亥姆霍兹方程中的格林函数Green_Function_for_Helmholtz
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其中G0(r,r’)表示上半空间电流元产生的场， G0(r,ri’)表示下半空间电 流元的镜像所产生的场
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数 e o mn
性质
• 1对称性和互易性 G(r,r’)=G(r’,r),是由于 Delta函数的对称性而引起的
三维自由空间中的GF
• 由Foureir变换可以求得：
又可以化为：
其中h是球汉克尔 函数
二维自由空间中的GF
• 二维GF满足如下的方程
同样应用留数来计算围道积分，可以得到
一维自由空间中的GF
可以作为无限均匀传输线中的单位电 压源或电流源产生的场
Dyadic Green Function
Dyadic Green Function in free space
其中 I 是单位并矢。 上式还可以表示为
The radiation condition of Dyadic Green Function in free space
Dyadic Green Function
Green Function For Helmholtz Equations
亥姆霍兹方程中的格林函数
满足Helmholtz方程的GF
2G(r, r') k 2G(r, r') (r r')
其中δ(r-r;)是三维Delta函数，如k=0,上式则化为Poisson 方程。 在不同的边界条件下Green函数具有不同的结构。 在Lorentz规范下，势Φ 满足下列方程
• 并矢格林函数的主要应用是求解矢量Helmholtz方程的解。 这种解可以用并矢格林函数，以很简洁的形式给出。
• 由电流元给出的电场和磁场满足如下方程
电场的格林函数表达式
• 由并矢格林函数和电场E所满足的方程可 以得到
所以
电场的格林函数表达式2
• 电场的面积分消失，则电场由V中的电流确定
由格林函数的对称性，交换r,r’得 到
• 其中
对于不同的m,n或奇偶模
e
o mn
是正交的
并矢格林函数的展开 e o mn
其中AemnBemn，Cemn为展开系数，由正交函数的特性有：
并矢格林函数的展开2
• 其他两系数为
最后可得并矢格林函数的展开式为
并矢格林函数的展开3
如果定义并矢 S(r, r') 矢格林函数还可以 定义为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function
上式是非齐次Helmholtz方程的通解.它表明，V中任一点的场取决于V中的源 和边界S上的场量分布。 如f(r)=0,v为无源空间，场由面积分确定
非齐次Helmholtz方程的通解2
• 若边界上Green函数为零，则场由V内的源给定
此时格林函数为第一类格林函数，用下标1表示。
场Ψ也满足相同的辐 射条件
其中en是边界上的外向法向矢量
第一类边界条件 第二类边界条件
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor 2
一维自由空间中的GF
半空间中的GF
The Expansion of Green Function in eigen function
Expansion of Green Function
Applications of the Green Function
由第二格林恒等式，可得
非齐次Helmholtz方程的通解
磁场的并矢表达式
• 引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程 的解。
• 并矢格林函数与格林函数的关系
并矢格林函数也满足对称关系：
证明见P135
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Boundary Condition of Dyadic Green Function
可化为：
2 (r) k 2 (r) (r)
2(r) k 2(r) (r r')
GF满足的边界条件
这里αβ不同时为零
Green Function 分类
• 1。在边界上为零的Green 函 数为第一类Green 函数。
• 2。在边界上法向导数为零的 Green 函数为第二类Green 函 数
• 电并矢和磁并矢分别 用以下两个符号来表示
e
m
G (r r'), G (r r')
他们满足以下的方程：
他们之间的关系为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function 2
Applications of the Dyadic Green Function
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数 e o mn
性质
• 1对称性和互易性 G(r,r’)=G(r’,r),是由于 Delta函数的对称性而引起的
三维自由空间中的GF
• 由Foureir变换可以求得：
又可以化为：
其中h是球汉克尔 函数
二维自由空间中的GF
• 二维GF满足如下的方程
同样应用留数来计算围道积分，可以得到
一维自由空间中的GF
可以作为无限均匀传输线中的单位电 压源或电流源产生的场
Dyadic Green Function
Dyadic Green Function in free space
其中 I 是单位并矢。 上式还可以表示为
The radiation condition of Dyadic Green Function in free space
Dyadic Green Function
Green Function For Helmholtz Equations
亥姆霍兹方程中的格林函数
满足Helmholtz方程的GF
2G(r, r') k 2G(r, r') (r r')
其中δ(r-r;)是三维Delta函数，如k=0,上式则化为Poisson 方程。 在不同的边界条件下Green函数具有不同的结构。 在Lorentz规范下，势Φ 满足下列方程
• 并矢格林函数的主要应用是求解矢量Helmholtz方程的解。 这种解可以用并矢格林函数，以很简洁的形式给出。
• 由电流元给出的电场和磁场满足如下方程
电场的格林函数表达式
• 由并矢格林函数和电场E所满足的方程可 以得到
所以
电场的格林函数表达式2
• 电场的面积分消失，则电场由V中的电流确定
由格林函数的对称性，交换r,r’得 到
• 其中
对于不同的m,n或奇偶模
e
o mn
是正交的
并矢格林函数的展开 e o mn
其中AemnBemn，Cemn为展开系数，由正交函数的特性有：
并矢格林函数的展开2
• 其他两系数为
最后可得并矢格林函数的展开式为
并矢格林函数的展开3
如果定义并矢 S(r, r') 矢格林函数还可以 定义为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function
上式是非齐次Helmholtz方程的通解.它表明，V中任一点的场取决于V中的源 和边界S上的场量分布。 如f(r)=0,v为无源空间，场由面积分确定
非齐次Helmholtz方程的通解2
• 若边界上Green函数为零，则场由V内的源给定
此时格林函数为第一类格林函数，用下标1表示。
场Ψ也满足相同的辐 射条件
其中en是边界上的外向法向矢量
第一类边界条件 第二类边界条件
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor 2
一维自由空间中的GF
半空间中的GF
The Expansion of Green Function in eigen function
Expansion of Green Function
Applications of the Green Function
由第二格林恒等式，可得
非齐次Helmholtz方程的通解
磁场的并矢表达式
• 引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程 的解。
• 并矢格林函数与格林函数的关系
并矢格林函数也满足对称关系：
证明见P135
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Boundary Condition of Dyadic Green Function
可化为：
2 (r) k 2 (r) (r)
2(r) k 2(r) (r r')
GF满足的边界条件
这里αβ不同时为零
Green Function 分类
• 1。在边界上为零的Green 函 数为第一类Green 函数。
• 2。在边界上法向导数为零的 Green 函数为第二类Green 函 数
• 电并矢和磁并矢分别 用以下两个符号来表示
e
m
G (r r'), G (r r')
他们满足以下的方程：
他们之间的关系为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function 2
Applications of the Dyadic Green Function