湖南省益阳市近年年中考数学四模试卷(含解析)(2021年整理)

湖南省益阳市2016年中考数学四模试卷（含解析）
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2016年湖南省益阳市中考数学四模试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．据统计，地球上的海洋面积约为361 000 000km2，该数用科学记数法表示为3.61×10m，则m的值为( ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．2的计算结果是（）
A．xy5 B．x2y6C．﹣x2y6D．x2y5
3．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
4．下列调查中,最适宜采用全面调查方式（普查)的是（）
A．对益阳市小学生每天学习所用时间的调查
B．对全国中学生心理健康现状的调查
C．对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查
D．对益阳市初中学生课外阅读量的调查
5．如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点是A、B．如果OP=4,PA=2，那么∠AOB等于（）
A．90°B．100°C．110°D．120°
6．下列命题是真命题的是（)
A．任何数的0次幂都等于1
B．顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形
C．图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
7．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）
A．B．C．D．
8．如图，点P是定线段OA上的动点,点P从O点出发，沿线段OA运动至点A后，再立即按原路返回至点O停止，点P在运动过程中速度大小不变,以点O为圆心，线段OP长为半径作圆,则该圆的周长l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）
A．B． C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．若分式的值为0，则x= ．
10．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过第象限．
11．在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有个．
12．若x+y=4，且x•y=﹣12，则（x﹣y）2= ．
13．如图所示，已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1=50°，则∠2= 度．
14．已知直线l n：y=﹣x+（n是不为零的自然数）,当n=1时，直线l1：y=﹣2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时,直线l2:y=﹣x+与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2；…依此类推，直线l n与x轴和y轴分别交于点A n和B n,设△A n OB n的面积为S n．则S1+S2+S3+…+S2016的值是．
三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
15．（8分）解不等式组
请结合题意，完成本题解答．
（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ)原不等式组的解集为．
16．(8分)先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=0．
17．（8分）某同学利用测角仪及卷尺测量某校旗杆的高度，在测量中获得了一些数据,并以此画出了如图所示的示意图，已知该同学使用的测角仪（离地面的高度)支杆长1m,第一次在D 处测得旗杆顶端A的仰角为60°，第二次向后退12m到达E处，又测到旗杆顶端A的仰角为30°，求旗杆的高度．（结果保留根号)
四、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分）
18．（10分）如图，反比例函数y=(k ＜0)的图象与矩形ABCD 的边相交于E 、F 两点,且BE=2AE ，E （﹣1,2)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2)连接EF,求△BEF 的面积．
19．（10分）某中学九（1)班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表
进球数
（个）
8 7 6 5 4 3
人数 2 1 4 7 8 2 请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为
；
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人；
(3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%,请求出参加训练之前的人均进球数．
20．(10分）某市对城区沿江两岸的共1200米路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．若两个公司合做,则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．已知需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为200元/米和175元/米．(1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）要使整个工程费用不超过22。

5万元，则乙公司最少应施工多少天?
五、解答题（本大题满分12分)
21．(12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0)，与y轴交于点C（0，2）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积．
六、解答题（本大题满分14分)
22．(14分)如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1)求证:AD=BC；
（2)求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
2016年湖南省益阳市中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．据统计，地球上的海洋面积约为361 000 000km2,该数用科学记数法表示为3。

61×10m，则m的值为( ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a｜＜10,n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将361 000 000用科学记数法表示为：3。

61×108．
故m=8．
故选:C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a｜＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（﹣xy3）2的计算结果是（）
A．xy5 B．x2y6C．﹣x2y6D．x2y5
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：原式=x2y6．
故选B．
【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方的简单应用．
3．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
【考点】根的判别式．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a=2,b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=(﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根,是解决问题的关键．
4．下列调查中，最适宜采用全面调查方式(普查）的是( ）
A．对益阳市小学生每天学习所用时间的调查
B．对全国中学生心理健康现状的调查
C．对某班学生进行6月5日是“世界环境日"知晓情况的调查
D．对益阳市初中学生课外阅读量的调查
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、对益阳市小学生每天学习所用时间的调查，调查范围广适合抽样调查,故A不符合题意；
B、对全国中学生心理健康现状的调查，调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；
C、对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查适合普查，故C符合题意；
D、对益阳市初中学生课外阅读量的调查，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意;
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查．
5．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB等于（）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【考点】切线长定理；全等三角形的判定与性质;特殊角的三角函数值．
【分析】由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP=：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．
【解答】解：∵△APO≌△BPO（HL)，
∴∠AOP=∠BOP．
∵sin∠AOP=AP：OP=2：4=：2，
∴∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°．
故选D．
【点评】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质,正弦的概念求解．
6．下列命题是真命题的是（)
A．任何数的0次幂都等于1
B．顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形
C．图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据根据0指数幂的定义即可判断A；根据矩形的判定方法即可判定B；根据平移的性质对C进行判断；根据角平分线性质对A进行判断．
【解答】解：A、除0外，任何数的0次幂都等于1,错误，是假命题；
B、顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形，错误，是假命题；
C、图形的旋转和平移不会改变图形的形状和大小,错误，是假命题;
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确,是真命题．
故选D．
【点评】本题考查了0指数幂的定义，矩形的判定，平移和旋转的性质，角平分线性质，能理解性质和法则是解此题的关键．
7．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．"分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）
A．B．C．D．
【考点】作图—基本作图．
【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l;
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点,再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
【解答】解：根据分析可知，
选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q;选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选：A．
【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
8．如图,点P是定线段OA上的动点，点P从O点出发,沿线段OA运动至点A后，再立即按原路返回至点O停止,点P在运动过程中速度大小不变,以点O为圆心，线段OP长为半径作圆,则该圆的周长l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为( ）
A．B． C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意，分点P从O点出发，沿线段OA运动至点A时，与点P按原路返回至点O,两种情况分析，可得两段都是线段，分析可得答案．
【解答】解：设OP=x，
当点P从O点出发，沿线段OA运动至点A时，OP匀速增大,即OP=x为圆的半径,则根据圆的周长公式,可得l=2πx；
当点P按原路返回至点O，OP开始匀速减小，设OP=x，则圆的半径为x﹣OA，则根据圆的周长公式，可得l=2π（x﹣OA）
分析可得B符合，
故选B．
【点评】解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而得到整体的变化情况．
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）
9．若分式的值为0，则x= 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；(2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解:分式的值为0，得
x2﹣1=0且x+1≠0．解得x=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过第三象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】由于k=﹣2＜0，b=3＞0,根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数y=﹣2x+3的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，即还要过第一象限．
【解答】解：∵k=﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣2x+3的图象经过第二、四象限，
∵b=3＞0，
∴一次函数y=﹣2x+3的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y=﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，
即一次函数y=﹣2x+3的图象不经过第三象限．
故答案为三．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系:一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线,当k＞0，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b）．
11．在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同,任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有 4 个．
【考点】概率公式．
【分析】首先设袋中的黑球有x个,根据题意得: =,解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设袋中的黑球有x个,
根据题意得: =，
解得：x=4，
经检验:x=4是原分式方程的解．
即袋中的黑球有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．若x+y=4，且x•y=﹣12,则(x﹣y）2= 64 ．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：(x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=16﹣4×（﹣12）=64，
故答案为：64．
【点评】本题考查了完全平方公式，利用(a﹣b）2=（a+b)2﹣4ab是解题关键．
13．如图所示，已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1=50°，则∠2= 80 度．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义求出∠BEF，根据平行线的性质，得出∠2+∠BEF=180°，代入求出∠2即可．
【解答】解:∵EG平分∠FEB，∠1=50°,
∴∠BEF=2∠1=100°，
∵AB∥CD,
∴∠2+∠BEF=180°，
∴∠2=80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质的应用，能得出∠2+∠BEF=180°是解此题的关键，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
14．已知直线l n:y=﹣x+（n是不为零的自然数),当n=1时，直线l1：y=﹣2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1;当n=2时，直线l2：y=﹣x+与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2；…依此类推，直线l n与x轴和y轴分别交于点A n和B n，设△A n OB n的面积为S n．则S1+S2+S3+…+S2016的值是．．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】分别求得△A1OB1，△A2OB2,以及△AnBnCn的面积,总结规律．即可求得．
【解答】解:y=﹣2x+1中分别令x=0，y=0，解得：y=1，x=，即直线与x轴和y轴交点A1和B1，分别是（,0)（0,1）．则△A1OB1（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为×1×．同理△A2OB2的面积为：××；
△AnOBn的面积是××．
则S1+S2+…+S2016的值=，
故答案为:．
【点评】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是正确求出各个三角形的面积．
三、解答题（本大题共3小题,每小题8分，共24分)
15．解不等式组
请结合题意，完成本题解答．
（Ⅰ）解不等式①，得x＞2 ；
（Ⅱ)解不等式②，得x≤4 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
（Ⅳ）原不等式组的解集为2＜x≤4 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可．
【解答】解:（I）解不等式①得,x＞2；
(II）解不等式②得，x≤4；
（III）在数轴上表示为：
；
（IV)故不等式组的解集为：2＜x≤4．
故答案为:x＞2,x≤4，2＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大;同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．先化简,再求值：÷（1﹣），其中x=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=0代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷（﹣）
=•
=，
当x=0时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．某同学利用测角仪及卷尺测量某校旗杆的高度，在测量中获得了一些数据，并以此画出了如图所示的示意图，已知该同学使用的测角仪（离地面的高度）支杆长1m，第一次在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，第二次向后退12m到达E处,又测到旗杆顶端A的仰角为30°，求旗杆的高度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】首先证明AF=GF=ED=12,在Rt△ACF中，利用锐角三角函数定义求出AC的长，由AC+BC 求出AB的长即可．
【解答】解：∵∠AFC=60°，
∴∠AFG=120°,
∵∠CGA=30°，
∴∠GAF=30°，
∴FA=FG=ED=12m，
在Rt△ACF中,AC=AF•sin60°=6（m）,
∵BC=FD=1,
∴AB=AC+BC=（6+1）m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定和性质、锐角三
角函数等知识,解本题的关键发现AF=GF=DE=12，属于中考常考题型．
四、解答题(本大题共3小题，每小题10分,共30分）
18．（10分）（2015•随州）如图，反比例函数y=(k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点,且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1)求反比例函数的解析式;
(2）连接EF，求△BEF的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将E(﹣1,2)代入y=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）由矩形的性质及已知条件可得B（﹣3,2）,再将x=﹣3代入y=﹣,求出y的值，得到CF=，那么BF=2﹣=，然后根据△BEF的面积=BE•BF，将数值代入计算即可．
【解答】解:（1)∵反比例函数y=（k＜0）的图象过点E(﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣;
(2)∵E（﹣1，2），
∴AE=1，OA=2，
∴BE=2AE=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3，
∴B（﹣3，2）．
将x=﹣3代入y=﹣，得y=，
∴CF=，
∴BF=2﹣=，
∴△BEF的面积=BE•BF=×2×=．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，三角形的面积，正确求出BF的值是解决第(2）小题的关键．
19．(10分）(2016•益阳四模）某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程"的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表
进球
数
(个）
876543
人数214782
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 5 ；
(2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是10％
，该班共有同学40 人；
(3）根据测试资料,训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%,请求出参加训练之前的人均进球数．
【考点】扇形统计图；统计表．
【分析】(1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；
（2)根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；
（3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×(1+25%）=训练后的进球数,列方程求解即可．
【解答】解：（1)===5；
（2）1﹣60%﹣10％﹣20%=10％，
（2+1+4+7+8+2）÷60％=24÷60％=40人；
（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则
x（1+25%）=5，
解得x=4，
即参加训练之前的人均进球数是4个．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于1．
20．（10分）（2016•益阳四模）某市对城区沿江两岸的共1200米路段进行亮化工程建设,整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．若两个公司合做，则恰好用12天完成;若甲、乙合做9天后,由甲再单独做5天也恰好完成．已知需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为200元/米和175元/米．
（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天?
（2)要使整个工程费用不超过22。

5万元,则乙公司最少应施工多少天?
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】(1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“若两个公司合做，则恰好用12天完成"和“若甲、乙合做9天后,由甲再单独做5天也恰好完成",根据这两个等量关系可列出方程组．
（2）在（1）的基础上，可知“甲乙合作必须完成"和“总费用不超过22.5万元”据此列方程和不等式，进行解答．
【解答】解：（1）设甲公司单独做需x天完成,乙公司单独做需y天完成
则+=,将方程两边同乘以14得+==①，
++=1．
合并同类项得+=1 ②，
用①﹣②得=，
解得y=30，
再将y=30代入①式或②式都可求出x=20．
经检验：x=20，y=30是分式方程的解，
答：甲公司单独做需20天完成,乙公司单独做需30天完成．
（2）设甲安装公司安装m天，乙公司安装n天可以完成这项工程．
+=1①，
1.2m+0.7n≤22。

5②,
由①得3m+2n=60，
∴m=③．
把③代入②，得1。

2×+0.7n≤22.5，
∴24﹣0.8n+0.7n≤22.5，
∴0。

1n≥1.5，
∴n≥15．
答：乙公司最少施工15天．
【点评】此题主要考查了分式方程和不等式的应用,关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，再列出方程和不等式．
五、解答题（本大题满分12分)
21．（12分）(2016•益阳四模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C(0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出；
（2)过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH,由DH﹣GH表示出DG,三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积,表示出面积与m的关系式,利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可．
【解答】解:（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2)，
把C(0，2)代入得：﹣8a=2,即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+4)（x﹣2）=﹣x2﹣x+2;
（2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G,连接DC，AD，如图所示，
设直线AC解析式为y=kx+t,则有，
解得：，
∴直线AC解析式为y=x+2，
设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m，
∴DH=﹣m2﹣m+2,GH=m+2，
∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，
∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG•AH+DG•OH=DG•AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣(m2+4m)=﹣ [（m+2）2﹣4］=﹣(m+2）2+2,
当m=﹣2时,S△ADC取得最大值2,此时y D=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2)+2=2，即D(﹣2,2）．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
六、解答题（本大题满分14分）
22．（14分）(2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点,过点E 作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证:AD=BC；
（2）求证:△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
【考点】相似形综合题．
【分析】(1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠AGB=∠DGC,由,证出△AGB∽△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF;
（3)延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH,由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出,由△AGD∽△EGF，即可得出的值．
【解答】（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA=GB，
同理：GD=GC，
在△AGD和△BGC中，
，
∴△AGD≌△BGC（SAS)，
∴AD=BC；
(2）证明：∵∠AGD=∠BGC，
∴∠AGB=∠DGC，
在△AGB和△DGC中，，
∴△AGB∽△DGC,
∴，
又∵∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；
（3)解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：
则AH⊥BH,
∵△AGD≌△BGC，
∴∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，
∴∠AGB=∠AHB=90°，
∴∠AGE=∠AGB=45°，
∴,
又∵△AGD∽△EGF,
∴==．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3)中，需要通过作辅助线综合运用(1）（2）的结论和三角函数才能得出结果．。