2017届河北武邑中学高三文上学期调研五数学试卷(带解析)

绝密★启用前
2017届河北武邑中学高三文上学期调研五数学试卷（带解析）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题
1．设集合{|5S x x =<-或5}x >，{|73}T x x =-<<，则S T =∩（ ）
A ．{|75}x x -<<-
B ．{|35}x x <<
C ．{|53}x x -<<
D ．{|75}x x -<<
2．已知命题,p q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
3952a a a =，22a =，则1a =（ ）
A ．12
B ．2
C D ． 2
4．以下四个命题中是真命题的是（ ）
A. 对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大；
B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；
C. 若数据x 1,x 2,x 3,⋯,x n 的方差为1，则2x 1,2x 2,2x 3,⋯,2x n 的方差为2
D. 在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好
5．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率2e =，则它的渐近线方程为（ ） A ．23y x =±
B ．32
y x =± C.94y x =± D ．49y x =± 6．已知ABC ∆中，AB 上一点P 满足2133CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，若||||PB t PA =u u u r u u u r ，则t =（ ）
A
．1
3
B．3
C.
1
2
D．2
7．函数|1|
x
y e--
=的图象大致形状是（）
8．设变量x y
、满足34
2
y x
x y
x
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥-
⎩
，则|3|
z x y
=-的最大值为（）
A．8 B．3
C.
13
4
D．
9
2
9．已知抛物线24
y x
=上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且||2
AF>，则点A到原点的距离为（）
A．3 B．4
C. 42 D．43
10．某港口水的深度()
y m是时间t（024
t
≤≤，单位：h）的函数，记作()
y f t
=.下面是某日水深的数据：
经长期观察，()
y f t
=的曲线可以近似地看成函数sin
y A t b
ω
=+的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）. A．6 B．12
C.16 D．18
11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正
视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）
A ．3126cm
B ．3
46cm C. 3272cm D ．392cm
12．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．[,)e +∞
B ．2
[,)2
e +∞ C. 2
2[,)2
e e D ．2[,)e +∞
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题
13．设函数
1
2
3
2,2
()
log(1),2
x
e x
f x
x x
-
⎧<
⎪
=⎨
-≥
⎪⎩
，则((2))
f f=．
14．我国南北朝时代的数学家组暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比组暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0,4]上的任意值时，直线y t=被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．
15．已知球O的半径为R，,,
A B C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为
1
2
R，2
AB AC
==，120
BAC
∠=°，则球O的表面积为．
16．已知ABC
∆三边,,
a b c上的高分别为
12
1
22
，，则cos A=．
评卷人得分
三、解答题
17．已知数列{}
n
a满足*
21()
n n
S a n N
=-∈，{}
n
b是等差数列，且
11
b a
=，
43
b a
=.
（1）求数列{}
n
a和{}
n
b的通项公式；
（2）若*
1
12
()
n
n n n
c n N
a b b
+
=-∈，求数列{}
n
c的前n项和
n
T.
18．在ABC
∆中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，D为边AC的中点，32
a=，
2
cos
4
ABC
∠=．
（1）若3
c=，求sin ACB
∠的值；
（2）若3BD =，求ABC ∆的面积.
19．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售.该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润.
（1）求y 关于x 的表达式；
（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PC 的中点，且142
PD AD AB ===.
（1）过点A 作一条射线AG ，使得//AG BD ，求证：平面//PAG 平面BDE ；
（2）若点F 为线段PC 上一点，且DF ⊥平面PBC ，求四棱锥F ABCD -的体积.
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为35
，过左焦点F 且垂直于长轴的弦长为325
. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）点(,0)P m 为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为
45的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，证明22||||PA PB +为定值.
22．已知函数ln ()()x k f x k R x x
=
-∈的最大值为()h k . （1）若1k ≠，试比较()h k 与21k e
的大小； （2）是否存在非零实数a ，使得()k h k ae >对k R ∈恒成立，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
试题分析:因{|5S x x =<-或5}x >，{|73}T x x =-<<,故}57|{-<<-=x x T S I .应选A.
考点：集合的交集运算.
2．A
【解析】
试题分析:因“p ⌝为真”,故p 为假，则“p q ∧为假”；反之不成立，即“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件.应选A.
考点：充分必要条件的判定及运用.
3．C
【解析】
试题分析:因2526932a a a a ==⋅,故222=⇒=q q ，所以221=a ，21=a .应选C. 考点：等比数列的定义及通项公式的运用.
4．D
【解析】试题分析:依据离散变量的线性相关及相关指数的值的有关知识可以推断，选择支中的A ，B ，C 都是错误的，答案D 是正确的，故应选D.
考点：离散变量的线性相关及相关系数的值等有关知识的综合运用.
5．B
【解析】
试题分析:因
213=a c ,故可设)0(2,13>==t t a t c ，则t b 3=，故23=a b ，其渐近线方程为x a b y ±=.，即x y 2
3±=，应选B. 考点：双曲线的几何性质与渐近线的方程等知识的综合运用.
6．D
【解析】
试题分析:因2133CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r ,故)(3
1)(32+++=，即3
132+=，也即2-=，故||2|2|||PA PA PB =-=，即2=t .应选D. 考点：向量的模及几何形式的运算.
7．B
【解析】
试题分析:因0|1|≤--x ,故1|1|≤=--x e y ，且当1=x 时取等号.应选B.
考点：指数函数的图象和性质及运用.
8．A
【解析】
试题分析:画出不等式组342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
表示的区域如图,由|3|z x y =-可得z y x ±=-3，即
z x y 3131±=，结合图形可知当动直线z x y 3
131±=经过点)2,2(-A 时，该直线在y 轴上的截距z 31±最大，即|3|z x y =-的最大值为8|62|max =--=z .应选A. 1x±1
考点：线性规划的知识及运用.
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时
先准确的画出不等式组342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
表示的区域,再搞清|3|z x y =-的几何意义,将问题转
化为求动直线z x y 3131±=在y 轴上的截距z 3
1±的最值的问题。

结合图形可知动直线z x y 3131±=经过点)2,2(-A 时，该直线在y 轴上的截距z 3
1±最大，即|3|z x y =-的最大值为8|62|max =--=z ,使得问题获解.
9．C
【解析】
试题分析:设)2,(t t A ±,由题意4521
=+t t ，解之得4=t 或4
1=t （设去），则)4,4(A ，故点A 到原点的距离为24.应选C.
考点：抛物线的几何性质及运用.
10．C
【解析】
试题分析:由题设可得⎩⎨⎧=+-=+713b A b A ,解之得⎩⎨⎧==10
3b A ，所以10sin 3)(+=t x f ω，从数表中
所提供的数据信息可以看出：函数的最小正周期12=T ，故62ππω==
T ，所以106sin
3)(+=t x f π，由题意可得当5.65106sin 3+≥+t π时能安全进出港，即5.06sin ≥t π
，所以1,0,6526
26=+≤≤+k k t k πππππ，解之得51≤≤t 或1713≤≤t ，所以在51→时和1713→时这8个小时内出港是安全的，由此可知该船最多在港内停留16824=-小时.应选C.
考点：三角函数模型在日常生活中的灵活运用.
11．B
【解析】
试题分析:设四棱锥的棱长为x ,则底面边长为a ，则侧面的斜高为a 21，棱锥的高为
a h 22=，则a x =，即四棱锥的侧面是边长为a 正三角形，且3232
3=⇒=a a ，故该四棱锥的体积6462223132==⨯=
a a a V .应选B. 考点：三视图及四棱锥的体积公式的计算.
【易错点晴】平面图形的翻折问题是立体几何中的重要题型之一，也是高中数学中的重要题型之一,也历届高考必考的题型之一.本题以正方形折叠成四棱锥的问题为背景，考查是四棱锥中的线段之间的位置关系和数量关系及体积计算能力和空间想象能力.解答时先求出四棱锥的高a h 22=，再算出底面边长32=a ，从而获得答案. 12．B
【解析】
试题分析:由题设可得22ln ln x
x x a b x x a bx -≤⇒-≤，因(,0]b ∈-∞,故对任意的2(,]x e e ∈，都有0ln 2≥-x
x x a ，即x x a ≥ln 对一切2(,]x e e ∈恒成立，也即x x a ln ≥对一切2(,]x e e ∈恒成立，令x
x x h ln )(=，则0)(ln 1ln )(2/>-=x x x h 在2(,]x e e ∈恒成立，故2
)(2
max e x h =，所以22e a ≥.应选B.
考点：转化化归思想及导数与函数的单调性的关系等知识的综合运用.
【易错点晴】不等式恒成立的问题及转化化归思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从依据题设中的已知条件将问题22ln ln x x x a b x x a bx -≤
⇒-≤入手，进而运用转化化归思想将问题化为也即x x a ln ≥对一切2(,]x e e ∈恒成立，然后借助导数的知识求得2
2
e a ≥，从而使得问题巧妙获解． 13．2
【解析】
试题分析:因13log )14(log )2(33==-=f ，故22)1())2((11===-e f f f ，故应填答案2.
考点：分段函数的性质及运用．
14．8
【解析】
试题分析:由题设矩形的面积与形状不规则的封闭图形的面积相等，因为矩形的面积是842=⨯=S ，故形状不规则的封闭图形的面积是8.故应填答案8.
考点：合情推理中的类比推理及运用．
15．643
π 【解析】
试题分析:设ABC ∆的外接圆的半径为r ，由正弦定理可得4120
sin 20==
BC r ，即2=r ，由题设可得22)21(4R R =+，解之得3162=R ，故球的面积ππ3
6442==R S .故应填答案643π. 考点：球的几何性质与面积公式的运用．
【易错点晴】球是立体几何中的重要图形之一，也是高中数学中的重要知识点之一,也历届高考必考考点之一.本题以球中的有关概念为背景，考查是与球有关的知识的综合运用读能
力和空间想象能力.解答时先运用正弦定理可得4120
sin 20==
BC r ，即2=r ，再由题设可得22)21(4R R =+，解之得3162=R ，最后求得球的面积ππ36442==R S ，从而获得答案.
16．4
- 【解析】
试题分析:由三角形的面积相等可得c b a ==2
221，则c b c a 2,2==，由余弦定理可得
4
22212242cos 22
22-=-=-+=c c c c A .
故应填答案4-. 考点：三角形的面积公式及余弦定理等知识的综合运用．
【易错点晴】正弦定理余弦定理不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件入手运用三角形的面积公式建立方程组c b a ==2
221，探究出三边之间的关系为c b c a 2,2==，进而运用余弦定理422212242cos 2
2
22-=-=-+=c c c c A ，求得cos A
=4-，从而使得问题巧妙获解． 17．(1) 12n n a -=，n b n =；(2)n n n T --+=
1212. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用等差等比数列的通项公式求解；(2)依据题设运用数列的列项相消法探求.
试题解析：
（1）21n n S a =-，1121n n S a ++=-，两式相减可得11122n n n n n S S a a a +++-==-，∴12n n a a +=.
当1n =时，11121S a a ==-，∴11a =，所以n a 是以1 为首项，2为公比的等差数列， 所以12
n n a -=，111b a ==，434b a ==，∴n b n =. （2）11112211222()(1)1
n n n n n n c a b b n n n n --+=-=-=--++， ∴111
11111111222(1)22(1)21223121112n n n n T n n n n -+-
=--+-++-=---=-+++-L . 考点：等差数列等比数列的通项公式及列项相消法求和等有关知识的综合运用．
18．(1)47；(2)4
79. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用余弦定理正弦定理求解；(2)依据题设运用余弦定理及诱导公式探求.
试题解析：
（1
）a =
，cos 4
ABC ∠=，3c =，
由余弦定理，得2222222cos 3(32)232318b c a ca ABC =+-∠=+-⨯⨯⨯=•， 所以32b =.
又(0,)ABC π∠∈，所以214sin 1cos ABC ABC ∠=-∠=， 由正弦定理，得sin sin c b ACB ABC
=∠∠，得sin 7sin 4c ABC ACB b ⨯∠∠==. （2）以,BC AB 为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则2cos cos 4
BCE ABC ∠=-∠=-，
26BE BD ==，在BCE ∆中，得2222cos BE CB CE CB CE BCE =+-∠••，
即223618232(4
CE CE =+-⨯⨯-，解得3CE =，即3AB =， 所以197sin 24
ABC S ac ABC ∆=∠=. 考点：余弦定理正弦定理及三角形面积公式等有关知识的综合运用．
19．(1)(83)5(19)(83)19(43)(19)76(19)
x x x y x x x -=≤⎧=⎨-⨯+-⨯-=+>⎩；(2)110. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用利润与销量的关系求解；(2)依据题设运用列举法和古典概型的计算公式探求.
试题解析：
（1）(83)5(19)(83)19(43)(19)76(19)x x x y x x x -=≤⎧=⎨-⨯+-⨯-=+>⎩
. （2）由（1）可知，日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元.日销售量为20倍时，日利润为96元，日销售量为21杯时，日利润为97元.从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，销量为21杯的有2天.
销量为20杯的有3天，记为,,a b c ，销量为21杯的有2天，记为,A B ，从这5天中任取2
天，包括(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a c a A a B b c b A b B c A c B A B ，，，，，，，，，，共10种情况. 其中选出的2天销量为21天的情况只有1种，故其概率为110
. 考点：利润与销量的关系及列举法和古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．
20．(1)证明见解析；(2)15
512. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)依据题设运用四棱锥的体积公式探求.
试题解析：
（1）证明：在矩形ABCD 中，连线AC 和BD 交于点O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，由于E 是PC 的中点，所以OE 是PAC ∆的中位线，则//OE PA ，
又OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE ，
又//AG BD ，同理得//AG 平面BDE ，
因为PA AG A =∩，所以平面//PAG 平面BDE .
（2）∵DF ⊥平面PBC ，∴DF PC ⊥.
在Rt PDC ∆中，∵4PD =，8CD =
，∴PC =
∴5DF ==
，∴5FC ==，∴45FC PC =. 过F 作//FK PD 交CD 于K ，则416455
FK =
⨯=. ∵PD ⊥底面ABCD ，∴FK ⊥底面ABCD ， ∴116512483515F ABCD V -=⨯⨯⨯=. 考点：面面垂直的判定定理及四棱锥的体积公式等有关知识的综合运用．
21．(1)22
12516
x y +=；(2)证明见解析. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求. 试题解析：
（1）由2222355232453c e a a b b a c a b c ⎧==⎪=⎪⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎩，可得椭圆方程2212516x y +=. （2）设l 的方程为54
x y m =+，代入2212516x y +=并整理得：
2225208(25)0y my m ++-=.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则222211141||()16PA x m y y =-+=
， 同理22241||16
PB y =. 则222221212124141||||()[()2]1616
PA PB y y y y y y +=+=+- 2241416(25)[()]4116525
m m -=--=. 所以，22
||||PA PB +是定值.
考点：椭圆的标准方程几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识及直线与椭圆的位置关系等知识的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组2222
355232453c e a a b b a c a b c ⎧==⎪=⎪⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎩
,进而求得椭圆的标准方程为2214x y +=；第二问的求解过程中,先设直线的方程为54
x y m =+,再借助二次方程中根与系数之间的关系，依据坐标之间的关系进行计算探求，从而使得问题获解.
22．(1) 当1k >时，21()k h k e >，当1k <时，21()k
h k e <；(2)存在非零实数a ，范围为1(,)e
-∞-. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想求解；(2)依据题设先转化再运用导数知识探求.
试题解析：
（1）222
1ln 1ln '()x k x k f x x x x --+=+=. 令'()0f x >，得10k x e
+<<，令'()0f x <，得1k x e +>，故函数()f x 在1(0,)k e +上单调递增，在1(,)k e ++∞上单调递减，故11
1
()()k k h k f e e ++==. 当1k >时，21k k >+，∴
2111k k e e +<，∴21()k
h k e >； 当1k <时，21k k <+，∴2111k k e e +<，∴21()k h k e <.
（2）由（1）知11
()k k h k e ae
+=>，∴1k ke a <. 设()k
ke g k a
=，∴(1)'()k k e g k a +=，令'()0g k =，解得1k =-. 当0a >时，令'()0g k >，得1k >-；令'()0g x <，得1k <-，
∴min 1()(1)g k g ea =-=-
， ∴1()(,)g k ea
∈-+∞. 故当0a >时，不满足()k h k ae
>
对k R ∈恒成立； 当0a <时，同理可得max 1()(1)1g k g ea =-=-<，解得1a e
<-. 故存在非零实数a ，且a 的取值范围为1(,)e -∞-. 考点：分类整合思想及转化化归思想和导数等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数k 函数解析式ln ()()x k f x k R x x
=-∈为背景,精心设置了两道问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是先运用导数求函数ln ()()x k f x k R x x =
-∈最大值，再进行分类比较；第二问的求解时，先构造函数()k
ke g k a
=，再运用求导法及分类整合思想进行分析推证，从而使得问题获解．。