唐山一中2020-2021学年高二上学期数学周考十一(文A+)

信丰中学2017级高二上学期周考十一（文A+）数学试卷
命题人： 审题人：
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．以双曲线x 2
3－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )
A ．y 2＝4x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝－42x
D ．y 2＝－8x 2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A ．1716
B ．1516
C ．7
8 D ．0 3．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 2
6－m ＝1表示椭圆”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )
A ．y ＝2x 2
B ．x 2＝2y
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝－2x 5．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M 的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1 C ．(1，2) D ．(2,2) 6．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF|
|BF|的值等于( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．43
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞) 8．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝( )
A ．4
B ．6
C ．9
D ．12 二、填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
9．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
10．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1
4，则该双曲线的离心率为______．
11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
12．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
三、解答题：（本大题共2个小题，共20分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，右焦点为F(1,0)．
(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．
14．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)，焦点为F ，过点G(p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)． (1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；
(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C
于另一点N.求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．
信丰中学2017级高二上学期周考十一（文A+）数学试卷参考答案 一、选择题：DBBC DACC
二、填空题：9．y 2
＝4x 10．23
3 11．2 2 12．2
三、解答题：
13.解：(1)依题意可得⎩⎨
⎧
1a ＝22
，a 2
＝b 2
＋1，
解得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆E 的标准方程为x 2
2＋y 2＝1.
(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；
②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)． 联立得方程组⎩⎨
⎧
x 2
2＋y 2＝1，
y ＝k (x －1)，
消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，
所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 2
1＋2k 2. 因为OM ⊥ON ，所以OM ·ON ＝0，
所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－2
1＋2k 2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．
14.解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，
则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x. (2)证明：设B(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2.
又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2p
y 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4
y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。