选修 计数原理 第四讲 组合 课件--名师微课堂(自制)
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【小结】对于有条件的组合问题，遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，注意分 类处理或间接计算．
【解法】（1）只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C318＝816（种）； （2）只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C158＝8 568（种）； （3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C138＝6 936（种）； （4）法一（直接法）：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外； 四内一外，所以共有 C112C48＋C212C83＋C312C82＋C412C18＝14 656（种）． 法二（间接法）：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C250－(C512＋C85)＝14 656（种）
Cmn ＝
Anm Amm
＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝m！nn！－m！(n，m∈N*，且
m≤n)．特别地
C0n＝1.
4．组合数性质：
①Cmn ＝Cnn－m；②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
典题剖析
【解法】第一类若从 A、B、C 三门选一门有 C31·C63＝60 种， 第二类若从其它六门选 4 门有 C46＝15 种． ∴共有 60＋15＝75 种不同的方法．
【正解】最高的同学必须站在中间，再从其他 6 位同学中选取 3 位同学按从高到矮的顺序站 在一边，有 C63种，则剩下三位同学的位置已定．故共有 C36＝20 种．
组合
知识要点
1．组合的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的定义：
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用 符号 Cnm表示．
3．组合数公式：
处理题中出现“至多”、“至少”之类关键词的问题时，应准确分类谨防重复和 遗漏，若分类复杂可采用间接法求解.
陷阱规避
【错解】最高的同学必须站在中间，再从其他 6 位同学中选取 3 位同学按从高到矮的顺序站在 一边，有 C36种；剩下的 3 位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有 C33种．又两边可以交换， 故共有 C63A22＝40 种． 【错因分析】排列、组合混淆，重复计数.
【小结】因为集合中元素的无序性，所以研究集合满足某个条件的子集个数问题属于组合问 题．对于从若干对元素中选取某些元素使其不成对的问题，应采用分步计数的方法从每一对 中选取一个元素即可．
【解法】从 10 个点中，任意取 4 个点的不同取法共有 C410种，其中，所取 4 个点共面的可分为两 类． 第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有 4C46种取法． 第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：
【小结】对于有条件的组合问题，遇到含某个（些）元素与不含某个（些）元素问题；或“至多”或“至 少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造 成计算错误．
【解法】“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，用“挡板法”，7 个小球摆成一排它 们之间有 6 个空位，在这 6 个空位选 3 个位置插板，即可分成 4 组，把这 4 组按顺序放入四个盒子即可， 所以有 C36＝20.
【小结】在一个几何体中给出的点当中取不共面的点时，一般用间接法更简单.
技巧传播
排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交 换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
处理“含有”或“不含”某些元素的组合题型时，对“含有”的情况应先将这些 元素取出，再由其余元素补足；对“不含”的情况，应先将这些元素剔除，再从剩下 的元素中选取.
① 4 个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1 个点是某棱的中点，另 3 点在对棱上， 因为共有 6 条棱，所以有 6 种取法；
② 4 个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4 个点必然都是棱的中点，它们所在的 4 条棱 必然是空间四边形的四条边，故有 3 种不同取法．
所以符合题意的不同取法种数为 C140－(4C46＋6＋3)＝141.
【小结】排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子 中，此类问题可利用“挡板＋8＝4＋7＝5＋6＝11，选出的 5 个数中任何两个数的和不等于 11， 所以从{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}这五组数每组中选 1 个数． 则这样的子集共有：C21·C21·C12·C12·C21＝32.
引申 1．计算 x＋y＋z＝6 的正整数解有多少组；
【解法】此问题等价于把
6
个
1
放入
3
个盒子中，每个盒子都不空．有
C
2 5
10
组正整数解.
引申 2．计算 x＋y＋z＝6 的非负整数解有多少组； 【解法】此问题等价于把两个插板放入 8 个不同的位置，只需选两个位置放插板即可，有 C82 28 组非负整 数解.
【解法】（1）只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C318＝816（种）； （2）只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C158＝8 568（种）； （3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C138＝6 936（种）； （4）法一（直接法）：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外； 四内一外，所以共有 C112C48＋C212C83＋C312C82＋C412C18＝14 656（种）． 法二（间接法）：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C250－(C512＋C85)＝14 656（种）
Cmn ＝
Anm Amm
＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝m！nn！－m！(n，m∈N*，且
m≤n)．特别地
C0n＝1.
4．组合数性质：
①Cmn ＝Cnn－m；②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
典题剖析
【解法】第一类若从 A、B、C 三门选一门有 C31·C63＝60 种， 第二类若从其它六门选 4 门有 C46＝15 种． ∴共有 60＋15＝75 种不同的方法．
【正解】最高的同学必须站在中间，再从其他 6 位同学中选取 3 位同学按从高到矮的顺序站 在一边，有 C63种，则剩下三位同学的位置已定．故共有 C36＝20 种．
组合
知识要点
1．组合的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的定义：
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用 符号 Cnm表示．
3．组合数公式：
处理题中出现“至多”、“至少”之类关键词的问题时，应准确分类谨防重复和 遗漏，若分类复杂可采用间接法求解.
陷阱规避
【错解】最高的同学必须站在中间，再从其他 6 位同学中选取 3 位同学按从高到矮的顺序站在 一边，有 C36种；剩下的 3 位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有 C33种．又两边可以交换， 故共有 C63A22＝40 种． 【错因分析】排列、组合混淆，重复计数.
【小结】因为集合中元素的无序性，所以研究集合满足某个条件的子集个数问题属于组合问 题．对于从若干对元素中选取某些元素使其不成对的问题，应采用分步计数的方法从每一对 中选取一个元素即可．
【解法】从 10 个点中，任意取 4 个点的不同取法共有 C410种，其中，所取 4 个点共面的可分为两 类． 第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有 4C46种取法． 第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：
【小结】对于有条件的组合问题，遇到含某个（些）元素与不含某个（些）元素问题；或“至多”或“至 少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造 成计算错误．
【解法】“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，用“挡板法”，7 个小球摆成一排它 们之间有 6 个空位，在这 6 个空位选 3 个位置插板，即可分成 4 组，把这 4 组按顺序放入四个盒子即可， 所以有 C36＝20.
【小结】在一个几何体中给出的点当中取不共面的点时，一般用间接法更简单.
技巧传播
排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交 换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
处理“含有”或“不含”某些元素的组合题型时，对“含有”的情况应先将这些 元素取出，再由其余元素补足；对“不含”的情况，应先将这些元素剔除，再从剩下 的元素中选取.
① 4 个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1 个点是某棱的中点，另 3 点在对棱上， 因为共有 6 条棱，所以有 6 种取法；
② 4 个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4 个点必然都是棱的中点，它们所在的 4 条棱 必然是空间四边形的四条边，故有 3 种不同取法．
所以符合题意的不同取法种数为 C140－(4C46＋6＋3)＝141.
【小结】排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子 中，此类问题可利用“挡板＋8＝4＋7＝5＋6＝11，选出的 5 个数中任何两个数的和不等于 11， 所以从{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}这五组数每组中选 1 个数． 则这样的子集共有：C21·C21·C12·C12·C21＝32.
引申 1．计算 x＋y＋z＝6 的正整数解有多少组；
【解法】此问题等价于把
6
个
1
放入
3
个盒子中，每个盒子都不空．有
C
2 5
10
组正整数解.
引申 2．计算 x＋y＋z＝6 的非负整数解有多少组； 【解法】此问题等价于把两个插板放入 8 个不同的位置，只需选两个位置放插板即可，有 C82 28 组非负整 数解.