河北省邯郸市第二中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题含答案

邯郸市第二中学高二年级（2016级）期中考试
数学试卷
考试范围 必修五，简易逻辑；考试时间:120分钟；
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I 卷(选择题)
一、选择题（本大题共12小题，共60。

0分)
1.已知集合A={x |x 2—2x -3＜0}，集合B=｛x ｜12+x ＞1}，则∁B A=（ ） A 。

[3，+∞） B 。

（3，+∞）
C 。

(-∞,-1］∪［3，+∞）
D 。

（-∞，-1）∪（3，+∞） 2.已知等差数列｛a n ｝中，a 1+a 3+a 9=20,则4a 5-a 7=（ ） A 。

20 B. 30 C. 40 D. 50
3.在△ABC 中，若acos C+ccos A=bsin B ，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B 。

等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.已知命题p ：（x —3)（x +1）＞0，命题q :x 2—2x +1＞0，则命题p 是命题q 的（ ) A 。

充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5。

在公差不为零的等差数列｛a n ｝中，2a 5-a 72+2a 9=0，数列｛b n }是等比数列,且b 7=a 7，则log 2（b 5b 9）=（ ） A. 1 B 。

2 C. 4 D 。

8
6.下列函数中，最小值为4的是（ ） A.y =log 3x +4log x 3 B. y =x
x
e
e -+4 C. y =sinx +4ssss （0＜x ＜π) D 。

y =x +4
s
7。

等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ,若S 5=5，那么2 s 1+2 s 5的最小值为（ ） A 。

4 B. 2√2 C 。

2 D 。

√2
8。

已知实数x ，y 满足{s −s +6≥0
s +s ≥0s ≤3若目标函数Z=ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a -3，则实数a 的取值范围是( ）
A 。

｛a ｜-1≤a ≤1｝
B 。

｛a |a ≤—1｝
C 。

｛a |a ≤-1或a ≥1｝ D. {a ｜a ≥1｝
9。

若a ＜b ＜0，则下列不等式：①|a |＞｜b ｜；②1
s ＞1
s ；③s
s +s
s ＞2；④a 2＜b 2中,正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C 。

3个 D 。

4个
10。

在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,已知a =1，2b -√3c =2acos C ，sin C=√32
,则△ABC 的面积为（ ）
A.√32
B.√34 C 。

√32或√34 D.√3或√3
2 11.定义s
s
1+s 2+⋯+s s
为n 个正数P 1，P 2…P n 的“均倒数”，若已知正整数数列{a n }的前n 项的“均倒数"为1
2s +1，又b n =s s +14
，
则1
s 1s 2
+1s 2s 3
+…+1
s
10s 11
=（ ）
A 。

111 B.112 C 。

10
11 D 。

11
12 12.给出下列命题：
①命题“若b 2—4ac ＜0，则方程ax 2+bx +c =0（a ≠0)无实根"的否命题； ②命题“在△ABC 中，AB=BC=CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a ＞b ＞0,则√s 3＞√s 3＞0"的逆否命题；
④“若m ≥1，则mx 2-2(m +1）x +（m +3）＞0的解集为R”的逆命题． 其中真命题的序号为（ ）
A 。

①②③
B 。

①②④ C. ②④ D 。

①②③④
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分)
13.若实数a ,b 满足2a +2b =1，则a +b 的最大值是 ______ ．
14.如图所示,为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达
D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 ______ 米． 15。

若变量x ，y 满足约束条件{s +s ≥1
s −s ≥−13s −s ≤3
,则s =s +2
s +1
的最大
值为 ______ ．
16。

设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N ＊，都有a p +q =a p +a q ，则f （n )=s s +60
s +1
（n ∈N ＊
）的最小值为 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知数列｛a n }是公比为2的等比数列，且a 2，a 3+1，a 4成等差数列．
(1）求数列{a n }的通项公式;
（2）记b n =a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18。

在△ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列,且sin （s
2+A ）=11
14． （1)求tan A 及角B 的值；
（2）设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ,c ，且a =5，求b ,c 的值．
19.（1)若x ＞0，y ＞0，且
2s +8s
=1，求xy 的最小值．
(2）已知x ＞0，y ＞0，满足x +2y =1,求1s
+
1s
的最小值．
20.解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax )0(>a ．
21。

命题p ：不等式x 2—（a +1）x +1＞0的解集是R ．命题q ：函数f (x ）=（a +1）x 在定义域内是增函数．若p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．
22。

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)(2
1
2*N n a S n n ∈-
=，
数列}{n b 满足,11=b 点),(1+n n b b P 在直线
02=+-y x 上。

（1)求数列}{n a ，}{n b 的通项n a ，n b ； (2）令n n n
b a c
⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ；
（3)若0>λ
,求对所有的正整数n 都有n
n a b k 22
22>
+-λλ成立的k 的范围．
答案和解析
【答案】
1.A
2.A
3.C 4。

A 5.C 6。

B 7。

A 8.A 9.C 10。

C 11.C 12.A 13.—21
4.10√3
15.316。

29
2
17.解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1)=a2+a4，
即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2．
∴a1=a2
2
=1．
∴数列{a n｝的通项公式为a n=2n-1．
（Ⅱ）b n=a n+log2a n+1=2n-1+n，
T n=b1+b2+b3+…+b n=（1+2+3+…+n）+(20+21+22+…+2n—1）
=n(n+1)
2+1−2n
1−2
=n(n+1)
2
+2n−1．
18.解：（Ⅰ）∵A,B，C成等差数列，∴2B=A+C,
又A+B+C=π,
则B=π
3
，
∵sin（π
2+A)=11
14
，
∴cos A=11
14
，
∴sin A=√1−cos2A=5√3
14
，
∴tan A=sinA
cosA =5√3 11
;
(Ⅱ）由正弦定理可得a
sinA =b sinB
，
∴b=5×√32
5√3
14
=7，
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，
即25=49+c 2-11c , 解得c =3或c =8， ∵cos A=11
14＞cos π
3， ∴A ＜π3， ∴C ＞π3， ∴c =3舍去， 故c =8．
19。

解：（1）∵x ＞0,y ＞0，且2x +8
y =1∴:1=2x +8
y ≥2√16
xy =8
√xy ，可得：√xy ≥8,当且仅当8x =2y ，即x =4,y =16时取等号．
那么：xy ≥64故:xy 的最小值是64：． (2）∵x ＞0，y ＞0，x +2y =1,
那么：1
x +1
y =（1
x +1
y ）（x +2y )=1+x
y +2+2y
x ≥3+2√x y
⋅2y
x =3+2√2．当且仅当x =√2y ，即x =√2
2+√
2
,y =1
2+√2时取等号．
故：1
x +1y 的最小值是：3+2√2．
20。

解：由ax 2—（a +1）x +1＜0，得（ax —1）（x -1)＜0； ∵a ＞0,∴不等式化为(x −1
a )(x −1)＜0， 令(x −1
a )(x −1)=0， 解得x 1=1a ，x 2=1；
∴当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x ｜1＜x ＜1
a ｝； 当a =1时，原不等式的解集为∅;
当a ＞1时，原不等式的解集为{x|1
a ＜x ＜1}． 21.解：∵命题p ：不等式x 2-（a +1）x +1＞0的解集是R ∴△=(a +1）2-4＜0，解得—3＜a ＜1，
∵命题q ：函数f （x )=（a +1)x 在定义域内是增函数．
∴a +1＞1，解得a ＞0由p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题,可知p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，由{a |—3＜a ＜1}∩{a ｜a ≤0}={a ｜-3＜a ≤0｝ 当p 假q 真时，由{a ｜a ≤-3，或a ≥1}∩｛a |a ＞0}={a |a ≥1｝ 综上可知a 的取值范围为：{a ｜-3＜a ≤0，或a ≥1} 22。

(1）解:
,
当时，
，
，
是首项为，公比为2的等比数列。

因此，
当时,满足 ,
所以。

因为在直线上，
所以，
而，
所以.
（2）解: ，
③
因此④ ③-④得：
，。

(3)证明：由（1）知
,
数列为单调递减数列；
当时,
.即最大值为1.
由可得，
而当时,
当且仅当时取等号，
.
【解析】
1. 解: A={x|x2—2x—3＜0｝={x|—1＜x＜3｝,
B={x|2x+1＞1｝={x｜x＞—1},
C B A=[3，+∞）．
故选A．
根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B,根据补集的求法求得C B A．此题是个基础题．考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的求法,集合的补集及其运算．
2. 解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，
∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，
4a5—a7=4(a1+4d）-（a1+6d）=3a1+10d=20．
故选:A．
利用等差数列通项公式列出方程组,能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
3. 解：在△ABC中，由acos C+ccos A=bsin B以及正弦定理可知，
sin A cos C+sin C cos A=sin2B，
即sin（A+C)=sin B=sin2B．
∵0＜B＜π，sin B≠0，
∴sin B=1,B=π
．
2
所以三角形为直角三角形． 故选：C ．
由已知以及正弦定理可知sin A cos C+sin C cos A=sin 2B ，化简可得sin B=sin 2B ，结合B 的范围可求B=π
2，从而得解． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题． 4. 解:由p ：（x —3）（x +1）＞0,得x ＜-1或x ＞3， ∴命题q ：x 2—2x +1＞0,解得x ≠1，
显然前者可以推出后者，后者不能推出前者． 故选：A ．
先分别化简,再根据定义或者集合之间的包含关系可以求解．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 5。

解：∵公差不为零的等差数列{a n ｝中，2a 5—a 72+2a 9=0，
∴4a 7−a 72=0，∴a 7=4，
∵数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7，
∴b 7=4，b 5b 9=b 72=16，
∴log 2(b 5b 9）=log 216=4． 故选：C ．
由已知条件推导出b 7=4，b 5b 9=b 72=16，由此能求出log 2（b 5b 9）．
本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数性质的合理运用． 6。

解：A.0＜x ＜1时，y ＜0，不正确
B ．∵e x ＞0，∴y ≥2√e x ⋅4e −x =4,当且仅当x =ln 2时取等号，正确．
C ．令sinx =t ∈（0，1）,则y =f (t ）=t +4
t ，y ′=1-4
t 2＜0，因此函数f （t ）在（0，1）上单调递减，∴f (t )＞f （1）=5，不正确．
D ．x ＜0时，y ＜0，不正确． 故选：B ．
A.0＜x ＜1时，y ＜0，即可判断出正误;
B ．由e x ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出正误．
C ．令sinx =t ∈（0，1），则y =f (t ）=t +4t ，利用导数研究其单调性即可判断出正误．
D ．x ＜0时，y ＜0，即可判断出正误．
本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7. 解：由等差数列的前n 项和公式S 5=
5(a 1+a 5)
2=5，即a 1+a 5=2，
由2a1＞0,2a5＞02a1+2a5≥2a1•2a5=2a1+a5=22=4，
当且仅当2a1=2a5，即a1=a5=1，取“=”，
∴2a1+2a5的最小值4，
故选：A．
根据等差数列的前n项和，S5=5(a1+a5)
2
=5，即a1+a5=2，根据基本不等式的性质知2a1+2a5≥2a1•2a5=2a1+a5=22=4,即可求得2a1+2a5的最小值4．
本题考查等差数列前n项和公式，考查基本不等式的应用，考查计算能
力,属于中档题．
8。

解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=—ax+z是斜率为-a，y轴上的截距
为z的直线，
作出不等式组{x−y+6≥0
x+y≥0
x≤3
对应的平面区域如图：
则A（3，9），B（—3，3），C（3，-3），
∵z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3，
可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，
若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，
满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=—a＜0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，
则目标函数的斜率满足—a≥k BC=—1，
即a≤1，可得a∈（0，1］．
若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值,可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0,综上a∈[—1，1]
故选:A．
由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．
本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A,B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．9. 解：对于①,根据不等式的性质，可知若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故正确,
对于②若a＜b＜0，两边同除以ab，则a
ab ＜b
ab
，即1
b
＜1
a
，故正确，
对于③若a＜b＜0,则a
b ＞0，b
a
＞0，根据基本不等式即可得到a
b
+b
a
＞2;故正确,
对于④若a＜b＜0，则a2＞b2，故不正确，故选:C
根据不等式的性质即可判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．10. 解:∵2b—√3c=2acos C,
∴由正弦定理可得2sin B-√3sin C=2sin A cos C，∴2sin（A+C）—√3sin C=2sin A cos C,
∴2cos A sin C=√3sin C,
∴cos A=√3
2
∴A=30°，
∵sin C=√3
2
，∴C=60°或120°
A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为1
2×1×2×√3
2
=√3
2
,
A=30°,C=120°,B=30°,a=1，∴△ABC的面积为1
2×1×1×√3
2
=√3
4
，
故选：C．
2b-√3c=2acos C，利用正弦定理,求出A；sin C=√3
2
，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
11。

解：∵n
a1+a2+⋯+a n =1
2n+1
,∴a1+a2+…+a n=n（2n+1），
∴n≥2时，a n=n（2n+1)-（n-1）（2n-1)=4n-1．n=1时，a1=3，对于上式也成立．
∴a n=4n-1．
∴b n=a n+1
4
=n．
∴1
b n b n+1=1
n(n+1)
=1
n
−1
n+1
．
则
1
b1b2
+1
b2b3
+…+1
b10b11
=1−1
2
+1
2
−1
3
+…+1
10
−1
11
=1—1
11
=10
11
．
故选：C．
n
a1+a2+⋯+a n =1
2n+1
，可得a1+a2+…+a n=n（2n+1）,利用递推关系可得a n=4n—1．可得b n=a n+1
4
=n。

1
b n b n+1
=1
n(n+1)
=1
n
−1
n+1
．再
利用裂项求和方法即可得出．
本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、新定义，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
12. 解:①命题“若b2—4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0(a≠0）有实根”，是正确的；
②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA”，是正确的；
③命题“若a ＞b ＞0，则√a 3＞√b 3＞0”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的； ④命题“若m ≥1，则mx 2—2（m +1）x +（m +3）＞0的解集为R”的逆命题是“若mx 2-2（m +1）x +(m +3）＞0的解集为R ，则m ≥1，
∵不等式的解集为R 时，
∴{4(m +1)2−4m(m +3)<0m>0
的解集为m ＞1,∴逆命题是错误的;
∴正确命题有①②③；
故选：A
根据题意，按照要求写出命题①、②、③、④的否命题、逆命题或逆否命题,再判定它们是否正确． 本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题,是基础题．
13。

解:∵2a +2b =1，
∴2a ⋅2b ≤(2a +2b 2)2=14，即2a+b ≤14，
∴a +b ≤—2，当且仅当{2a =2b
2a +2b =1，即a =b =—1时取等号， ∴a =b =—1时,a +b 取最大值-2．
故答案为:-2．
由2a +2b =1,得2a ⋅2b ≤(2a +2b 2)2=14，从而可求a +b 的最大值，注意等号成立的条件．
该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题,熟记基本不等式的使用条件是解题关键．
14。

解：设AB=hm ，则BC=√33
h ，BD=√3h ， 则√3h —√33
h =20， ∴h =10√3m ,
故答案为10√3．
利用AB 表示出BC ，BD ．让BD 减去BC 等于20即可求得AB 长．
本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来
解决．
15. 解：作出不等式组对应的平面区域如图:
则z =y+2
x+1的几何意义为动点P 到定点Q （—1，—2）的斜率,
由图象可知当P 位于A （0,1）时,直线AQ 的斜率最大，
此时z =1+20+1=3,
故答案为：3．
作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,以及直线的斜率公式是解决本题的关键．
16. 解:∵对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，令p =n ，q =1，可得a n +1=a n +a 1，则a n +1-a n =2，
∴数列{a n }是等差数列，公差为2．
∴S n =2n +n(n−1)2×2=n +n 2．
则f （n ）=S n +60n+1=n 2+n+60n+1=n +1+60n+1—1，
令g （x ）=x +60x （x ≥1），则g ′(x ）=1-60x 2=
x 2−60x 2,可得x ∈[1，√60时,函数g （x ）单调递减；x ∈[√60，+∞)时，函数g （x )单调递增．
又f （7)=14+12，f （8）=14+23．
∴f （7）＜f (8)．
∴f (n ）=S n +60n+1(n ∈N ＊）的最小值为292． 故答案为：292．
对任意p 、q ∈N ＊，都有a p +q =a p +a q ，令p =n ，q =1，可得a n +1=a n +a 1,则a n +1-a n =2，利用等差数列的求和公式可得S n ．f （n ）=S n +60n+1=n 2+n+60n+1=n +1+60n+1—1，令g （x )=x +60x (x ≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
17.
（ I ）由题意可得2（a 3+1)=a 2+a 4，由公比为2，把a 3、a 4用a 2表示,求得a 2，进一步求出a 1，数列{a n ｝的通项公式．
（Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和,是基础的计算题．
18。

(Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=π3，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tan A ．
（Ⅱ)根据正弦定理求出b ，再根据余弦定理求出c ．
本题考查了正弦定理、余弦定理,内角和定理，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．
19。

（1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）利用“乘1法"与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
20。

由a ＞0，把不等式化为(x −1a )(x −1)＜0，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解
集．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题．
21。

由题意可得p,q真时，a的范围，分别由p真q假，p假q真由集合的运算可得．
本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题．
22。

本题考查了数列求和，等差数列的通项公式，错位相减法和不等式恒成立问题。

(1)利用数列求和中的
的关系得，再利用等差数列的通项公式得结论. （2)利用错位相减法计算得结论。

(3)利用不等式恒成立问题得结论。