 、1PB 、1PC ∴11P A PC = ∴PA PB PC PB
-=-在1PBC D 中11
PC PB BC -<当1P 运动2P 位置时，即P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值，此时8PC PB BC cm -==.
即PA PB -最大值是8cm,故答案选B.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
11．（2021·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM +BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）
A ．15°
B ．22.5°
C ．30°
D ．47.5°
【答案】C 【分析】如图1中，作CH ⊥BC ，使得CH ＝BC ，连接NH ，BH ．证明△ABM ≌△CHN （SAS ），推出BM ＝HN ，由BN +HN ≥BH ，可知B ，N ，H 共线时，BM +BN ＝NH +BN 的值最小，求出此时∠MBN 即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作CH ⊥BC ，使得CH ＝BC ，连接NH ，BH ．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，以BC 为边向左作等边△BCE ，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．
（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12
ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；
（2）如图，连接,PA QB ，
BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，
1302
ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，
由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，
故PD PQ QE ++的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角
形的性质是解题关键．
13．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，
∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP
的最小值为AD长是解题的关键．
14．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，//AB DP ，E 为DP 上一动点，AB CB CD ==，过A 作AN EC ^交直线EC 于N ，过D 作DM EC ^交直线EC 于点M ，若114B Ð=°，当AN DM -的值最大时，则ACE Ð= ________ ．
【答案】123°【分析】当DM 与DP 重合，AN 与AB 重合时，|AN -DM |的值最大，此时|AN -DM |=AB ，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM 与DP 重合，AN 与AB 重合时，|AN -DM |的值最大，此时|AN -DM |=AB ，
∵∠ABC =114°，∴∠CDE =180°-114°=66°，∴∠MCD =90°-66°=24°，
又∵AB =BC ，∴∠ACB =（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE =180°-∠ACB -∠DCM =180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．。