备考2019届中考：最新各地中考模拟卷圆压轴题集锦(附答案)

备考2019届中考：最新各地中考模拟卷圆压轴题集锦
1．（2019•奉贤区二模）如图，已知△ABC，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，点D在边BC上，联结AD，以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E是的中点，求BD：CD的值；
（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．
解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
∵∠B＝45°，AB＝，
∴BH＝AH＝AB•cos B＝1．
∵BD＝x，∴DH＝|x﹣1|．
在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，
∴AD＝＝．
联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度．
∵点F在圆A上，且AF⊥AD，
∴AD＝AF，∠ADF＝45°．
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°，
∴DF＝＝．
∴y＝．（0≤x≤3）．
（2）∵E是的中点，
∴AE⊥DF，AE平分DF．
∵BC＝3，
∴HC＝3﹣1＝2．
∴AC＝＝．
设DF与AE相交于点Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ＝90°，tan∠DCQ＝．在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，tan∠ACH＝＝．
∵∠DCQ＝∠ACH，
∴＝．
设DQ＝k，CQ＝2k，AQ＝DQ＝k，
∵3k＝，k＝，
∴DC＝＝．
∵BD＝BC﹣CD＝，
∴＝．
（3）如果四边形ADCF是梯形
则①当AF∥DC时，∠AFD＝∠FDC＝45°．
∵∠ADF＝45°，
∴AD⊥BC，即点D与点H重合．
∴BD＝1．
②当AD∥FC时，∠ADF＝∠CFD＝45°．
∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠CFD．
∵∠B+∠BAD＝∠DF+∠FDC，
∴∠BAD＝∠FDC．
∴△ABD∽△DFC．
∴＝．
∵DF＝AD，DC＝BC﹣CD．
∴AD2＝BC﹣BD．即（）2＝3﹣x．
整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x＝（负数舍去）．
综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或．
2．（2019春•道里区校级月考）在△ABC中，AB是⊙O的切线，切点为A，弦AD垂直于BC，垂足为M．连接DO并延长交线段AC于点E，且DE⊥AC于点E，AC的延长线交⊙O于点F．（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，当线段BC过圆心O时，延长BC交圆O于点G，连接GD并交AF于点Q．求证：2∠NGD＝∠BAD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接GF，GF＝1，DG＝5，求⊙O的半径．
证明：（1）如图，连接AO，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BAO＝90°
∴∠BAM+∠OAD＝90°
∵AO＝DO
∴∠D＝∠OAD，
∵DE⊥AC，
∴∠D+∠DAE＝90°，且∠B AM+∠OAD＝90°∴∠DAE＝∠BAM，
∵AM⊥BC
∴∠BAM+∠B＝90°，∠DAE+∠ACB＝90°
∴∠B＝∠ACB
∴AB＝AC，
（2）连接OA，
∵线段BC过圆心O，BC⊥AD
∴
∴∠AON＝∠DON，
∵∠DON＝2∠DGN，
∴∠AOB＝2∠DGN，
∵∠BAO＝90°，AD⊥BC
∴∠BAD+∠DAO＝90°，∠DAO+∠AOB＝90°∴∠BAD＝∠AOB
∴∠BAD＝2∠NGD
（3）连接DF，AG，AO，
∵∠OAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠B＝∠OAD，且∠B＝∠ACB＝∠GCF，∠OAD＝∠ODA ∴∠ODA＝∠GCF，且∠OGD＝∠ODG，
∴∠GCF+∠OGD＝∠ODA+∠ODG
∴∠GQF＝∠ADG，且∠ADG＝∠AFG
∴∠AFG＝∠GQF
∴GF＝GQ＝1，
∵DG＝5，
∴DQ＝DG﹣GQ＝4
∵DE⊥AF，DE过圆心O，
∴AE＝EF，且DE⊥AF
∴DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA
∵∠DAF＝∠DGF
∴∠AFD＝∠DGF，且∠GDF＝∠GDF
∴△QFD∽△FGD
∴
∴DF2＝DG×QD＝4×5＝20
∴DF＝2＝AD
∴AM＝MD＝
在Rt△MGD中，MG＝＝2
在Rt△MOD中，OD2＝MD2+OM2，
∴OD2＝5+（2﹣OD）2，
∴OD＝
∴⊙O的半径
3．（2019•昆明模拟）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
（1）证明：∵∠B＝60°，OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OA∥BD，
∵∠BDM＝90°，
∴∠OAM＝90°，
又OA为⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线
（2）解：连接AC，
∵∠3＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∵OC＝AC＝4，
∴CD＝2，
∴AD＝2，
∴S
阴影＝S
梯形OADC
﹣S
扇形OAC
＝×（4+2）×2﹣＝6﹣π．
4．（2019•信阳一模）如图，⊙O与直线MN相切于点A，点B是圆上异于点A的一点，∠BAN 的平分线与⊙O交于点C，连接BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）①若∠CAN＝15°，⊙O的半径为2，则AB＝2；
②当∠CAN＝30°时，四边形OACB为菱形．
解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠DAN＝90°，
∴∠DAC+∠CAN＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠CAN＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠B＝∠CAN，
∵AC是∠BAN的角平分线，
∴∠CAN＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）①如图2，连接OA，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OAN＝90°
∵AC是∠BAN的角平分线，∠CAN＝15°，∴∠BAN＝2∠CAN＝30°，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
故答案为2；
②如图3，连接OC，
∴OA＝OC，
∵四边形OACB是菱形，
∴OA＝AC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∵∠OAN＝90°，
∴∠CAN＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
5．（2019•成华区模拟）如图，以△4BC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．
解：（1）如图，连接OD，
∵AC为圆O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）如图所示，连接CD，
∵∠CDE＝∠DCA＝∠DBA＝45°，∠E＝∠DBE，
∴△DCE∽△BDE，
∴，
∴DE2＝CE•BE．
（3）如图所示，连接OD、CD，过点E作CD的垂线，垂足为H，
∵DE2＝CE•BE，BC＝，CE＝，
解得DE＝4，
∵∠HDE＝45°，
∴DH＝HE＝4•sin∠HDE＝2，
在Rt△CHE中，CH＝＝，
∴CD＝3，
∴OD＝OC＝3•sin∠ODC＝3，
∴⊙O的半径为3．
6．（2019•滨湖区一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心、OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE．
（1）请找出图中与△ADE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AC＝3，AE＝4，试求图中阴影部分的面积；
（3）小明在解题过程中思考这样一个问题：图1中的⊙O的圆心究竟是怎么确定的呢？
请你在图2中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心O，并写出你的作图方法．
解：（1）△ACD与△ADE相似，如图（1）所示，
连接OD，∵⊙O恰好与BC相切于点D，
∴∠ODB＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAC，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ACD∽△ADE．
∴＝，
∴AD＝2，
∵AC＝3，根据勾股定理得CD＝，
∴sin∠DAC＝，
∴∠DAC＝∠EAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOD＝120°，
＝OA2＝，
∴S
△OAD
∴S＝﹣＝﹣．
（3）如图2所示，作图方法：
①以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点H，以H、C为圆心，大于CH长为半径画
弧，交于点G，连接AG，AG即为∠BAC的角平分线，AG与BC的交点即为点D．
②以D为圆心，DC长为半径画弧，交BD于点C′，以C、C′为圆心，大于CC′为半径
画弧，分别交于点E、F，连接EF，EF即为CC′的垂直平分线，EF与AB的交点即为点O．
7．（2019•孝感一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG 交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时．
②若cos C＝，AK＝，求BF的长．
解：（1）如图，连接OG．
∵EG＝EK，
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，
又OA＝OG，
∴∠OGA＝∠OAG，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG＝90°，
∴∠KGE+∠OGA＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）①∵AC∥EF，
∴∠E＝∠C，
又∠C＝∠AGD，
∴∠E＝∠AGD，
又∠DKG＝∠CKE，
∴△KGD∽△KGE；
②连接OG，
∵，AK＝，
设，
∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k
∵KE＝GE，AC∥EF，
∴CK＝AC＝5k，
∴HK＝CK﹣CH＝k．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，
解得k＝1，
∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，
由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，
∴，
在Rt△OGF中，，
∴，
∴．
8．（2019•金山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D 由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE．
（1）求证：△DCE∽△BCA．
（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P．
①当⊙P与边AB相切时，求t的值．
②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），联结CP并
延长CP交边AB于点M，当△PFM与△CDE相似时，求t的值．
（1）证明：由题意得：CD＝t，CE＝t，由勾股定理得，BC＝＝12，＝，＝＝，
∴＝，又∠C＝∠C，
∴△DCE∽△BCA；
（2）①连结CP并延长CP交AB于点H，∵∠ACB＝90°，
∴DE是⊙P的直径，即P为DE中点，
∴CP＝DP＝PE＝DE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵△DCE∽△BCA，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠B+∠HCB＝90°，即CH⊥AB，
∵⊙P与边AB相切，
∴点H为切点，CH为⊙P的直径，
∵sin A＝＝，
∴＝，
解得，CH＝，
∴DE＝，
sin A＝sin∠CED＝＝，即＝，
解得，CD＝，
∴t＝；
②由题意得，0＜t≤12，即0＜t≤9，
∵CD＝t，CE＝t，
∴DE＝＝t，
由①得，CM＝，CP＝DE＝t，CM⊥AB，
∴PM＝﹣t，PF＝CP＝t，∠PMF＝90°，
当△FMP∽△DCE时，＝，即＝，
解得，t＝；
当△PMF∽△DCE时，＝，即＝，
解得，t＝；
∴综上所述：当△PFM与△CDE相似时．t＝或t＝．
9．（2019•顺德区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点C作∠BCD＝∠BAC交AB的延长线于点D，过点O作直径EF∥BC，交AC于点G．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BCD＝30°；
①连接AE、DE，求证：四边形ACDE是菱形；
②当点P是线段AD上的一动点时，求PF+PG的最小值．
解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠CAB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①连接AE、ED、BE，
∵∠BCD＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝60°，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∴AC＝DC，
∵EF∥BC，
∴∠AOF＝∠OBC＝60°，
∴∠EOB＝∠AOF＝60°，
∵OE＝BC＝OC，
∴△OCB，△OEB是等边三角形，
∴BC＝OB＝BE，
∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AB＝AB，BC＝BE，
∴Rt△ABC≌Rt△ABE（HL），
∴AC＝AE，∠ABC＝∠ABE，
∴∠BDC＝∠DBE，
又∵BC＝BE，BD＝BD，
∴△DBC≌△DBE（SAS），
∴DC＝DE，
∴AC＝CD＝AE＝DE，
∴四边形ACDE是菱形；
②作F关于直线AB的对称点H，H在⊙O上，连接GH交AB于点P，
此时线段GH最短，则PF+PG最小，连接OH，过H作HI⊥EF，
由①知∠AOF＝60°，
∵F与H关于直线AB对称，
∴∠AOH＝∠AOF＝60°，
∴∠GOH＝120°，∠HOE＝60°，
在Rt△AGO中，OA＝2，
∴OG＝OA cos60°＝2×＝1，
在Rt△HIO中，OH＝2，
∴OI＝OH cos60°＝2×＝1，HI＝，
∴GH＝＝，
∴PF+PG的最小值为．
10．（2019•福田区模拟）如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝2，求CE的长．
（1）证明：由圆周角定理得，∠BAC＝∠BEC，∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠ADC＝∠GFC＝90°，
∴∠CGF＝∠BAC，
∴∠BEC＝∠CGF，
∵∠BGE＝∠CGF，
∴∠BEC＝∠BGE，
∴BE＝BG；
（2）解：连接OB、OE、AE、CH，
∵BH⊥AB，CE⊥AB
∴BH∥CE，
∵四边形ABHC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACH＝∠ABH＝90°，
∴BF∥CH，
∴四边形CGBH为平行四边形，
∴CG＝BH＝4，
∵OE＝OB＝BE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠BAE＝∠BOE＝30°，
∴DE＝AE，
设DE＝x，则AE＝2x，
由勾股定理得，AD＝＝x，
∵BE＝BG，AB⊥CD，
∴DG＝DE＝x，
∴CD＝x+4，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x）2+（x+4）2＝（2）2，
解得，x
1＝1，x
2
＝﹣3（舍去）
则DE＝DG＝1，
∴CE＝CG+GD+DE＝6．
11．（2019春•海淀区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DN，且有DN∥AC．
（1）求证：△ACD是等边三角形．
（2）连接并延长CB，交DN于E，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求EF的长．
（1）证明：连OD，并反向延长交AC于点G，
∵DN是⊙O的切线，
∴OD⊥DN，
由切线的性质，可证
∵DN∥AC，
∴OG⊥AC，
∴AD＝DC，
∵CD⊥AB，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：∵CD⊥AB，∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴，
∴，
∴，BC＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知DG⊥AC，OD⊥DN，
∴四边形GDCE是矩形，
∴CE＝DG＝OG+OD＝1+2＝3，DE＝CG＝，
∴＝，
∵AC∥DE，
∴△ACF∽△EDF，
∴，
设EF＝x，则AF＝，
∴，
解得x＝．
12．（2019春•香坊区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，连接AC，AC平分∠BAD，
（1）如图1，求证：BC＝CD
（2）如图2，若AD+AB＝AC，求证：∠BCD＝90°
（3）如图3，连接BD，把△ABD沿着BD翻折得到△EBD，BE交CD于F，连接CE，CE∥BD，若BF＝6，AD＝4，求BC的长．
解：（1）连接BO、CO、DO，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BOC＝∠COD，
∴B C＝CD．
（2）如图所示，延长AB至点E，使BE＝AD，连接EC，
∵四边形BACD为圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC＝∠ADC，
∵BC＝CD，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴EC＝AC，
∵AD+AB＝AC，
∴AE＝AC＝EC，
∴AC2+EC2＝AE2，
∴∠ECA＝90°，
∴∠BCD＝90°．
（3）如图所示，延长AD、CE交于点G，
∵∠ADB＝∠EDB，CE∥BD，
∴∠DEG＝∠BDE，∠G＝∠BDA，
∴∠DEG＝∠G，
∴DE＝DG，
∵AD＝4，
∴DE＝DG＝4，
∴D为AG的中点，
∵，即AH＝HC，
∵∠DCG＝∠BDC，∠BDC＝∠BAC＝∠CAG，∴∠DCG＝∠CAG，
∵∠G＝∠CGA，
∴△DCG∽△ACG，
∴，即，
解得CG＝4，HD＝CG＝2，，∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠DBE，
∴∠ACD＝∠DBF，
∴△BDF∽△CAD，
∴，即，
∴＝，
∴BD＝6，
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠BCA＝∠G，
∴△BCA∽△CAG，
∴，即，
设BC＝x，则AC＝2x，
则AH＝CH＝x，
∵△BCH∽△AHD，
∴，即，
解得HD＝2，∴BH＝BD﹣DH＝4，
∴x＝4，
∴BC＝x＝4．
13．（2019•中山市校级模拟）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交于BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）求证：MB＝MC；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB＝9，BC＝6，求PC的长．
（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴OA⊥BC，
∴BM＝CM；
（2）证明：过C点作直径CF，连接FB，如图，
∵CF为直径，
∴∠FBC＝90°，即∠F+∠BCF＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠F，∠BCP＝∠ACD．
∴∠F＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCF＝90°，即∠PCF＝90°，
∴CF⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（3）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝3，
∴AC＝AB＝9，
在Rt△AMC中，AM＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝6﹣r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即32+（6﹣r）2＝r2，解得：r＝，
∴CF＝2r＝，OM＝6﹣＝，
∴BF＝2OM＝，
∵∠F＝∠MCP，
∴△PCM∽△CFB，
∴PC：CF＝CM：FB，
∴＝，
∴PC＝．
14．（2019•娄底模拟）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，sin B＝，求DE的长．
（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又DC＝BD，
∴AB＝AC；
（2）证明：如图，连接OD，
∵AO＝BO，CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，又DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝AC＝10，
∵sin B＝＝，
∴AD＝8，
∴CD＝BD＝＝6，
∴sin B＝sin C＝＝，
∴DE＝．
15．（2019•福建模拟）如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；
（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；
（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．
解：（1）如图①，连接OE，
∵C E切⊙O于E，
∴∠OEC＝90°，
∵AC＝8，⊙O的半径为2，
∴OC＝6，OE＝2，
∴CE＝＝4；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，
∵AF＝BF，
∴AF＝CF＝BF，
∴∠ACF＝∠CAF，
∵CE切⊙O于E，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝∠ACB，
∴△OEC∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3；
（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，
∵CE＝CG，
∴∠EGC＝∠GEC，
∵CE切⊙O于E，
∴∠GEC+∠OEG＝90°，
∵∠EGC+∠GMC＝90°，
∴∠OEG＝∠GMC，
∵∠GMC＝∠OME，
∴∠OEG＝∠OME，
∴OM＝OE，
∴点M和点D重合，
∴G、D、E三点在同一直线上，
连接AE、BE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，
又CE＝CB＝CG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，
∴A、E、B三点在同一条直线上，
∴E、F两点重合，
∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△GBE∽△ABC，
∴＝，即＝
∴GE＝9.6，
故G、E两点之间的距离为9.6．
16．（2019•无锡模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC 于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．
（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADB，
∵在△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BCA＝∠ACE，
又∵AC＝AC，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD＝AE；
（2）解：设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，
则BD＝（10﹣y），
∵△AEC和△ADB为直角三角形，
∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，
AB＝10，AC＝4，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（10﹣y）代入，解得：x＝8，
即AE的长为8．
17．（2018秋•厦门期末）已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
解：（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，
∴⊙O的半径为；
（2）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，
∴＝，
∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，
∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，
∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，
∴2∠OPN+PON+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴∠NOQ＝90°，
∴NO⊥OQ，
∴AB∥ON．
18．（2019•福田区校级模拟）如图，D为直角△ABC中斜边AC上一点，且AB＝AD，以AB为直径的⊙O交AD于点F，交BD于点E，连接BF，BF．
（1）求证：BE＝FE；
（2）求证：∠AFE＝∠BDC；
（3）已知：sin∠BAE＝，AB＝6，求BC的长．
解：（1）如图，连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BD，
∵AB＝AD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠EBF＝∠DAE，∠BFE＝∠BAE，
∴∠EBF＝∠BFE，
∴BE＝EF；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠2，
∵∠1＝∠ABD，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠AFE＝∠2+∠BDC＝180°，
∴∠AFE＝∠BDC；
（3）如图，过点D作DG⊥BC于点G，
∵sin∠BAE＝，AB＝AD＝6，
∴DE＝BE＝2，
∴BD＝4，
又∵∠DBG+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，∴∠DBG＝∠BAE，
∴DG＝BD sin∠DBG＝4×＝4，
∴BG＝4，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴＝，即＝，解得：BC＝12．。