云南省昆明市第一中学2019届高三数学第八次考前适应性训练试题文

云南省昆明市第一中学2019届高三数学第八次考前适应性训练试题
文（含解析）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草纸和答题卡的非答题区城均无效。

3.非选择题的作答;用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上相应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目求的。

1.
21i
i
+=-（ ） A.
1322
i - B.
1322
i + C.
3122
i - D.
31i 22
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
由复数的四则运算，将
21i
i
+-分子分母同乘1+i 化为a bi +的形式. 【详解】
()()()()2+i 1+i 2i 13i 13
+i 1i 1i 1+i 222
++===--，选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基本题.
2.已知集合{
}
22
(,)|1,,A x y x y x y =+=∈∈Z Z ，则A 中元素的个数为( ) A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
由2
2
1x y +=得11x -≤≤,取整数，将A 中元素一一列举，可得A 中元素个数. 【详解】()()(){}0,1,1,0,1,001A ，（，）=
--，选D ．
【点睛】本题考查集合的表示形式，考查三种形式列举法、描述法、文氏图相互转换，属于基本题.
3.函数sin ()x
f x x
=
的部分图象大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据函数的奇偶性的定义得到f （x ）为偶函数，再根据极限可得当x 01y +
→→时，，即得解．
【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵f （﹣x ）=
sin()sin sin x x x
x x x
--==--=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，
∴f （x ）的图象关于y 轴对称， ∵()sin x f x x
=
， 根据极限可得当x 01y +
→→时，， 故答案为：B
【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证.
4.已知M ，N 是四边形ABCD 所在平面内的点，满足：,2MA MC MB MD DN NC +=+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，
则( )
A. 12
AN AB AD =+u u u r u u u r u u u r
B. 1 2AN AB AD =+u u u r u u u r u u u r
C. 23
AN AB AD =+u u u r u u u r u u u r
D. 11 22
AN AB AD =+u u u r u u u r u u u r
【答案】C 【解析】 【分析】
将MA MC MB MD +=+u u u v u u u u v u u u v u u u u v 变形为BA CD =u u u v u u u v
，可得四边形ABCD 是平行四边形，又由
2DN NC =u u u v u u u v
利用向量加法运算法则可得.
【详解】由MA MC MB MD +=+u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得BA CD =u u u v u u u v
，所以四边形ABCD 是平行四边形，又由
2DN NC
=u u u v u u u v 得23
AN AD DN AB AD =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，选C ． 【点睛】本题考查向量的运算，向量加法的三角形法则，考查转化能力及运算能力，属于基本题.
5.已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边AD 的中点，在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满
足||PH <
A.
18
4π
+
B.
8
π C.
14
4
π
+
D.
4
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合几何概型计算公式求得相应的面积的数值，然后求解概率值即可.
【详解】如图所示，以H ABCD 内部的公共部分，可拆为一个扇形与两个直角三角形，
其中扇形的半径为
2，圆心角为90o ，两个直角三角形都是直角边为1的等腰直角三角形， 其面积为112
S π
=
+，
正方形面积4S =，概率为11
84
S P S π==+， 故选：A .
【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.
6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个顶点3,0)A 到渐近线的距离为3
2
，则C
的离心率为（ ） 323
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】 由条件3a =
22
32
2
b a b =
+，及222c a b =+，解方程组可得. 【详解】由题意，3a =
，)
3,0A 到双曲线其中一条渐近线方程b
y x a
=
的距离223332b
b d
c a b
===+，得12b c =，2
222
314a b c c =-=，2
43e =，23e =，选B ．
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率计算，一般由条件建立a,b,c 的关系式，结合隐含条件222c a b =+求离心率.考查运算求解能力，属于基本题.
7.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a ，成等差数列，则4S 的值是 A. -81 B. -80
C. -64
D. -63
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先确定数列{}n a 为等比数列，然后结合等比数列前n 项和公式可得4S 的值. 【详解】据题意得223n n S a =+ ， 当1n =时，11223S a =+，所以12a =-；
当2n ≥时，由223n n S a =+可得11223n n S a --=+， 两式相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，即
()1
32n
n a n a -=≥． 所以数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列， 所以()()4414121380113
a q S q
---=
=
=---，选B ．
【点睛】本题主要考查由递推关系确定数列的性质，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.执行如图所示程序框图，如果输入的0.1t =，则输出的n=（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
运行程序，分别计算各次循环所得n,S ，判断S 与0.1的大小，确定输出值. 【详解】当1n =时，11122S =-
=，当2n =时，111
244
S =-=，当3n =时，111488S =-=，当4n =时，111
0.181616
S =-=<，415n =+=，选C ．
【点睛】本题考查流程图循环结构，满足条件退出循环，考查运算能力及逻辑推理能力，属于基础题.
9.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，1AB =，12AA =，点E 为1BB 的中点，则点1A 到平面AEC 的距离为（ ） A.
3
3
33 D. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等体积法，由11A ABC C EAA V V --=，确定1,AEC EAA ∆∆的面积及C 到平面1EAA 的距离可得.
【详解】设1A 到平面AEC 的距离为d ，由于1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且点E 为1BB
的中点，则EA EC ==
AC =
2
EAC S ∆=
=1
12112EAA S ∆=⨯⨯=，
且点C 到平面1EAA 的距离为1，由等体积法，11A AEC C EAA V V --=，得d =，即点1A 到
平面AEC 的距离为
3
，选A ． 【点睛】本题考查点到平面的距离，一般可直接几何作图，在直角三角形中计算距离；或利用等体积法.考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.
10.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>，若方程()2f x =在[0,2]上有且只有两个实数根，则ω的取值范围为 A. 5,44
ππ
⎡⎫⎪⎢
⎣⎭
B. 9,44
ππ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭
C. 59,44ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D. 913,44ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合三角函数的性质得到关于ω的不等式，求解不等式即可确定ω的取值范围. 【详解】当[]
0,2x ∈时，[]0,2x ωω∈，
由方程()2f x =在[]0,2上有且只有两个实数根及正弦函数的图像可得，592,22ωππ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
得59,44ωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，
故选：C .
【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知A ，B ，P 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上不同的三点，直线PA 的斜率为1k ，
直线PB 的斜率为2k ，且12k k ，是关于x 的方程2430x mx ++=的两个实数根，若
0OA OB +=u u u r u u u r r
，则双曲线C 的离心率是（ ）
A. 2
B.
2
D.
32
【答案】B 【解析】 【分析】
设P ，A 点坐标，确定B 点坐标，利用韦达定理有123
4
k k =，利用斜率公式及P,A 在双曲线上建立方程组，即可得出结果.
【详解】设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，因为0OA OB +=u u u v u u u v v
，所以点B 的坐标为()00,x y --，
因为1234k k =，所以0000
34y y y y x x x x -+⋅=-+，即22022
034y y x x -=-，又P ，A 在双曲线C :()222210,0x y a b a b -=>>上，所以22
221x y a b -=，2200221x y a b
-=，两式相减得
()()
2222002
2110x x y y a b ---=，即22
20
2220y y b x x a -=-，又因为22022034y y x x -=-，所以2234
b a =，所以(
)22
22
344a b c a
==-，所以2
274a
c =
，c e a =
=
B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c 的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.
12.设函数ln ,02
()sin ,26
2x x f x x x π⎧<⎪
=⎨⎛⎫
< ⎪⎪⎝
⎭⎩„„，若1234x x x x ，，，互不相等，且
1234()()()()f x f x f x f x k ====，则1234x x x x k ++++的最大值为（ ）
A.
1
11 e
e
++ B.
15
lne
2
+ C. 12 D.
25
ln2
2
+
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数()
f x的图像，由()()()()
1234
f x f x f x f x k
====，确定
1234
,,,
x x x x所取范围，及122
ln ln,ln
x x k x
-==，点()
()
33
,x f x与点()
()
44
,
x f x关于直线5
x=对称，得
134
2
1
,10
x x x
x
=+=，可将
1234
x x x x k
++++表示为
2
x的函数，判断此函数的单调性，可确定函数的最大值.
【详解】设1234
x x x x
<<<，作出函数()
f x的图像
由函数()
f x的图象可知()
1
0,1
x∈，]
(
2
1,2
x∈，()
3
4,5
x∈，()
4
5,6
x∈，根据
()()
12
f x f x
=，可得
12
1
=
x x，根据()()
34
f x f x
=，可得
34
10
x x
+=，
()
12342222
22
11
10ln10
x x x x k x f x x x
x x
++++=+++=+++，
令
()
222
2
1
ln10
h x x x
x
=+++，()222
222
222
1
11
10
x x
h x
x x x
+-
==
'-+>在(]
1,2上恒成立，所以()2
h x在(]
1,2上是增函数，所以()()
2max
25
2ln2
2
h x h
==+，所以
1234
x x x x k
++++的最大值为
25
ln2
2
+，选D．
【点睛】本题考查函数的最值问题，函数式的建立，把所求式化为某一变量的函数是解题关键，变量范围要及时确定，考查数形结合，运算求解能力，属于难题.
ニ、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分。

13.若实数x，y满足
21
22
x y
x y
y x
-
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪
⎩
„
„
，则
1
3
z x y
=-的最大值为_______.
【答案】
2
3
【解析】
【分析】
作出约束条件对应的可行域，变动直线
1
3
x y z
--=，确定直线过可行域上的某点时z最大，求出最优解，确定z的最大值.
【详解】作约束条件对应的可行域，如图三角形区域.平行移动直线
1
3
x y z
--=，当直线过A点时z最大.
21
x y
y x
-=
⎧
⎨
=
⎩
,得1
x y
==，(1,1)
A，所以
1
3
z x y
=-的最大值为
2
3
．
【点睛】本题考查线性规划问题，准确画出约束条件对应的图形及理解目标函数的几何意义是关键，考查数形结合及运算能力，属于基础题.
14.若曲线()(1)x
f x ax e
=-在点(0,(0))
A f处的切线与y轴垂直，则a=_________.
【答案】1
【解析】
【分析】
对()
f x求导，由条件(0)0
f'=，可得结果.
【详解】()()1x
f x a ax e
'=+-，因为()
f x在A处的切线与y轴垂直，所以
()010k f a ==-='，解得1a =．
【点睛】本题考查函数的求导，导数的几何意义，考查运算能力，属于基本题.
15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48936S S ==，，则12S =_______. 【答案】81 【解析】 【分析】
由等差数列性质，484128,,S S S S S --成等差数列。

得8441282()S S S S S -=+-，已知代入可得结果.
【详解】41234S a a a a =+++，845678S S a a a a -=+++，1289101112S S a a a a -=+++，在等差数列{}n a 中，4S ，84S S -，128S S -也构成等差数列，设12S x =，即9，27，36x -成等差数列，所以362718x -=+，解得81x =，即1281S =．
【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列前n 项和n S 满足232,,n n n n n S S S S S --成等差数列，考查运算能力，属于基本题.
16.已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上2,AC BC BD CD BC AC ====⊥，
若球O 的表面积为16π，则三棱锥A 一BCD 的体积是________. 【答案】2 【解析】 【分析】
由球的表面积求球的半径，利用直角三角形计算AB 长，可得AB 恰为球的直径，可得AD 长，得到222AC CD AD +=，推证AC ⊥平面BCD ,利用三棱锥的体积公式计算可得. 【详解】因为球O 的表面积为16π，所以球O 的半径为2，又BC AC ⊥，2AC =，
BC =，可得4AB =，故AB 为球O 的直径，所以BD AD ⊥，由勾股定理得
AD =，在三角形ACD 中，222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥，又AC BC ⊥，
所以AC ⊥平面BCD ，又在三角形BCD 中，222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，所以
三棱锥A BCD -的体积为
1111
66223232
BD CD AC ⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥A BCD -的体积是2．
【点睛】本题空间几何体的体积计算，组合体的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22.23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17.如图，在平面五边形ABCDE 中，120ABC BCD ︒∠=∠=，60AED ︒∠=，2AB BC ==，
6CD =
（1）求AD 的长度;
（2）求平面五边形ABCDE 面积的最大值 【答案】(1) 43AD = (2) 193【解析】 【分析】
（1）由条件在等腰三角形ABC 中利用余弦定理计算AC ，30BCA ∠=，再在直角三角形ACD 中利用勾股定理可得结果.
（2）由（1）,ABC ACD ∆∆面积确定，只需求AED ∆的面积最大值，利用余弦定理
2222cos60AD AE ED AE ED ︒=+-⋅，利用基本不等式求AE ED ⋅的最大值可得所求.
【详解】解：（1）连接AC ，AD ，根据余弦定理得
222cos 23AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=
又由AB BC =，120ABC ∠=︒可得30BCA BAC ∠=∠=︒， 所以1203090ACD BCD BCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以22123643AD AC CD =
+=+=．
（2）11
sin 22sin120322ABC S AB BC ABC ∆=
⋅⋅∠=⨯⨯︒=，11
2366322ACD
S AC CD ∆=⋅=⨯=， 113sin sin6022AED S AE ED AED AE ED AE ED ∆=
⋅⋅∠=⋅⋅︒=⋅， 所以平面五边形ABCDE 的面积3
734
ABCDE ABC ACD AED S S S S AE ED ∆∆∆=++=⋅， 三角形AED 中，2222cos60AD AE ED AE ED =+-⋅︒，即
2248AE ED AE ED =+-⋅，
又222AE ED AE ED AE ED AE ED AE ED +-⋅≥⋅-⋅=⋅， 所以48AE ED ⋅≤，（当且仅当AE ED =时等号成立）， 所以平面五边形ABCDE 的面积33
73734819344
ABCDE S AE ED =⋅≤= 即平面五边形ABCDE 的面积最大值是193【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，考查基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题.
18.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取
次序
1
2
3
4
5
6
7
8
经计算得9.97x =，0.212s =≈18.439≈，
()()161
2.78i
i
i x x y y =--=-∑，16
21
0.09i i x
=≈≈∑，其中i x 为抽取的第i 个
零件的尺寸，抽取次序i y ，样本的相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑（1）求(,)i i x y 的相关系数r ，并回答是否可以认为这一年生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小，（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在(3,3)x s x s -+之外的数据成为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）.
【答案】（1）认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小； （2）①需对当天的生产过程进行检查；②0.09. 【解析】 【分析】
（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；
（2）（i ）计算合格零件尺寸范围，得出结论； （ii ）代入公式计算即可．
【详解】(1)因为1，2，3，…，16的平均数为8.5， 所以样本(x i ，i)(i ＝1，2，…，16)的相关系数
r ＝＝≈－0.178，
所以|r|＝0.178＜0.25，
所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． (2)①－3s ＝9.97－3×0.212＝9.334，＋3s ＝9.97＋3×0.212＝10.606，
第13个零件的尺寸为9.22，9.22＜9.334，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查．
②剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为＝
＝
10.02， 标准差s ＝
＝
≈0.09. 【点睛】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．
19.如图，三棱雉P ABC -中，G 是PBC ∆的重心.
（1）请在棱AC 上确定一点D ，使得直线DG //平面PAB ，并说明理由；
（2）若BC AC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，32BC AC PC PA ====PB 与平面PCA 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析
（2）
6． 【解析】 【分析】
(1)由题意利用重心的性质和线面平行的判定定理即可确定点D 的位置；
(2)由题意利用等体积法求得点B 到平面PCA 的距离，然后结合几何性质可得线面角的正弦值.
【详解】（1）连接CG 延长交PB 于M ，连接AM ，
因为G 是△PBC 的重心，所以=2CG
GM
， 在AC 上取一点D 使得
=2CD
DA
，连接DG ，则在平面三角形ACM 中，//DG AM 因为DG ⊄平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以//DG 平面PAB ． （2）取AB 的中点O ，连接OP ，OC ，
因为BC AC ⊥，32BC AC ==OC AB ⊥，且3OC OB OA ===
又因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以OC ⊥平面PAB ， 所以OC OP ⊥，223OP PC OC =-=，由题知222PA PO OA =+， 所以PO OA ⊥，且2232PB PO OB =+= 而OC OA O =I ，所以PO ⊥平面ABC ，
设B 到平面PCA 的距离为h ，BP 与平面PCA 所成角为θ， 由B PCA P ABC V V --=得:11
33
PCA ABC S h S PO ∆∆⋅⋅=⋅⋅，
((2
2
11
311
3232332
32
⋅=⋅⋅，
解得:23h =B 到平面PCA 的距离为23
sin h PB θ=
==
直线PB 与平面PCA 所成角的正弦值为
3
． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角的度量等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1)2P （1）求a ，b ；
（2）直线l 过点(1,0)E -，且与C 交于A ，B 两点，若2EA EB =，求直线l 的方程.
【答案】(1) 2a =，1b =；(2) 1)y x =+ 【解析】 【分析】
（1）列方程组
22
311,4c a b a +==，又222a b c =+，解方程组可得. （2）判断直线AB 与x 轴重合时不符合题意，设AB:
1x my =-，A 、B 点坐标，直线AB
方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用韦达定理得12224m y y m +=
+，12
23
4
y y m -=+，结合2EA EB =得，2AE EB =u u u v u u u v
，有122y y -=，消去12,y y 得m. 【详解】解：（1）由题意可得，
2231
14a b
+=，224a b =，联立解得2a =，1b =； （2）当直线l 与x 轴重合时，3EA EB =，不符合题意，所以直线l 的方程可设为
1x my =-，
设()11,A x y ，()22,B x y ，将1x my =-代入椭圆C ：2
214x y +=，消去x 得，
22(4230m y my +--=），所以12224m y y m +=
+，12
23
4
y y m -=+，由2EA EB =得，
2AE EB =u u u v u u u v ，所以，122y y -=，联立解得m =，所以直线l 的方程为
1x y =-
，即)1y x =+． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，利用韦达定理简化运算，考查方程的思想和运算能力，属于难题.
21.已知函数()ln x
f x a x e =-. （1）讨论导函数
'()f x 的零点个数；
（2）当2a =时，证明：()2ln 24f x ≤-. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后将原问题转化为两个函数交点个数的问题，分类讨论即可确定零点个数；
(2)结合(1)的结论首先确定函数的最大值，然后结合零点的性质和均值不等式即可证得题中的不等式.
【详解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，
，()e x a
f x x
'=-（0x >）． 原问题等价于函数a y x
=
与函数x
y e =交点的
个数， 当0a ≤时，两函数无交点，()f x '
没有零点；
当0a >时，两函数有一个交点，()f x '
存在唯一零点．
（2）由（1），设()f x '
在()0+∞，
唯一零点为0x ，
当()00x x ∈，时，()0f x '>；当()0+x x ∈∞，
时，()0f x '<． 故()f x 在()00x ，单调递增，在()0+x ∞，
单调递减， 所以，当0x x =时，()f x 取得最大值0()f x ，且000()2ln x
f x x e =-，
0x 满足
00
2
x e x =，故
()0000022ln 2ln
x x f x a x e e x =-=-=0022ln 22x x =--0012ln 22x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭2ln 24≤-，当且仅当02x =时等号成立，
故()2ln 24f x ≤-.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的零点，导函数证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、.23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩
，（β为参数，且0βπ≤≤），
曲线2C 为：22
1164
x y
+=，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的
极坐标方程为θα=.
（1）求曲线1C 的极坐标方程;
（2）若直线1与曲线1C 相切于点P ，射线OP 与曲线2C 交于点Q ，点(0,2)M -，求MPQ ∆的面积
【答案】(1) 2
4cos 30ρρθ-+=，0,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
(2) 372
-
【解析】 【分析】
（1）将1C 的参数方程化为直角坐标方程22
(2)1x y -+=，其中01y ≤≤，再利用极坐标
与直角坐标关系式cos ,sin x y ρθρθ==代入可得. （2）在直角三角形1OPC 中112,1OC PC ==， ,6
π
α=
得P 点坐标，
OP: (x 0)y x =
>代入椭圆方程得Q 点的坐标，计算PQ 及M 到PQ 的距离可得三角形MPQ 的面积.
【详解】解：（1）曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=，0,
6πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
（2）由已知得2430cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩
，所以2
4cos 30ρρα-+=，0,6πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
由0∆=得6
π
α=
，
所以点P 的极坐标为6P π⎫⎪⎭；
由已知得曲线2C 得极坐标方程为 2
2
2
2
cos 4sin 16ρθρθ+=, 所以点Q 的极坐标为
6Q π⎫⎪⎭，
所以
PQ =
点M 到直线l 的距离sin 3
d OM π
==
所以△MPQ 的面积为
3
72
-. 【点睛】本题考查曲线的参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的互化，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基本题.
23.设函数()5|||2|f x x a x =----. （1）当1a =-时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.
【答案】（1）{|23}x x -≤≤； （2）(,6][2,)-∞-+∞U 【解析】 分析】
(1)由题意利用零点分段求解不等式的解集即可；
(2)将不等式进行等价转化，然后结合绝对值三角不等式的性质得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定a 的取值范围.
21 【详解】（1）当1a =-时，24,1,()5122,12,26, 2.
x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=-+--=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤；
（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥，
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥， 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。