鲁教五四版九年级(上) 中考题同步试卷：2.8 二次函数的应用(18)

鲁教五四版九年级（上）中考题同步试卷：2.8 二次函数的应用
（18）
一、解答题（共30小题）
1．已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB 沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．
（3）线段OB与抛物线交于点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD＝CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣8，0），B（2，0）两点，直线x＝﹣4交x 轴于点C，交抛物线于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点E在直线x＝﹣4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使d1＝d2＝？若存在，请直接写出d3的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知点A（0，4），B（2，0）．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y＝（x ﹣m）2+n与线段OA交于点C．
①求线段AC的长；（用含m的式子表示）
②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．
4．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC＝90°，AB＝1，AO＝2，OC＝3，以O 为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
5．已知，如图（a），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE＝30°，|x1﹣x2|＝8．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似（除去全等这一情况）？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
6．如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y＝x2于点A、B，交抛物线C2：y＝x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
【猜想与证明】
填表：
由上表猜想：对任意m（m＞0）均有＝．请证明你的猜想．
【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠P AB＝∠DAC，
求平移后抛物线的解析式．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+与直线y＝x交于点A，点B在直线y＝x+
上，∠BOA＝90°．抛物线y＝ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y＝x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE ∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
9．如图1，已知直线l：y＝﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y＝（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y＝（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m．
①交点C的纵坐标可以表示为：或，由此进一步探究m关于h的函数关
系式；
②如图2，若∠ACD＝90°，求m的值．
10．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y＝x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ＝5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；
（3）A、B为直线y＝﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．
12．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图1所示，已知直线y＝kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x＝﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求点P的坐标；
（3）直线y＝x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|＝）
15．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
（1）当k＝1，m＝0，1时，求AB的长；
（2）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式）．
16．直线y＝x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？
17．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接
OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．
（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；
（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C （1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．
19．如图①，若二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y＝x的图象的对称点为C．
（1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y＝x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y＝x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M 的直径，其半圆交AB于点C，且AC＝3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM＝
S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
23．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．
①当△ABC的面积为1时，求a的值．
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2＝2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5＝0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF
＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．
28．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2＝x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）及直线y2＝x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2＝x+1于点B，点P在抛物线上，当S△P AB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
29．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E 点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax2+bx+c经过B、
H、D三点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P 作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM＝S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
30．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC 的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
鲁教五四版九年级（上）中考题同步试卷：2.8 二次函数
的应用（18）
参考答案
一、解答题（共30小题）
1．；2．；3．；4．；5．；6．；；；7．；8．；9．（m﹣1）2+1；（m﹣h）2﹣h+2；10．6；2；y＝x2+x﹣7；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。