最新初中数学四边形知识点总复习附答案

最新初中数学四边形知识点总复习附答案
一、选择题
1．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．8cm
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132
AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，
∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，
∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，
∴5AB =，8AD =，
∴8BC AD ==，
∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422
AE BC =
=⨯=； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．
2．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（ ）
A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，OA∥BC，
∴点B的纵坐标为3，
∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，
∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为：（5，3）；
故选：B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.
3．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）
A．10 B．20 C．40 D．48
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】
如图所示，
根据题意得AO=1
2
×8=4，BO=
1
2
×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，
∴AB=22169AO BO +=+=5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：B ． 【点睛】
此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.
4．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A ．a
B ．45 a
C ．22a
D ．32
a 【答案】C
【解析】 【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE
= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．
【详解】
∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴00cos 4545D CN
M
cos +=CD ，
在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，
∴DM+CN=acos45°=
22
a. 故选C.
【点睛】
此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =
5．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点
为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】 A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C
6．如图，已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 在BC 边上，连接DE 、AE ，若EA 平分∠
BED
，则ABE CDE S S V V 的值为（
）
A ．232-
B ．2332-
C ．2333-
D ．233
- 【答案】C
【解析】
【分析】
过点A 作AF ⊥DE 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．
【详解】
解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，
在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，
∵AE 平分∠BED ，
∴AF ＝AB ，
∵BC ＝2AB ，
∴BC ＝2AF ，
∴∠ADF ＝30°，
在△AFD 与△DCE 中
∵∠C=∠AFD=90°,
∠ADF=∠DEC,
AF=DC,，
∴△AFD ≌△DCE （AAS ），
∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF AB 22
⨯=⨯= ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，
∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2﹣3）AB 2，
∴△ABE 的面积＝
()2232AB -, ∴23
233233
ABE CDE S S --==V V ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．
7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（ ）
A ．14
B ．16
C ．26
D ．310
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC 是菱形，则OE 与BC 垂直平分，易得EF=12
x ，CF=x ．再由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，
∴BC ＝AD ，
设AB ＝2x ，则BC ＝x ．
如图，过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ． ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形BOCE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB＝OC，
∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，
∴EF
＝1
2
AD＝
1
2
x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB＝2x，
∴CF＝
1
2
OE＝x．
∴tan∠EDC＝
EF
DF
＝
1
2
2
x
x x
＝
1
6
．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=
4
3
，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．
详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．
在△EBC 和△FCD 中，BC CD B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EBC ≌△FCD （SAS ），∴∠CFD =∠BEC ，CE =DF ，故③正确，
∴∠BCE +∠BEC =∠BCE +∠CFD =90°，∴∠DOC =90°；故①正确；
连接DE ，如图所示，若OC =OE ．
∵DF ⊥EC ，∴CD =DE ．
∵CD =AD ＜DE （矛盾），故②错误；
∵∠OCD +∠CDF =90°，∠CDF +∠DFC =90°，∴∠OCD =∠DFC ，∴tan ∠OCD =tan ∠DFC =
DC FC =43
，故④正确； ∵△EBC ≌△FCD ，∴S △EBC =S △FCD ，∴S △EBC ﹣S △FOC =
S △FCD ﹣S △FOC ，即S △ODC =S 四边形BEOF ．故⑤正确；
故正确的有：①③④⑤．
故选D ．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
9．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）
A ．16
B ．15.2
C ．15
D ．14.8
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.
【详解】
解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，
在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，
由勾股定理，得 226810BD =+=，
∴=10PB PD BD +=，
在△BCD 中，由三角形的面积公式，得
11=22
BD PC BC CD ••， 即
1110=8622
PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.
10．四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO ＝20°，则∠CAD 的度数是（）.
A ．25°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
【答案】B
【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴OB=OD ，AC ⊥BD ，
∵DH ⊥AB ，
∴OH=OB=
12
BD ， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
故选A．
11．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【解析】
分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．
详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC-BE=8-6=2cm．
故选：D．
点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．
12．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D
【解析】
试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．
考点：多边形内角与外角．
13．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）
A ．45
B ．48
C ．63
D ．64
【答案】C
【解析】
【分析】 由中央小正方形的边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x 厘米，其余几个边长分别是x-1、x-2、x-3，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．
【详解】
因为小正方形边长为1厘米，
设这7个正方形中最大的一个边长为x 厘米，
因为图中最小正方形边长是1厘米，
所以其余的正方形边长分别为x−1，x−2，x−3，
3(x-3)-1=x
解得：x=5；
所以长方形的长为x+x−1=5+5-1=9，宽为x-1+x−2=5-1+5-2=7
长方形的面积为9×7=63(平方厘米)；
故选：C
【点睛】
本题考查了对拼组图形面积的计算能力，利用了正方向的性质和长方形面积的计算公式．
14．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △
的面积为（ ）
A ．2
B ．169
C ．32
D ．2 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，
∵四边形EFGH 为正方形，
∴EG FH =，
∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，
∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，
∵ABE △≌CDG V ，
∴CDG V 为等腰三角形，
∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，
∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，
则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，
∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，
∴4MN =，
设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，
∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，
即2114(42)22
x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，
∴1x =，则S 正方形EFGH 14122
==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，
∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，
∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=
V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．
15．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）
A ．7 : 12
B ．7 : 24
C ．13 : 36
D ．13 : 72
【答案】B
【解析】
【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
∵DF=CF ，BE=CE ，
∴
12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13
DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，
∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，
∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，
∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴
1
2 EF
BD
=,
∴
1
4
EFC
BCDD
S
S
=
V
V
,
∴
1
8
EFC
ABCD
S
S
=
V
四边形
,
∴
117
6824
AGH EFC
ABCD
S S
S
+
=+=
V V
四边形
=7∶24,
故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
16．如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E H
，在AD CD
，边上，点F G
，
在对角线AC上，若6
AB=，则EFGH的面积是()
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE＝
2
2
EH＝
2
2
EF，EF＝
2
2
AE，即可得到结论．
【详解】
解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，
∴AF＝EF，DE＝DH，
∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，
∴AF＝EF＝
2
2
AE，
同理可得：DH＝DE＝
2
2
EH
又∵EH＝EF，
∴DE＝
2
2
EF＝
2
2
×
2
2
AE＝
1
2
AE，
∵AD＝AB＝6，
∴DE＝2，AE＝4，
∴EH＝2DE＝22，
∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．
17．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）
A．∠BCA＝45°B．AC＝BD
C．BD的长度变小D．AC⊥BD
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质即可判断；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.
【详解】
矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
19．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连
接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．
【详解】
解：∵矩形ABCD中，O为AC中点
∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF，故①正确
∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故②正确；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，且BO=DO
由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF
∴四边形EBFD是平行四边形
由②可知，OB=CB，OF=FC
又∵BF=BF
∴△OBF≌△OCF
∴BD⊥EF
∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确
所以其中正确结论的个数为3个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
20．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( ) A．可能不是平行四边形B．一定是菱形
C．一定是正方形D．一定是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：这个四边形是矩形，理由如下：
∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵OA=OC=OD=OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．。