2020高考数学冲刺复习- 直线与圆锥曲线的位置关系-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(含解析)
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
2020版数学新攻略大一轮浙江高考专用：9.9 直线与圆锥曲线的位置关系
C. 9 23
D. 2273
教材研读
1
3.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a等于 4 .
栏目索引
教材研读 栏目索引
4.(2018安徽联考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截
弦长为4 5 ,则抛物线C的方程为 x2=2y .
教材研读 栏目索引
5.(2018宁波检测)椭圆 x2 + y2 =1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.
考点突破 栏目索引
考点突破 栏目索引
方法技巧
有关直线与圆锥曲线的位置关系存在两类问题 一是判断位置关系; 二是依据位置关系确定参数的范围. 这两类问题在解决方法上是一致的,都是将直线与圆锥曲线方程联立, 利用判别式及根与系数的关系求解.
距离为|AB|=④ 1 k2 |x1-x2| ,即弦长公式.也可以写成关于y的形式,即
弦长公式为|AB|=⑤
1
1 k2
|y1-y2|(k≠0)
.
教材研读 栏目索引
教材研读 栏目索引
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
教材研读 栏目索引
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 + y2 =1的位置关系为 ( A )
94
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
教材研读 栏目索引
2.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点和线段AB中点的直
直线与圆锥曲线的位置关系--高考精品班理科数学寒假特训班辅导《数学》第二章第一节讲义
令⊿=0，解之得k=3/2。
由于两渐近线斜率分别为 、- 因此当k=± 或k=3/2或k不存在时，l与C只有一个交点；
当 <k<3/2或k<- 或- <k< 时， 与C有两个交点；
当k>3/2时，l与C有没有交点。
注意：
判断直线与双曲线、直线与抛物线的交点时要注意直线与双曲线的渐近线平行时，及与抛物线的对称轴平行时。
例4.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
『正确答案』设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：
②若 ≠0，即α≠-1,令⊿=0得:1+4 =0,可得α=-4/5,这时直线与曲线相切,只有一个公共点.
综上所述知,当a=0、-1、-4/5时，直线y=（a+1）x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点。
例3.已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2）求过P点的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点、两个交点、没有交点。
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点;1）x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值。
『正确答案』联立方程
（1）当a=0时，此方程恰有一组解为：
（2）a≠0时，消去x，得 y2-y-1=0。
①若 =0，即a=-1，方程变为一元一次方程：-y-1=0，方程组恰有一组解：
y2+4ky-4m=0，
设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件
x=- ,分别过
2
F( ,0),
2
A,B 作准线的垂线,垂足为点 A',B',
过A作BB'的垂线,垂足为M,设|AA'|=|AF|=t,
∵|BF|=3|FA|,∴|BB'|=|BF|=3t,则|BM|=2t,|AB|=4t,
∴∠ABM=60°.
即直线l的倾斜角∠AFx=120°,可得直线l的斜率为
k=tan 120°= - 3 ,故选A.
考点二
弦长问题
典例突破
例2.(多选)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线 y=- 3(x-1) 过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(
A.p=2
B.|MN|=
8
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
21
22
(2 -1 )(2 +1 )
2
2
+1 =1, +2 =1,两式作差,得
+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为
2
2
2
2 -1
0
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, - =kAB,所以 kAB=-2 .
2 1
0
(1)设弦中点为 M(x,y),由①式, 得
2=-2,所以
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
数学一轮复习高考大题专项五直线与圆锥曲线理
高考大题专项（五）直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2020山东泰安一模,21）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点。
当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4√2,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为43。
（1）求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点，满足MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点M恰好在圆O：x2+y2=49上，求实数m的取值范围.2.(2020新高考全国2，21）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b〉0)过点M(2,3），点A为其左顶点,且AM的斜率为12。
(1）求C的方程；(2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.3.已知抛物线C:y2=2px(p〉0）上一点P(x0,2)到焦点F的距离｜PF|=2x0。
（1）求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M：(x—3)2+y2=r2(0<r≤√2)的两条切线PA,PB，切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A，B,线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围。
4.(2020江苏，18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E：x24+y23 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B。
（1)求△AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，（3)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2.若S2=3S1，求点M的坐标.5.（2020山东高考预测卷）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点M（a,2√5)在抛物线C上。
（1）若｜MF｜=6,求抛物线的标准方程；（2）若直线x+y=t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为（1,0)，且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于√2,求p的取值范围。
2020版高考数学(理科)复习课件 第48讲 直线与圆锥曲线的位置关系
2
|AB|= 1 + ������ 2 · |x1-x2|= 1 + ������ 2 · (������1 + ������2 ) -4������1 ������2 = 2·
焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆上的任意一点, 且 3|BF1|,|F1F2|, 3|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:y=k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点,若 点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围.
课堂考点探究
变式题 (1)[2018· 西安调研] 已
������ 2Байду номын сангаас4
点 A(0,1)的椭圆
的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆 上的任意一点,且 3|BF1|,|F1F2|, 3|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:y=k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点, 若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外, 求实数 k 的取值范围.
(4)若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两 点 A,B,则直线 l 与抛物线 C 的方程联立消元 后得到的一元二次方程的判别式 Δ>0. ( )
课前双基巩固
2.[教材改编] 直线 y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A,B 两
2
点,若 AB 中点的横坐标为 2,则 k=
[答案]
2
.
������ 2 = 8������, [解析] 易知 k≠0,由 得 ������ = ������������-2, k x -4(k+2)x+4=0,则
2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件文
∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°， ∴c＝ 3a，∴b＝ c2－a2＝ 2a. ∴ba＝ 2，∴双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A．
(2)已知 F1，F2 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以 F1F2 为直
第二编 讲专题 专题五 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、 双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲 线的位置关系(弦长、中点等).
1
PART ONE
核心知识回顾
1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准 线方程)．
A．y＝± 2x
B．y＝±
2 2x
C．y＝±2x D．y＝±2 2x
答案 A
解析 由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝ 2a，
由于 P，M 关于原点对称，F1，F2 关于原点对称，∴线段 PM，F1F2 互 相平分，四边形 PF1MF2 为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，
D． 10
答案 B
解析 设双曲线的右焦点为 F′，取 MN 的中点 P，连接 F′P，F′M， F′N，如图所示，由F→N＝3F→M，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又 O 为 FF′的中点， 可知 OM∥PF′.∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN.∴PF′为线段 MN 的垂直平分线．
2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆锥曲线的位置关系含解析
教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆锥曲线的地点关系含分析编辑： __________________时间： __________________第 8节直线与圆锥曲线的地点关系最新考纲中心修养考情聚焦直线与圆锥曲线的地点关系1.直线与圆锥曲线的地点关系向来是高考的热门、考察知的判断与应用、完成直观想象识有直线与椭圆、抛物线相1.掌握解决直线与椭圆交、波及弦长、中点、面积和数学运算的修养．、抛物线的地点关系的、对称性等问题．题型既有2.依据直线与圆锥曲线的地点思想方法．求参数、加强逻辑推理和数学选择题、填空题、又有解答2.认识圆锥曲线的简单题、难度不小、属中高档题运算的修养．应用．型、做题时要充足利用函数3.弦长问题与中点弦问题的研3.理解数形联合的思想与方程思想、转变与化归思究、提高逻辑推理和数学运算的修养想、数形联合等数学思想的运用直线与圆锥曲线的地点关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y、整理获得对于 x的方程 ax2＋bx＋ c＝0.方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的解l 与 C1的交点b＝ 0无解 (含 l是双曲线的渐近线 )无公共点a＝ 0有一解 (含 l与抛物线的对称b≠ 0轴平行或与双曲线的渐近线一个交点平行 )>0两个不等的解两个交点a≠ 0＝ 0两个相等的解一个切点<0无实数解无公共点(2)几何法：在同向来角坐标系中画出圆锥曲线和直线、利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的地点关系．1.直线与圆锥曲线的订交弦长问题设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l 与圆锥曲线 C订交于 A、B两点、 A(x1、y1 )、B(x2、y2)、则 |AB |＝1＋ k2|x1－ x2|＝1＋ k2·x1＋ x22－ 4x1x2＝1＋1·|y1－ y2|＝k212－ 4y 1y 2 .特别、若直线过抛物线的焦点、则弦长2p1＋k2 · y 1＋ y 2 |AB|＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ sin2 α(α为弦 AB 的倾斜角 )．2．中点弦的重要结论x2 y2AB 为椭圆 a2＋ b2＝1(a>b>0) 的弦、 A(x 1、y 1)、 B(x 2、 y 2)、弦中点 M(x 0、y 0)．b2x0(1)斜率： k ＝－ a2y0.b2 (2)弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值－a2[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”．(1) 直线与双曲线有且只有一个公共点、则鉴别式 ＝ 0.( )(2) 经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点． ( )(3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()x2＋y2＝1恒有两个公共点． ()(4)直线 y ＝kx ＋ 1与椭圆 5 9(5) 直线与椭圆有且只有一个公共点、则其鉴别式 ＝ 0.()答案： (1) × (2)× (3)√ (4) √ (5)√[小题检验 ]x2 y2 ＝1的地点关系为 ()1．直线 y ＝ kx －k ＋ 1与椭圆9 ＋ 4A ．订交B ．相切C ．相离D ．不确立分析： A [ 直线 y ＝kx － k ＋ 1＝ k(x － 1)＋1 恒过定点 (1,1)、又点 (1,1)在椭圆内部、故直线与椭圆订交． ]2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 解析：A[直线与双曲线相切时、只有一个公共点、但直线与双曲线订交时、也可能有一个公共点、例 如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．应选A.]x2 y23．若直线 y ＝kx 与双曲线9 － 4 ＝ 1订交、则 k 的取值范围是 ()2A. 0，32B. －3， 022C.－，D. －∞，－ 2 ∪ 2，＋ ∞3 3分析： C[ 双曲线 x2 － y2＝ 1 的渐近线方程为2 94y ＝ ± x 、若直线与双曲线订交、数形联合、32 2得 k ∈ －3，3 .]x24．( 人 教A版 教 材P80A组 T8改 编 )已知与向量v ＝ (1,0)平行的直线 l 与双曲线4－ y 2＝ 1订交于 A 、 B 两点、则 |AB|的最小值为 ________．分析： 由题意可设直线 l 的方程为 y ＝m 、代入x24－ y 2＝ 1得x 2＝ 4(1＋ m 2)、所以 x 1＝ 41＋ m2＝ 2 1＋ m2、 x 2＝－ 2 1＋m2、所以 |AB|＝ |x 1－ x 2|＝ 4 1＋ m2≥ 4、即当 m ＝0时、 |AB|有最小值 4.答案： 4x2＋y 2＝1的弦被点 1 1 均分、则这条弦所在的直线方程是________．5．椭圆 2 2，2 分析： 设弦的两个端点为 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、则 x 1＋ x 2＝ 1、 y 1＋ y 2＝ 1.∵A 、 B 在椭圆上、∴ x212＋ y21＝1、 x22＋ y2＝ 1.x 1＋ x 2x 1－ x 2两式相减得＋ (y 1＋ y 2)(y 1－ y 2)＝ 0、即y1－ y2 ＝－ x1 ＋ x2 ＝－ 1、x1－x22 y ＋y即直线 AB 的斜率为－ 12.∴直线 AB 的方程为 y － 1＝－ 1 x － 1、2 2 2 即 2x ＋ 4y － 3＝0.答案： 2x ＋ 4y －3＝ 0[ 题组集训 ]1．若过点 (0,1)作直线、使它与抛物线 y 2 ＝4x 仅有一个公共点、则这样的直线有 ()A ．1条B ．2条C ． 3条D ．4条分析： C[ 联合图形剖析可知、知足题意的直线共有 3 条：直线 x ＝ 0、过点 (0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点 (0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x ＝ 0)、应选 C.]2．双曲线 C ：x2－y2a2b2＝ 1(a ＞ 0、b ＞ 0)的右焦点为 F 、直线 l 过焦点 F 、且斜率为 k 、则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都订交的充要条件是()bbA ． k ＞－ aB ． k ＜ aC ． k ＞ b 或k ＜－ bD ．－ b ＜ k ＜ba aa a分析： D[ 由双曲线渐近线的几何意义知－b＜ k ＜b.应选 D.]aa3．若直线 mx ＋ ny ＝4和圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4没有交点、则过点 (m 、 n)的直线与椭圆x2 ＋ y29 4＝ 1的交点个数为 ()A ．至多一个B ． 2C ． 1D ． 0分析： B[ ∵直线 mx ＋ ny ＝ 4 和圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4 没有交点、∴4 ＞2、∴ m 2＋ n 2m2＋ n2＜ 4.∴ m2＋ n2＜ m2＋ 4－ m2＝ 1－ 5m 2＜ 1、∴点 (m 、 n) 在椭圆 x2＋ y2＝ 1 的内部、∴过点 (m 、 9 4 9 4 36 9 4n)的直线与椭圆x2＋y2＝ 1 的交点有 2 个、应选 B.]94判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可获得一个对于x 、 y 的方程组、消去 y(或 x) 得一元方程、此方程根的个数即为交点个数、方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象、依据图象判断公共点个数．提示：直线与双曲线订交时要注意交点的地点限制参数的范围．考点二依据直线与圆锥曲线的地点求参数 (师生共研 )[ 典例](1) 若直线 y ＝ kx ＋2与双曲线 x 2－ y 2＝ 6的右支交于不一样的两点、则k 的取值范围是 ()－ 15， 1515A. 33B.0，3C. －15， 0 D. －15，－ 133[分析] Dy ＝ kx ＋ 2， [ 由得 (1－ k 2) x 2－ 4kx － 10＝ 0、x2 － y2＝ 6，1－ 4k2 ≠0＝ 16k2 － 4 1－ k 2 × － 10 ＞ 0∴x 1＋ x 2＝ 4k 2＞0、1－k10x 1x 2＝ k 2－ 1＞015直线与双曲线右支有两个不一样交点、解得－3 ＜ k ＜－ 1.应选 D.](2)(20xx ××· 市 模 拟 )已知直线 3x － y －3＝ 0与抛物线 y 2＝ 4x 交于 A 、 B 两点 (A 在 x 轴上方 )、与 x 轴交于 F 点、→＝ λ→OFOA→)＋ μOB 、则 λ－ μ＝ (1 111A. 2 B ．－ 2 C.3D ．－3[分析 ]B [ 直线 3x － y － 3＝0过抛物线的焦点 F(1,0) 、1把直线方程代入抛物线的方程y 2＝ 4x 、解得 x ＝ 3、或 x ＝ 3、不如设 A(3,23)y ＝ 23y ＝ 23 3、 B 1，－2 3.33→ → →∵OF ＝λOA ＋ μOB 、∴ (1,0) ＝ (3λ、 2 3λ)＋ 13μ，－ 2 3 3μ＝ 3λ＋ 13μ， 2 3λ－ 2 3 3μ .∴3λ＋ 1μ＝ 1,2 3λ－ 23μ＝ 0、∴ λ＝1、 μ＝ 3、3344则λ－ μ＝－1.应选 B.]2由地点关系求字母参数时、用代数法转变为方程的根或不等式解集、也能够数形联合、求出界限地点、再考虑其余状况．[追踪训练 ]1．(20xx ××·市三模)已知 F 为椭圆x2 ＋y2 43＝ 1的左焦点、 A 是椭圆的短轴的上极点、点B 在 x 轴上、且 AF⊥AB 、 A 、 B 、 F 三点确立的圆 C 恰巧与直线 x ＋ my ＋ 3＝ 0相切、则 m 的值为 ( )A ．±3B. 3 C ．± 3D ．3分析：C[由题意可知：椭圆x2＋y2＝ 1的左焦点 (－ 1,0)、设 B(x,0)、由 AF ⊥4 3x － 1x ＋ 1 AB 、且 A 、B 、 F 三点确立的圆 C 、圆心 C2 ， 0 、半径为 r ＝2.在△ AOC 中、由 |AO|2＋ |OC|2＝ |AC |2＝ r 2、即( 3)2＋x － 1 2 ＝ x ＋ 1 2、解得 x ＝ 3、则 C(1,0)、半径为 2、 22由题意可知：圆心到直线x ＋ my ＋ 3＝0距离 d ＝|1＋m ×0＋3|＝ 2、1＋ m2解得 m ＝ ± 3.应选 C.]2．已知直线 y ＝ x ＋ m 被椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1截得的弦长为22、则 m 的值为 ________．5解析：把直线 y ＝x ＋ m 代入椭圆方程得 4x 2＋ (x ＋m)2＝ 1、即 5x 2＋2mx ＋m 2－ 1＝0、设该直线与椭圆 订交于两点 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、则 x 1、 x 2是方程 5x 2＋ 2mx ＋m 2－ 1＝0的两根、＝ 4m 2 － 20(m2225 .由韦达定理可得 x 1＋ x 2＝－ 2m、 x 1·x 2＝m2－1 、所以 |AB|＝－ 1)＝－ 16m ＋ 20>0、即 m < 4 5 512 2－ 4x 1 24m2－ 4m2－4＝ 2 2、所以 m ＝ ±1.1＋ 12· x ＋ xx ＝ 2·2555答案： ±1考点三 弦长问题 (师生共研 )[ 典例 ] (20xx ××· 市 摸 底)如图、在平面直角坐标系xOy 中、椭圆x2 ＋y2a2b2＝ 1(a>b>0)的离心率为 1、过椭圆右焦点 F 作两条相互垂直的弦AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0时、2AB ＝ 4.(1)求椭圆的方程；48(2)若 |AB|＋ |CD|＝ 7 、求直线 AB 的方程．直观想象、逻辑推理、数学运算—— 直线与椭圆地点关系综合问题中的中心修养以学习过的直线与椭圆地点关系的有关知识为基础、借助直线、椭圆等平面图形的几何性质、经过逻辑推理将已知条件代数化、并经过消元等进行一系列的数学运算、进而使问题得以解决．信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算x2 y2椭圆 a2＋b2c 1＝2 着眼点 1：求椭圆的方程：1a＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为 2 待定系数法、经过解方程过椭圆右焦点 F 的弦 AB 斜率为 0求出 a 和 b2a ＝ 4时、 AB ＝4分两种状况议论：① 着眼点 2：求直线 AB 的方程 过椭圆右焦点 F 的弦 AB 与 CD 互 当两条弦中一条弦所在直线 ：待定系数法求出直线 AB相垂直、当直线 AB 斜率为 0时的斜率为 0时、另一条弦所在的斜率 k 、也就是利用弦长48直线的斜率不存在；② 48、 |AB|＝ 4、 |AB|＋ |CD |＝ 7当两弦所在直线的斜率均存公式将 |AB|＋ |CD |＝ 7在且不为 0转变为对于 k 的方程c 1[分析 ](1)由题意知 e ＝a ＝ 2、 2a ＝ 4.a ＝2， 又 a 2＝b 2＋c 2、解得b ＝ 3，所以椭圆方程为x24＋ y23＝ 1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0 时、另一条弦所在直线的斜率不存在、由题意知 |AB|＋ |CD |＝ 7、不知足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0 时、设直线 AB 的方程为 y ＝ k(x － 1)、 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2)、则直线 CD 的方程为 y ＝－1k (x － 1)．将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理、得(3 ＋4k 2 )x 2－ 8k 2x ＋ 4k 2－12＝ 0、则 x 1＋ x 2＝ 8k2 、x 1·x 2＝4k2 －12、3＋ 4k23＋ 4k2所以 |AB|＝ k2＋ 1|x 1－ x 2|＝12 k 2＋ 1 k2＋ 1· x 1＋ x2 2－4x1 x 2＝ 3＋4k 2 .12 1＋ 12＋ 1k2＝ 12 k 同理、 |CD|＝43k 2＋ 4 .3＋k2所以 |AB|＋ |CD |＝ 12 k 2＋ 112 k 2＋1 3＋4k 2＋3k 2＋484 k 2＋ 1 248 、解得 k ＝ ±1、＝3＋4k 23k 2＋ 4 ＝ 7 所以直线 AB 的方程为 x － y － 1＝0 或 x ＋ y － 1＝ 0.1．利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情况、若 k 不存在时、可直接求交点坐标再求弦长；2．波及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．[追踪训练 ]已知圆 C ： x 2＋( y － 1)2 ＝5、直线 l ： mx － y ＋ 2－ m ＝0.(1)求证： ? m ∈R 、l 与圆 C 总有两个不一样的交点 A 、 B ；(2)当 |AB|取最小值时、求 l 的方程与 |AB|的最小值．x2＋ y － 1 2＝ 5，解： (1) 由 消去 y 并整理得、 (1＋ m 2)x 2＋ 2m(1－ m)x ＋m 2－ 2m － 4＝ 0、mx －y ＋ 2－ m＝ 0所以 ＝ [2m(1－m)] 2－4(1＋ m 2)(m 2－ 2m － 4)＝ 16 m ＋ 115＞ 0、 4 2＋16 所以 ? m ∈ R 、直线 l 与圆 C 总有两个不一样的交点 A 、 B.2－ 1＝ 1、(2)由 (1)可得 k CD ＝ 1－ 0当|AB |取最小值时、直线 l 的斜率 k ＝－ 1、即 m ＝－ 1、故此时直线 l 的方程为－ x － y ＋3＝ 0、即 x ＋ y － 3＝ 0.x ＋ y －3＝ 0，设 A(x 1、 y 1 )、 B(x 2、y 2)、不如设x 1＜ x 2、由 消去 y 并整理得x2＋ y － 1 2＝ 5，2x 2－ 4x － 1＝ 0. ①解①得 x 1＝ 1－ 26、 x 2＝ 1＋ 26、所以 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 23. 考点四 中点弦问题 (多维研究 )[命题角度 1] 由中点弦确立直线方程1．已知 (4,2)是直线 l 被椭圆x2 ＋y2 369＝ 1所截得的线段的中点、则 l 的方程是 ________________ ．分析： 设直线 l 与椭圆订交于 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2 )．则x21＋ y21＝ 1、且x2＋ y2＝ 1、369369两式相减得y1－y2＝－ x1＋ x2.x1－x24 y 1＋y 2 又 x 1＋ x 2＝ 8、 y 1＋ y 2＝ 4、y1 － y2 1所以 x1 － x2 ＝－ 2、故直线 l 的方程为1y － 2＝－ 2(x － 4)、即 x ＋ 2y － 8＝0.答案： x ＋ 2y －8＝ 0由中点弦确立直线方程常用点差法：即设出弦的两头点坐标后、代入圆锥曲线方程、并将两式相减、式中含有x 1＋ x 2、 y 1＋ y 2、y1－ y2三个未知量、这样就直接联系了中点和直线的x1－ x2斜率、借用中点公式即可求得斜率；也能够利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程获得方程组、化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．[提示 ] 中点弦问题常用的两种求解方法各有缺点：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解、需关注直线的斜率问题；点差法在确立范围方面略显不足．[命题角度 2]由中点弦确立曲线方程2．已知椭圆 E ：x2 ＋y2 a2b2＝ 1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)、过点 F 的直线交 E 于A 、 B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1 、－ 1)、则 E 的方程为 ()x2＋ y2＝ 1 B.x2＋y2＝1A. 45 363627x2＋ y2 ＝1D.x2＋y2＝1C.27 1818 9x21 y21x2 y2分析： D[设 A( x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2 )、则 a2＋b2＝ 1、 a2＋ b2＝ 1、两式作差并化简变形得y1－ y2＝x1－ x2b2 x 1＋ x 2y1 － y2 0－ －1 1、 x 1＋ x 2＝ 2、 y 1＋ y 2＝－ 2、所以 a 2 ＝ 2b 2、又由于－ 2 1 2 、而 ＝ ＝ 2 a y ＋y x1 － x23－ 1a 2－b 2＝c 2＝ 9、于是 a 2＝ 18、 b 2 ＝9.应选 D.]由中点弦确立曲线方程、一般常用点差法、用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式、求解即可．[命题角度3]由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x2－y2 a2b2＝ 1(a>0 、 b＞ 0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4、若抛物线 y＝ ax2上的两点 A(x11、y1)、B(x2、y2 )对于直线 y＝ x＋m对称、且 x1x2＝－2、则 m的值为 ()35A. 2B. 2C．2 D ． 3分析： A[ 由双曲线的定义知2a＝ 4、得 a＝ 2、所以抛物线的方程为y＝2x2.由于点 A(x1、 y1)、 B(x2、 y2)在抛物线 y＝ 2x2上、所以 y1＝ 2x 12、 y2＝ 2x2、两式相减得 y1－ y2＝ 2(x1－x2)(x1＋x2)、不如设 x1＜ x2、又 A、 B对于直线 y＝ x＋ m对称、所以y1－ y2 x1－ x2＝－ 1、故 x121、而 x1 21、解得 x1＝－21 、设A(x1122＋ x ＝－2x ＝－21、 x ＝2、 y )、 B(x 、 y )的中点为M(x0、 y0)、则 x0＝x1 ＋ x2＝－1、 y0＝y1＋ y2＝2x21＋2x2 2422＝5、由于中点 M在直线 y＝ x＋ m上、所以5＝－1＋ m、解得 m＝3.应选A.]4442由中点弦解决对称问题、第一依据斜率之积等于－1、用点差法表示出有关式子．再利用中点在已知直线上、代入解的．[命题角度4] 由中点弦解决离心率问题4．(20xxx2＋y2＝ 1(a＞ b＞ 0)的右焦点为 F(1,0)、且离心率为1 、××·市一模 )已知椭圆 r：a2 b22△ABC的三个极点都在椭圆r 上、设△ABC三条边 AB、 BC、 AC的中点分别为 D、 E、M 、且三条边所在直线的斜率分别为k1、 k2、 k3、且 k1 231＋1＋1、 k 、 k 均不为 0.O为坐标原点、若直线 OD 、 OE、OM 的斜率之和为 1.则k1k2k3＝ ________.分析：由 c＝ 1、 e＝c＝1、则 a＝ 2、b2＝a2－ c2＝ 3、a2x2y2∴椭圆的标准方程为 4 ＋3＝1.设A(x1、y1)、 B( x2、 y2)、 C(x3、 y3)、 D(s1、 t1)、 E(s2、t2)、 M(s3、t3)．由A、 B在椭圆上、则 3x21＋ 4y21＝ 12,3x2＋ 4y2＝ 12、两式相减获11/17y1－ y2＝－3x1＋x2、所以 k1＝y1－ y2＝－3x1＋ x2＝－3s1、即1＝－4t1、同理1x1－ x24·x1－ x24·＋ y24·k13s1k2 y1＋ y2y1t1＝－3s24t2、k31＝－3s34t3、所以k11＋k21＋k31＝－43t1s1＋s2t2＋s3t3、直线 OD 、 OE、OM 的斜率之和为1、则1＋1＋1＝－4. k1 k2 k334答案：－由中点弦解决离心率问题、指导思想是整体代换、设而不求、设出两个有关点的坐标、利用点差法、把有关的关系式是表示出来、再依据详细题目的条件求解．1．已知抛物线 y2＝ 2x、过点 (－ 1,2)作直线 l、使 l与抛物线有且只有一个公共点、则知足上述条件的直线l共有 ()A．0条 B ．1条C． 2条D．3条分析： D[ 由于点 (－ 1,2)在抛物线y2＝2x 的左边、所以该抛物线必定有两条过点(－1,2)的切线、过点 (－ 1,2)与 x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点、所以过点(－ 1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点、应选 D.]2．直线 y＝ x＋1截抛物线 y2＝ 2px所得弦长为 26、此抛物线方程为 ()A ． y2＝－ 2x B． y2＝ 6xC． y2＝－ 2x或y2＝6x D．以上都不对分析：C[由y＝ x＋ 1，得 x2＋ (2－ 2p)x＋ 1＝ 0.x1＋ x2＝2p－ 2、x1x2＝ 1. ∴ 2 6 y2＝ 2px＝ 1＋ 12· x＋ x2－ 4x1x2＝2· 2p－ 22－4.解得 p＝－ 1或 p＝3、2∴抛物线方程为 y2＝－ 2x或y2＝ 6x.应选 C.]3．过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2－y2 2＝ 1交于 A、 B两点、使点 P为 AB中点、则这样的直线()A ．存在一条、且方程为2x－ y－ 1＝ 0B．存在无数条C．存在两条、方程为2x±(y＋ 1)＝ 0D．不存在分析： D[ 设 A(x1、y1 )、B(x2、y2)、则 x1＋ x2＝ 2、y1＋ y2＝2、则11 x21－ y21＝ 1、 x2－ y2 22＝ 1、两式相减得 (x1－ x2)( x1＋ x2)－12 (y1－ y2)( y1＋ y2)＝ 0、所以 x1－ x2＝12(y1－ y2)、即 k AB＝2、故所求直线方程为y－ 1＝ 2(x－ 1)、即 2x－ y－ 1＝ 0.y＝ 2x－1，联立1可得2x2－ 4x＋ 3 ＝ 0 、但此方程没有实数解、故这样的直线不存x2－2y2＝ 1在．应选 D.]4．(20xx· 全国Ⅰ卷)设抛物线C： y2＝4x的焦点为 F 、过点 (－ 2,0)且斜率为2 3→ →的直线与 C交于 M、 N两点、则 FM·FN ＝()A ． 5B ． 6C． 7D． 8分析： D[ 如图焦点 F(1,0)、2直线的方程为 y＝3(x＋ 2)、将其代入 y2＝ 4x得： x2－ 5x＋ 4＝0、设M (x1、 y1)、 N(x2、 y2)、则 x1＋ x2＝ 5、 x1x2＝ 4、→→∴FM ·FN ＝(x1－ 1、 y1 ) ·(x2－ 1、 y2)＝ (x1－ 1)(x2－ 1)＋ y1y22 2＝x1x2－ (x1＋ x2)＋ 1＋ (x1＋ 2) ·(x2＋2)3 3 13125＝9 x1x2－9(x1＋ x2)＋9＝139× 4－19× 5＋259＝ 8.]5．(20xx ·浙江百校联盟联考)已知椭圆x2＋y2 a2b2＝1(a>b>0)的右极点和上极点分别为A、B、左焦点为F .以原点O为圆心的圆与直线BF相切、且该圆与 y轴的正半轴交于点 C、过点 C的直线交椭圆于 M、 N两点．若四边形 FAMN 是平行四边形、则该椭圆的离心率为()3123A. 5B. 2C.3D.4分析： A[ 由于圆 O 与直线 BF 相切、所以圆O 的半径为bc、即 |OC|＝bc、由于四边形a aFAMN 是平行四边形、所以点M 的坐标为a＋ c，bc、代入椭圆方程得a＋2c 2＋c2b2＝ 1、所2a4a a2b2以 5e2＋ 2e－ 3＝ 0、又 0<e<1、所以 e＝35.应选 A.]6．(20xx ·全国卷Ⅲ )已知点 M(－ 1,1)和抛物线 C： y2＝ 4x、过 C的焦点且斜率为k的直线与 C交于 A、B两点．若∠AMB ＝90°、则 k ＝ ________.y2＝ 4x 分析： 设直线 AB 的方程为 y ＝ k( x －1)、由y ＝ k x － 1得k 2x 2－ (2k 2＋ 4)x ＋ k 2＝ 0、设 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2)．则x 1＋ x 2＝2k2 ＋ 4、 x 1·x 2＝ 1.k2∵∠ AMB ＝90°、∴ k MA ·k MB ＝－ 1解 y1－ 1 y2 － 1x1 · ＝－ 1.＋1 x2 ＋ 1化简得 k 2－ 4k ＋ 4＝ 0、解得 k ＝ 2. 答案： 27．过点 M(2、－ 2p)作抛物线 x 2＝ 2py(p ＞0)的两条切线、切点分别为A 、B 、若线段 AB 的中点的纵坐标为6、则 p 的值是 ________．分析： 设点 A(x 1122x 、、y )、 B( x 、y )、依题意得、 y ′ ＝ px1 x1 x21切线 MA 的方程是 y － y 1＝ p (x －x 1 )、即 y ＝ p x －2p .又点 M(2 、－ 2p)位于直线 MA 上、于是有－ 2p ＝x1× 2－x21、即 x21－ 4x 1－ 4p 2＝ 0；同理有x2－ 4x 2－ 4p 2＝ 0、所以 x 1、 x 2 是方程p 2px 2－ 4x － 4p 2＝ 0 的两根、则 x 1＋ x 2＝ 4、 x 1x 2＝－ 4p 2.由线段 AB 的中点的纵坐标是6 得、 y 1＋ y 2＝ 12、即 x21＋ x2＝ x 1＋ x 22－ 2x 1x 2＝ 12、 16＋ 8p2＝ 12、解得 p ＝ 1 或 p ＝ 2.2p2p2p答案： 1或 28．(20xx ××·市模拟)椭圆x2＋y243＝ 1的左、右焦点分别为 F 1、 F 2、过椭圆的右焦点 F 2作一条直线 l 交椭圆与 P 、Q 两点、则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ________________________________________________________ ________________ ．分析： 由于三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍、且△ F 1PQ 的周长是定值 8、所以只要求出△F 1PQ 内切圆的半径的最大值即可．设直线 l 方程为 x ＝my ＋1、与椭圆方程联立得(3m 2＋ 4)y 2＋ 6my － 9＝0.设 P(x 1、 y 1)、Q(x 2、y 2)、则 y 1＋ y 26m、y 1 y 29、＝－3m2＋ 4 ＝－3m2＋ 4于是 S △F 111 212122－ 4y 1 2m2＋1PQ ＝2|F F | ·|y － y |＝ y ＋ yy ＝ 123m 2＋ 42.∵ m2＋ 1 2＝ 1≤ 1 、2 4 13m ＋＋ 6 169m2＋ 9＋m2＋ 1∴S △ F 1PQ ≤ 3所之内切圆半径r ＝2S △F1PQ ≤ 3、所以其面积最大值是9 π.84169答案： 16π9．(20xx ·北京模拟)已知椭圆 C ：x2 ＋y2 a2b2＝ 1(a>b>0)的离心率为1、椭圆的短轴端点与双曲线y2 22－ x 2＝ 1的焦点重合、过点 P(4,0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 订交于 A 、B 两点．(1)求椭圆 C 的方程；→ →(2)求 OA ·OB 的取值范围．解： (1) 由题意知 e ＝ c ＝ 1、所以 e 2＝c2＝a2－b2＝ 1、所以 a 2＝4b 2.a 2 a2a243y2由于双曲线2 － x 2＝ 1 的焦点坐标为 (0、 ± 3)、所以 b ＝3、所以 a 2＝4、所以椭圆 C 的方程为x2＋y2＝ 1.43→ →(2)当直线 l 的倾斜角为 0°时、不如令 A(－ 2,0)、 B(2,0)、则 OA ·OB ＝－ 4、当直线 l 的倾斜角不为 0°时、设其方程为 x ＝ my ＋ 4、由x ＝ my ＋ 4， ? (3m 2＋ 4)y 2＋ 24my ＋ 36＝ 0、3x2＋ 4y2＝ 12由 >0? (24m)2－ 4× (3m 2＋ 4)× 36>0? m 2 >4、设 A(my 1＋ 4、y 1)、 B(my 2＋ 4、y 2)．由于 y 1 224m、 y 1236 、＋ y ＝－3m2＋ 4y＝3m2＋ 4→ →＝ (my 1 2 1 22 1 2 12 1 2 116 －4、所以 OA·OB 3m2＋＋ 4)(my ＋ 4)＋ y y ＝ m y y ＋ 4m(y ＋ y )＋ 16＋ y y ＝ 4→ → －4， 13.由于 m 2>4、所以 OA ·OB ∈ 4综上所述、→ →的取值范围为－ 4， 13.OA ·OB 410． (20xx ××·市一模)已知椭圆 C ：x2 ＋y2a2 b2＝ 1(a ＞ b ＞0)的离心率为2、 F 121x22、 F 分别是椭圆 C 的左、右焦点、椭圆 C 的焦点 F 到双曲线 2－ y2＝ 1渐近线的距离为 33.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 AB ： y ＝kx ＋ m(k ＜0) 与椭圆 C 交于不一样的 A 、B 两点、以线段 AB 为直径的圆经过点25F 2、且原点 O 到直线 AB 的距离为、求直线 AB 的方程．解： (1) ∵椭圆 C ：x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为2、a2 b22∴c＝2、∵双曲线x2－ y 2＝ 1 的一条渐近线方程为 x － 2y ＝ 0、a22椭圆 C 的左焦点 F 1(－ c,0)、∵椭圆 C 的焦点 F 1 到双曲线x2－ y 2＝1 渐近线的距离为3 .23∴ d ＝|－c|＝ 3＝ c 得 c ＝ 1、1＋2 33则 a ＝ 2、 b ＝ 1、则椭圆 C 的方程为x2＋ y 2＝ 1；2(2)设 A 、 B 两点的坐标分别为 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、 由原点 O 到直线 AB 的距离为25、得5|m| ＝2 5、1＋ k25即 m 2＝ 4(1＋ k 2)、① 5将 y ＝ kx ＋ m( k ＜0)代入 x22 ＋ y 2＝ 1；得 (1＋ 2k 2)x 2＋ 4kmx ＋ 2m 2－ 2＝ 0、则鉴别式＝ 16k 2 m 2－ 4(1＋ 2k 2)(2m 2－ 2)＝ 8(2k 2－ m 2＋ 1)＞ 0、∴ x 1＋ x 2＝－ 4km 、x 1x 2＝2m2－ 2、1＋ 2k21＋ 2k2 ∵以线段 AB 为直径的圆经过点 F 2、→ →＝ 0、∴AF2 ·BF2 即( x 1－ 1)(x 2－ 1)＋ y 1y 2 ＝0.即( x 1－ 1)(x 2－ 1)＋ (kx 1 ＋m)(kx 2＋ m)＝0、即(1 ＋k 2)x 1x 2＋ (km － 1)(x 1＋ x 2)＋ m 2＋1＝ 0、∴ (1 ＋k 2)2m2－2＋ ( km － 1) － 4km ＋m 2＋ 1＝ 0、 1＋ 2k21＋ 2k2 化简得 3m 2＋ 4km － 1＝ 0 ②由①②得 11m 4－ 10m 2－ 1＝ 0、得 m 2＝ 1、∵ k ＜0、m＝ 1∴1、知足鉴别式＝ 8(2k2－ m2＋ 1)＞ 0、k＝－21∴AB 的方程为y＝－2x＋ 1.。
圆锥曲线(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
圆锥曲线（文科）解答题20题1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y+=，2C ： 28y x =.【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b -不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =. 所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥， 此时103OQk <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q 坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对0y 取值范围的讨论.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：21223122123213|2|21()1()1y y y y y -+=+++--22112222111111(1)4y y y y +===+-+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或2【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-=+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0=t 或1t =±.当0=t 时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点． （1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.【答案】(1) 31e =；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【分析】（1）先连结1PF ，由2POF 为等边三角形，得到1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c =；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）连结1PF ，由2POF 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c ，于是1223a PF PF c c =+=， 故椭圆C 的离心率为3113c e a ===+； （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=， 即16c y = ① 222x y c += ②22221x y a b += ③ 由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故42a ≥当4b =，42a ≥P . 故4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6； （2）见解析. 【分析】（1）设(),A t t -，(),B t t -，根据AB 4=，可知t =M 必在直线y x =上，可设圆心(),M a a ；利用圆心到20x +=的距离为半径和MA MB r ==构造方程，从而解出r ；（2）当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =，由圆的性质可知圆心M 必在直线1=-y x k 上；假设圆心坐标，利用圆心到20x +=的距离为半径和r MA =构造方程，解出M 坐标，可知M 轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知()1,0P 为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB 斜率不存在时，求解出M 坐标，验证此时()1,0P 依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】 （1）A 在直线0x y +=上 ∴设(),A t t -，则(),B t t -又AB 4= 2816t ∴=，解得：t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上设(),M a a ，圆的半径为rM 与20x +=相切 2r a ∴=+又MA MB r ==，即((222a a r +=((()2222a a a ∴+=+，解得：0a =或4a =当0a =时，2r ；当4a =时，6r =M ∴的半径为：2或6（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -= 说明如下：A ，B 关于原点对称且AB 4=∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx = 则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上设(),M km m -，M 的半径为rM 与20x +=相切 2r km ∴=-+又222224r MA OA OMk m m ==+++22224km k m m ∴-+++，整理可得：24m km =-即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0FMA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+ 1MA MF ∴-=∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =M ∴在x 轴上，设(),0M n224n n ∴++0n =，即()0,0M 若()1,0P ，则211MA MP -=-=综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值. 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.9．（2020年北京市高考数学试卷）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦ 2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．（2020年天津市高考数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=， 所以，椭圆的方程为221189x y +=； （Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>2()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠， 故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y =x –1,(2)()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=． 【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【答案】（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析. 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--； （2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.综上，ABM ABN ∠=∠. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题文档版）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．（2）先求出点P 的坐标，解出m ，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．详解：（1）设()11A x y ，，()22B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得211,043m m +<>∴302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设()33P x y ，，则()()()()33112211100x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3||=2FP ． 于是()()222211111||1131242x xFA x y x ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭．同理2||=22x FB -． 所以()121|43|||2FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m ，得到FP ,再有两点间距离公式表示出,FA FB ，考查了学生的计算能力，难度较大．15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析. 【详解】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得00x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，21运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.16．（2017年全国1卷（文数））设A ，B 为曲线C ：y ＝24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7． 【分析】（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝124x x+，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB 的斜率，根据导数的几何意义求得M 点坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB ，由AM BM ⊥知，|AB |＝2|MN |，从而求得参数m . 【详解】解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝214x ，y 2＝224x ，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝124x x+＝1．（2）由y ＝24x ，得y ′＝2x ．设M (x 3，y 3)，由题设知32x ＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|． 将y ＝x ＋m 代入y ＝24x 得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±1m + 从而|AB |2x 1－x 2|＝()421m +由题设知|AB |＝2|MN |，即()421m +2(m ＋1)， 解得m ＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．17．（2016年全国2卷（文数））已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.试卷第22页，共26页（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积 （Ⅱ） 当2AM AN =时，证明：32k <<. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示AM ，同理用k 表示AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=. 解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故22121212134k AM x k k+=++=+. 由题设，直线AN 的方程为，故同理可得2121k k AN +=. 由2AM AN =得222343+4kk k =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又(3)153260,(2)60f f ==，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)32k <. 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.2318．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（1）2；（2）没有. 【分析】（Ⅰ）先确定2,,t N t ON p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为py x t =，代入22y px =整理得2220px t x -=，解得21220,t x x p ==，因此22(,2)t H t p ，所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 的方程为2py t x t-=，与22y px =联立得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，即可得出结论.【详解】（Ⅰ）由已知得()20,,,2t M t P t p ⎛⎫⎪⎝⎭. 又N 为M 关于点P 的对称点，故2,,t N t ON p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为py x t =，代入22y px =整理得2220px t x -=， 解得21220,t x x p ==，因此22(,2)t H t p， 所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点. 理由如下： 直线MH 的方程为2py t x t-=，即2()t x y t p =-，代入22y px =，得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系试卷第24页，共26页是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.19．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分別为12,A A ，右焦点为F （1，0），且椭圆C 的离心率为12，M ，N 为椭圆C 上任意两点，点P 的坐标为（4，t ）（t ≠0），且满足1122,AM MP A N NP λλ==. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：M ，F ，N 三点共线. 【答案】（1）22143x y +=； （2）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题设易知1,,A M P 共线，2,,A N P 共线，利用向量共线的坐标表示有()()22112222292x y y x +=-，再由M ，N 在椭圆上可得()12122580x x x x -++=，最后由11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-结合分析法证明结论. （1）椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，且离心率为12，∴a =2，c =1，则b 2=a 2-c 2=3， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，设()()1122,,,M x y N x y ， ∴111(2,)AM x y =+，1(6,)A P t =，222(2,)A N x y =-，2(2,)A P t =， ∵11AM MP λ=，22A N NP λ=，25∴1,,A M P 三点共线，2,,A N P 三点共线，即()()11226222y t x y t x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，整理得1122322y x y x +=-，两边平方得()()22112222292x y y x +=-，① 又M ，N 在椭圆上，则22112222334334y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入①并化简得()12122580x x x x -++=，又11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-，∴要证M ，F ，N 三点共线，只需证()()211211y x y x -=-，即112211y x y x -=-，只需证()112221321x x x x +-=--，整理得()12122580x x x x -++=，∴M ，F ，N 三点共线. 【点睛】关键点点睛：第二问，设()()1122,,,M x y N x y ，由向量共线得1122322y x y x +=-，利用分析法结合向量共线的坐标表示只需证112211y x y x -=-，最后由M ，N 在椭圆上求证即可.20．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高三阶段练习（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，3AB =（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，求ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率. 【答案】 （1）22143x y += （2332114± 【分析】（1）根据题意得22221223c a ba abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，再解方程即可得答案； （2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，进而将直线l 的方程与椭圆试卷第26页，共26页方程联立，并结合韦达定理得ABFS =，再令)0t t =>，结合基本不等式求解即可. （1）解：由题知：2222122231c a a bb ac a b c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩ 所以椭圆22:143x y C +=.（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y ､()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >.由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFSy y =-=①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABFt St t t ==++当且仅当163t t =，即t =.此时3m =±l的斜率为14±.27。
高考数学总复习直线和圆锥曲线的位置关系
高考数学总复习：直线和圆锥曲线的位置关系知识网络目标认知考试大纲要求：使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.知识要点梳理知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。
一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。
1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。
（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。
考点41直线与圆锥曲线的位置关系高考全攻略之备战2020年高考数学(理)考点一遍过
（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想. 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=. （1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1||1||(0)＝AB x x y y k x x y y k k -+-=+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a -.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a .（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =. 考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解. 典例1 已知椭圆，直线:y ＝x ＋m ．(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；(2)若与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ． （1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，1．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点．考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程； （2）若，求x AB的最小值． ∴，即，∴， ∴，，典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．【解析】（1）由已知得，则，又，∴，∴椭圆的方程为221124x y +=． （2）由221124y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得①.∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，设、，则，，当时，， 此时，线段的中垂线方程为，即，令，得． 当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．2．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点． （1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． （1）若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； （2）若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．典例6 已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2与椭圆E 交于不同的两点A ,B .（1）直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由； （2）求△ABM 的面积的最大值.【解析】（1）因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =c ,a =2,所以a =2,b =,所以椭圆E :+=1,点M (0,).将直线l :y =kx+2代入椭圆E 的方程,整理得(3+4k 2)x 2+16kx+36=0. (*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0,所以k ∈(-∞,-)∪(,+∞),x 1+x 2=216334kk-+,x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB =()()121212123333kx kx y y x x ++--⋅=()1221233k x x k x x ++=+ 22221633393613636434k k k k k k⎛⎫-⋅+ ⎪-⎝⎭=+=+=+, 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率5e =，虚轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线=与椭圆=的位置关系为A．相交B．相切C．相离D．不确定2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为A．B．C．D．3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则A．B．16C．32 D．4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率A．B．C．D．5．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若22AB BC=,则双曲线的渐近线方程为A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=06．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos∠MON的值为A．513B．513-C．21313D．21313-7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．78．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为A ．221189x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．2214536x y +=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为 A ． B ． C ．D ．10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则A ．2B ．3C ．D ．11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为 A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x =D ．y 2=x13．已知椭圆C :+=1,过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,若=2,则直线l 的斜率为A ．114±B ．114 C ．1414±D ．141414．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_________.15．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________． 16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．18．过抛物线C :y 2=x 上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ恒过定点_________.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率63e =，焦距是22．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，625CD =，求k 的值． 20．已知抛物线上的点P 到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程； （2）若的面积为，求直线的方程.21．设A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为33 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．22．已知抛物线22(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 的值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．23．已知点(1,2)D 在双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）上，且双曲线的一条渐近线的方程是30x y +=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； （3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于A B 、两个不同的点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值． 24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.（1）求椭圆的方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.25．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值．26．已知椭2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线:20l x y -+=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．82．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．143．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．44．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________________．5．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．8．（2018北京理科）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．9．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．10．（2018天津理科）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值． 11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．12．（2017新课标全国I 理科）已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，，P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得5,22,c b a ==又222a b c +=，解得2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222(14)84(1)0k x mkx m ---+=，则222212221226416(14)(1)08144(1)14m k k m mk x x k m x x k ∆⎧⎪=+-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+=⎪-⎩， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++=222414m k k--， 4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线.令，可知：,1．【答案】A【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A ．考点冲关2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x =±，∴当﹣1＜k ≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点； 当k ≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点. 把1y kx =-代入得22(1)250k x kx -+-=，令22420(1)0k k ∆=+-=，解得k =或k =﹣（舍去）．∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k ＜．故选D ．3．【答案】C 【解析】由题意知，AB 所在直线的方程为，联立消元得，设，则，所以，故选C ．4．【答案】B 5．【答案】C【解析】由题意知直线过点A (a ,0),且斜率k =tan 135°=-1, 则直线的方程为x+y-a =0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B (,),C (,-),则有22222222(,)a b a bBC a b a b=---,(,)ab ab AB a b a b =++-. 因为,所以2222ab a ba b a b-=+-, 化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x ±y =0.故选C.6．【答案】B【解析】由题意,a 2=4,b 2=3,故c ===1.不妨设M (1,y 0),N (1,-y 0),所以+=1,解得y 0=±32, 所以|MN |=3,|OM |=|ON |=2231()2+=.由余弦定理知2222221313()()3522cos 2131313222OM ON MNMON OM ON+-+-∠===-⨯⨯,故选B. 7．【答案】B 8．【答案】 A【解析】由题意设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12121222120x x y y y y a x x b +-++⨯=-；因为AB 的中点坐标为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-； 因为1212101132AB y y k x x ---===--，所以2221202a b-+⨯=，所以222a b =； 因为223c a b ==-，所以2218,9a b ==．所以E 的方程为221189x y +=．故选A ．9．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222±2 4±2 4a x a b b y a b =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得222244443a b a b +=+，即，解得．故选B ．10．【答案】B 11．【答案】B【解析】联立方程得，消去y 化简得，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．12．【答案】C是23y x =,选C. 13．【答案】C【解析】由题意可得,直线l 的斜率存在且不为0,不妨设直线l :y =k (x-1),则由2228y kx k x y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得,(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由根与系数的关系可得x 1+x 2=22412k k +,x 1x 2=222812k k-+. 因为=2,所以x 1+2x 2=3,所以x 2=223212k k ++,x 1=,所以x 1x 2=·,化简得k 2=,解得k =±,故选C.14．【答案】-1或0【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即k =-1.从而k =-1或0. 15．【答案】82316．【答案】【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程，整理得，∵渐近线与抛物线相切， ，即.故答案为. 17．【答案】【解析】设，中点，则，把点代入椭圆的方程，整理得，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+， 即.18．【答案】(2,-1)19．【解析】（1）由题意得222c =，所以22c =，又63c a =，所以23a =，21b =， 所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k⋅=+，又221212()()CD x x y y =-+-，1212()y y k x x -=-， 所以2212621()5k x x =+-， 又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k -=+-=-++，代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=， 解得297k =-（舍去）或23k =，即3k =±， 经验证，3k =±能使①成立， 故3k =±． 20．【解析】（1）设，由定义知，，，故抛物线的方程为.（2）设，由（1）知.若直线的斜率不存在，则方程为， 故直线的方程为或.21．【解析】（1）由实轴长为33a =23y x =，即230bx y ±=，32312bc b =+，又2222,3c b a b =+∴=，所以双曲线的方程为221123x y -=．（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ， 则120120,x x tx y y ty +=+=，由212223231638401631123y x x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以12123()412y y x x +=+-=，所以0043x y =， 又22001123x y -=，所以00433x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以4t =，所以(43,3)D ．22．【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =， 23．【解析】（1）由题意知，221213a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．因此，所求双曲线C 的方程是221113x y -=，即2231x y -=． （2）∵直线l 过点(0,1)且斜率为k ，∴直线l 的方程为1y kx =+．由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=． ∵直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，∴22230(2)4(3)(2)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=---->⎪⎩，解得(6,3)(3,3)(3,6)k ∈---．（3）设直线l 与双曲线C 的交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由（2）可得1221222323k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，24．【解析】（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、.由题设知：. 由，得，则.∴椭圆的方程为.（2）过点，斜率为的直线：，即：.与椭圆的方程联立，消去得①，由与椭圆有两个不同的交点，知，解得22k <-或22k >. ∴k 的取值范围是22,,⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，可知1x 、2x 是①的两根， ∴不存在满足题设条件的.25．【解析】（1）由21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得214p =，则2p =. 所以抛物线1C 的标准方程为24y x =.22222:1(0)y x C a b a b +=>>(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上，可解得1b c ==，则2a =故椭圆2C 的标准方程为2212y x +=. （2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(0,)N k -．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=， 则216160k ∆=+>，21212224,1k x x x x k++==. 由1NA AF λ=，2NB BF λ=，得111(1)x x λ-=，222(1)x x λ-=， 整理得121212,11x xx x λλ==--， 故12121212121212()21111()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 故12λλ+为定值1-.26．【解析】（122ce a==，此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1(,1)2--． ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，易知1m ≠±．设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=，则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+.（1）∵124k k +=，∴1212114y y x x --+=， 即1212114kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)4x x k m x x ++-=.把（1）代入得21km k m -=+，则2(1)k m =+，故12km =-. 则直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-， 故直线AB 过定点1(,1)2--．1．【答案】D 2．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP 得2tan 6PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 3．【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y =联立，求得M，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ． 4．【答案】2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M'x y ，分别过点A ，B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B'，因为90AMB ∠=︒，所以111||||(||||)(||||)222MM'AB AF BF AA BB'==+=+'，因为M'为AB 的中点，所以MM'平行于x 轴，因为1()1,M -，所以01y =，则122y y +=，所以2k =． 5．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ， 6．【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,)2或(1,2-，所以AM的方程为2y x =-+2y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．7．【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=． 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-，同理2||22x FB =-，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列． 8．【解析】（1）因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩可得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-．9．【解析】（1）因为椭圆C 的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y ==．因此点P的坐标为．10．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以k 的值为111228或． 11．【解析】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2l x my =+．由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆MM 的方程为22(3)(1)10x y -+-=． 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部. 12．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点．又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．。
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十章§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系_PDF压缩
其方程为 ｙ ＝ ｋ（ｘ＋２）．
{ｙ ＝ ｋ（ ｘ＋２） ，
由 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 消去 ｙ 得（３＋４ｋ２ ） ｘ２ ＋１６ｋ２ ｘ＋１６ｋ２ －４８ ＝ ０． １６ １２
（６ 分）
设
Ａ（
ｘ１
，ｙ１
）
，Ｂ（
ｘ２
，ｙ２
）
，则
ｘ１
＋ｘ２
＝
－ １６ｋ２ ３＋４ｋ２
，ｘ１
ｘ２
＝
１３６＋ｋ２４－ｋ４２ ８．
考 点 直线与圆锥曲线的位置关系 高频考点
１．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法
（１） 代数法：将问题转化为研究直线方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０ 与圆
锥曲线方程 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０ 组成方程组的解的个数问题，进而转化为
对一元二次（ 或一次） 方程解的情况的研究，具体如下：
{ 联立
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０， ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０， 消去
ｙ，
得
ｋ２１
ｘ２
－ ２ｋ２１
ｘ－
４ｘ＋ｋ
２ １
＝
０，所以
ｘ１
＋ｘ２
＝
２ｋ２１ ＋ ｋ２１
４
．
同理，直线
ｌ２
与抛物线的交点满足
ｘ３ ＋ｘ４
＝
２ｋ
２ ２
＋
ｋ２２
４ ．
由抛物线定义可知
｜
ＡＢ
｜
＋
｜
ＤＥ
｜
＝
ｘ１
＋ｘ２
＋ｘ３
＋ｘ４
＋ ２ｐ
＝
２ｋ２１ ＋４ ＋ ｋ２１
２ｋ２２ ＋
ｋ
２ ２
４
＋
４
＝
４ ｋ２１
2020高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第三节直线与圆锥曲线的位置关系 文
第三节 直线与圆锥曲线的位置关系近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点.一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为0.5-0.7左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为0.3～0.5左右.考试要求：(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题.突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等数学思想方法.（2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.题型一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 在平面直角坐标系y x 0中,经过点()2,0且斜率k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围.（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B,是否存在常数k ,使的向量Q O P O ρρ+与B A ρ共线？如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.点拨:(1)设出L 的方程2+=kx y 与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出k 的范围.(2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出k ,再根据k 的取值范围确定k 是否存在.解： (1)由已知条件,直线l 的方程为2+=kx y 代入椭圆方程得1)2(222=++kx x ① 整理得(0122)21(22=+++kx x k 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于△=024)21(48222>-=+-k k k 解得.2222>-<k k 或 即k 的的取值范围为).,22()22,(+∞⋃--∞ (2)设P(),(),,2211y x Q y x , 则Q O P O ρρ+=),(2121y y x x ++ 由方程①得,2124221k kx x +=+ 又22)(2121++=+x x k y y 而OA y xBA ),1,2(),1,0(),0,2(-=B A B ρ所以Q O P O ρρ+与B A ρ共线等价于)(22121y y x x +-=+解得,22=k 由(1)知.2222>-<k k 或矛盾,故没有符合题意的常数k . 易错点: 忽视k 的取值范围导致错误. 变式与引申1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率是( )A ．(1,2]B ．)2,1(C ．[2，+∞)D ．),2(+∞ 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题解（1）：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得21221x b =±-，2121x x b S -==212b b -2211b b +-=≤． 当且仅当2b =S 取到最大值1． （2）：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x b kx y 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 2241k b ∆=-+，211||1||AB k x x =+-g 222241124k b k k -+=+=+g…………②设O 到AB 的距离为d ，则 21||Sd AB ==，又因为d =，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是y x =+或y =或y =+，或y x =易错点：（1）忘记均值不等式的应用导致寸步难行.（2）忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错. 变式与引申2.设椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A ﹑B 两点，点C 是AB 的中点，若,22=AB OC 的斜率为,22求椭圆的方程. 题型三 直线与圆锥曲线中点弦的问题例3 已知双曲线的方程为.1322=-y x （1）求以A （2，1）为中点的弦所在直线的方程；（2）以点B （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由.点拨:（1）利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点.解：（1）设),(),,(222211y x P y x P 是弦的两个端点，则有.13,1322222121=-=-y x y x 两式相减得 .03))(())((21212121=-+--+y y y y x x x x ①∵A（2，1）为弦21P P 的中点，∴2,42121=+=+y y x x ， 代入①得.3)(2)(42121y y x x -=- ∴621=p p k .故直线21P P 的方程为0116),2(61=---=-y x x y 即（2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求.023=--y x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0231322y x y x 得.071262=+-x x ∵△=,0764122<⨯⨯-∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在.易错点：存在性问题的结果通常是难以预料的，求时通常可求得，但不是充要条件，因此学生容易忽视. 变式与引申3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F )0,7(，直线1-=x y 与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 题型四 有关对称问题解：（1）因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a 即3=a在5221222121=-=∆PF PF F F F PF Rt 中，，故椭圆的半焦距c =5，从而4222=-=c a b 所以椭圆C 的方程为14922=+y x . （2）法一：已知圆的方程为()()51222=-++y x 所以圆心()1,2-M ，设()().,,,2211y x B y x A 8由题意得21x x ≠ 1492121=+y x 且 1492222=+yx得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ○1因为A,B 关于点M 对称，所以2,42121=+-=+y y x x 代人○1得982121=--x x y y 即直线L 的斜率为98，所以直线L 的方程为()即,2981+=-x y 02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意）法二：设()().,,,2211y x B y x A 已知圆的方程为()()51222=-++y x 所以圆心()1,2-M .从而可设直线L的方程为()12++=x k y 代入椭圆C 方程得()()02736361836942222=-+++++k k x k kx k 因为A,B 关于点M 对称，所以98,29491822221=-=++-=+k kk k x x 解得，所以直线L 的方程为02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意）易错点：单独求解A,B 两点运算量很大，容易出错.采用“设而不求”简单方便. 变式与引申4. 在平面直角坐标系xOy 中，过定点()p C ,0作直线与抛物线()022>=p py x两点.(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由本节主要考查：1.()0,0==++y x f C C By Ax L ：与圆锥曲线：直线的位置关系可分为，相交，相离，相切.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切.有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍.习题6-31. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A.45B. 5C. 25D.52. 已知P (1,1)为椭圆12422=+y x 内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P （1，1）点被平分，此弦所在的直线方程.3．直线L ：y=kx+1,抛物线C:x y 42=，当k 为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.4. 直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2=1相交于A 、B 两点 （1）当k 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上； （2）当k 为何值时，A 、B 两点在双曲线的两支上； （3）当k 为何值时，以A 、B 为直径的圆过坐标原点. 5．（2020年高考重庆卷·文）如图6-3-3，椭圆的中心为原点0，离心率e=22，一条准线的方程是22x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+u u u v u u u u v u u u v，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020高考数学冲刺复习考点45 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3430x y -+=的距离为1d ，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且1235d d =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且2211PMQM+为定值，求点M 的坐标.【答案】（1）24y x =（2）(2,0) 【解析】解：（1）由题意知，焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则133362510pp d ++==，2d p =， 又363105p p +=，解得：2p =. 故抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）设点M 的坐标为(,0)t ，设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 显然直线l 的斜率不为0. 设直线l 的方程为x my t =+. 联立方程24x my t y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，并整理得2440y my t --=， 则()2160m t ∆=+>且124y y m +=，124y y t =-.由1||PM ==，2||QM y ==.有()()222222121111||||11PM QM m y m y +=+++()()()2222122222222121682116121y y m t t m m y y m t m t +++===+++.若2211||||PM QM +为定值，必有2t =.所以当2211||||PM QM +为定值时，点M 的坐标为(2,0).2．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=； （2）若∆ABF 的面积为4，求直线l 的方程． 【答案】(1)见解析；(2)210x +=. 【解析】（1）当直线l 的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立抛物线方程可得得y 2﹣4my+4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝4 ∴121212y y k k x 1x 1+=+=--()()()()()1212121222242402222my y y y m mmy my my my -+⨯-⨯==----. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m ＝2±（负值舍去）． ∴直线l 的方程为：210x +=．3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)经过点(0，3-，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上． 【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN ＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++， 22210200PM 1m y y ,PN 1m y y ,PF 1m y =+-=+-=+．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN ＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 4．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【答案】（1）24y x =（2）见证明【解析】（1）由题意得：(,0)2pF ， 因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方， 所以8)B p ， 因为AB 的斜率为43，4342=-，整理得：80p +=，即0=，得2p =， 抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =-， 直线l 的方程：4(1)3y x =-， 由24(1)34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A -. 设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，令1x =-，得41n y n +=--， 即41n HE n +=--， 同理可得：444n HG n -=+， 444414n n HG HE n n +-⋅=-⋅=-+. 5．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d Pd P+>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x==⇒=-.联立方程24(1)1344Qy xxy x⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PFd PQF⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩.（2）当()1,0P-，易得2()2a d P PF=-=，不妨设()1,PP y-，0Py>，直线:1PF x my=+，则2Pmy=-，联立214x myy x=+⎧⎨=⎩，2440y my--=，224(4)16221Qm my m m++==++，()222212()||212221PPQy m d P PF m yy m m m+ -=-+=+++2212122m m m+-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y---，则()()()13224d P d P d P+-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++-+ 222131344242y y y y +⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =+++-++，因为()()222213134416y y y y ⎡⎤+++-++⎣⎦22131224428y y y y =++--，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.7．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）离心率为2，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==u u ur u u u r u u u r EQ μuuu r （λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1 【解析】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e ＝2c a =a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A（﹣2，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=u u u r u u u r可得x 0+2＝λ（x 3B x 、﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝11021,1x y y λλλλ-+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣2λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣2λ）＝﹣12（x 1﹣2λ）， 解得x 1＝()()11221122,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=u u u r u u u r可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 8．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()0,3A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．【答案】（1）13422=+y x ；（2）12± 【解析】（1）因为椭圆C 的上顶点为(03A ，，所以3b =22214O x y a +=：经过点()01M ，，所以2a =． 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ．（2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =， 所以△PQN的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx ，⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x，2x所以PQ =12x =-=. 直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k+-=，所以MN = 所以△PQN 的面积MN PQ S ⋅=21132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 9．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x=的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y 由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++== 即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =，将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =- 整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =- （2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在， 且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=.所以124y y k+=，124y y ⋅=- 由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：22k =±.所以直线AB 的方程为：()221y x =±-10．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；（3）如果11A H A P λ=u u u u r u u u u r，试求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）)62y x =+；（3）13,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题可得：2a =，又椭圆右准线方程为x ＝4，所以24a c =，解得：1225，又222a b c =+，解得：23b =所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设()11,G x y （10y <）,则2112GA y k x =-且2211143x y +=所以直线GD 的方程为：()1122y y x x =-- 联立直线GD 的方程与准线方程4x =可得：()11224y y x x x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，整理得：1122y y x =-，所以1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以()()111112024232A Dy y x k x --==---.又HG ⊥A 1D ，所以11HG A D k k ⋅=-，即：()1111132y yx x ⋅=--联立()22111111143132x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩可得：112,3x y ==. (D ∴所以()10426A D k ==--.所以直线1A D的方程为：()26y x =+. （3）设()4,D m ，(),P P P x y ，(),G G G x y ，(),H H H x y ，其中0m > 直线1A D 的方程为：()26my x =+ 联立椭圆方程可得：()2214326x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得2254227P m x m -=+ 直线2A D 的方程为：()22my x =- 联立椭圆方程可得：()2214322x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22263G m x m -=+，263G m y m -=+ 所以直线OG 的方程为：2626my x m -=-联立直线OG 的方程与直线1A D 的方程可得：()226626my x my x m ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得：226215H m x m -=+ 所以2125422,27P m A P y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭u u u r ,212622,15H m A H y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭u u u u r 又11A H A P λ=u u u u v u u u u v ，所以2222625422,2,1527H P m m y y m m λ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以222262542221527m m m m λ⎛⎫--+=⨯+ ⎪++⎝⎭整理得：()222271121315315m m m λ+⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭因为21515m +>，所以111213315λ⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭，整理得：1335λ<< 11．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知()()2,0,2,0,A B C D 点、-依次满足()12,.2AC AD AB AC ==+u u u v u u u v u u u v u u u v（1）求点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为()1,0，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由【答案】（1）以原点为圆心，1为半径的圆；（2）22184x y +=； （3）存在点P ，其坐标为(或(2,,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切 【解析】（1）设()()00,,,C x y D x y ，则()()002,,4,0AC x y AB =+=u u u v u u u v ()003,2,22x y AD x y ⎛⎫⇒=+=+⎪⎝⎭u u u v 则：00222x x y y =-⎧⎨=⎩ 代入()2220024AC x y u u u v =++=得：221x y +=∴点D 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（2）由题意可知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+……①椭圆的方程()22222144x y a a a +=>-……②由l1= 213k ⇒=将①代入②得：()222222224244440a k a x a k x a k a a +-++-+= 又213k =，可得()2224233404a x a x a a -+-+=设()11,M x y ，()22,N x y21224235a x x a ∴+=-=⨯- 28a ⇒=∴椭圆方程为：22184x y +=（3）假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆相切 则Q 到直线,PA PB 的距离相等，又()()2,0,2,0,A B -则()000:220PA x y y x y --+=，()000:220PB x y y x y +--= 则12d d ===化简整理得：220008403280x x y -++= P Q 点在椭圆上 220028x y ∴+=解得：02x =或08x =（舍）02x =时，0y = 1r ∴=∴椭圆上存在点P，其坐标为(或(2,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切．12．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,(),x y tsin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为πsin()4ρθ-(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）20y x --=，(22213x y t t +=≠（2）((1][1+),-∞-∞U U U【解析】（1）由题意知π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭y x 20--=，由()αx y t sin αα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(222x y 1t 3t +=≠.(2)由22220x y 13t y x --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()322t 3x 12x 123t 0+++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()222Δ124t 3123t 0=-+-≥,即()42tt 00t -≥≠．所以t 的取值范围是t 1t 1≥≤-或，所以t的取值范围是(][(),1∞∞-⋃-⋃⋃+.13．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>，C 2与C 1的长轴∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PAPB为定值； ② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22182x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =C 2的标准方程为22x y 182+=。