《相似形小结与复习》典型例题

《相似形小结与复习》典型例题
例1 已知5===
f e d c b a 求f d b e c a 7272+-+-的值 分析 将已知条件转化为a=5b ，c=5d ，e=5f 代入分子，即可求出值 解：∵5===f
e d c b a
∴a=5b ，c=5d ，e=5f ，代入得 572355107272=+-+-=+-+-f
d b f b b f d b
e c a 点评 本题也可用等比性质，由已知可得
57722==--=f
e d c b a 即得57272=+-+-
f d b e c a 例2 解方程11
4324
322222++-+=--+-x x x x x x x x
分析 应用比例性质，化简，再解
解 应用合比性质 原方程化为 22286422-+=-x x x x 即1
43222-+=-x x x x 解得 x 1=0 6
12-=x 经检验 6
1,021-==x x 都是原方程的根。

例2 如图1；AE=AF 求证BF CE DB CD = 分析 题中没有“平行线”，我们通过添加平行线， 以便应用平行线截线段成比例的定理，来证BF CE DB CD = 证 作 CM//AB 交DF 于M
则C D ：DB=CM ：BF ，∠AFD=∠FMC
由于AF=AE ∴∠AFE=∠AEF
又∠AEF=∠CED ∴∠DEC=∠CME 故EC=EM
∴CD ：DB=CE ：BF
点评 本题添加平行线的方法，还可以有以下几种，如作CN//DF 交AB 于N 或作BQ//AC 交DF 延长线于Q 或作BH//FD 交AC 延长线等于H 等，同学们可以作为练习自己来完成，以总结这类问题添加辅助助平行线的规律。

例3 如图2 已知：AB=AC ，延长AB 到E ，
使BE=AB ，D 为AB 中点，求证CE=2CD
分析 本题证法很多，可用三角形中位线 或全等三角形，或平行四边形来证，但如果
用相似三角形的判定定理就能直接证得；
在△ADC 和△ACE 中，2
1,21==AE AC AC AD ，∠A=∠A ， 即得△ADC ∽△ACE ，则21==AC AD CE DC CE DC 21=∴ 即CE=2DC
A B C D E
F
M 图1 A B C D E 图2
证：略
例4 如图 3 已知：AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，
∠ABD 平分线交AD 于M ，AC 于P ， ∠DAC 平分线交CD 于N 求证 MN//AC 分析 欲证MN//AC ，
只要证 DM ：MA=DN ：NC B C BDM ABM S S ∆∆:和AND ACN S S ∆∆:，
可得AM ：MD=AB ：BD ，NC ：ND=AC ：AD
又Rt △ADB ∽Rt △CDA ，可得DB ：AB=AD ；AC ，从而可推出结论。

证 ∵MD AM S S BDM ABM ::=∆∆ ∵AD ⊥BC ，BM 为∠ABD 的平分线，
∴△ABM 中AB 上的高与MD 相等 ∴BD AB S S BDM ABM ::=∆∆
∴AM ：MD=AB ：BD 由AD ⊥BC AN 为∠DAC 的平分线，
同理可得NC ：ND=AC ：AD 又AD ⊥BC AB ⊥AC ∴∠ABD=∠DAC
∴△ADB ∽△CDA 于是 BD ：AB=AD ：AC ∴DM ：MA=DN ：NC
故MN//AC
点评：本题还可以证得∠MNA=∠NAM ，推出MN//AC （提示：由已知先证AM=AP ，从而推出AN ⊥BP ，进而可推得AB=BN ，△ABM ≌△BNM ，从而得AM=MN ，即∠ANM=∠MAN ，∴∠PAN=∠ANM ）
读者可作为练习试一试。

例5 如图4 已知梯形ABCD ，AD//BC ，
对角线AC 、BD 交于E
2p S ADE =∆，2q S BCE =∆，求S 梯形ABCD
分析 S 梯形ABCD =S △AED +S △BEC +S △AEB +S △DEC
故只要求S △AEB 和S △DEC 即可
解 ∵AD ∥BC ∴△AED ∽△CEB ∴22
EC AE S S CEB AED =∆∆ q p EC AE =∴
又 △AEB 和△BEC 的底边AE 和EC 上的高相同 q p EC AE S S BEC AEB ==∴∆∆ 那么pq q q p S AEB =⋅=
∆2 同理可得pq S DEC =∆
∴S 梯形ABCD =S △AED +S △BEC +S △ABE +S △DEC =p 2+q 2+pq+pq=(p+q)2
例6 已知如图5 在△ABC 中， ∠BAC=900 AD ⊥BC 于D ，
P 为AD 中点，BP 延长线交AC 于E ， EF ⊥BC 于F ，求证EF 2=AE ·EC 分析 要证EF 2= AE ·EC ，可证它们所确定
的三角形相似，EF 、CE 确定Rt △CEF 而EF 、AE 没有确定哪个直角三角形，为此可构造一个包含 EF 、AE （或和它们相等的线段）且能与Rt △CEF 相似的
直角三角形，由P 为AD 中点，
AD ∥EF ，可延长FE 、BA 交于点N ，有EF=EN ，且△AEN ∽△FEC
证明 延长FE 交BA 的延长线于N
∵AD ⊥BC EF ⊥BC ∴AD ∥EF ∠EFC=900
图3 A B C
D E N F A B C
D E 图5 A P D N
M
∴
EF
PD BE BP NE AP == 又∵AP=PD ∴NE=EF ∴∠EFC=∠NAE=900 ∠AEN=∠FEC ∴△ANC ∽△FCE ∴CE NE EF AE = CE AE NE EF ⋅=⋅∴ 又∵EF=NE ∴EF 2=CE AE ⋅。